2024-2025學(xué)年陜西省漢中市漢臺區(qū)高二上冊月考三數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省漢中市漢臺區(qū)高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列滿足，則（）A．2 B． C． D．20243．已知空間向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知四面體中，為中點，若，則（

）A．3 B．2 C． D．5．設(shè)直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．7．19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨立發(fā)展.橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有兩個公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點．若點關(guān)于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（

）A．的周長為B．存在點，使得C．若，則的面積為D．使得為等腰三角形的點共有4個10．設(shè)直線的交點為，則（）A．恒過定點0,2B．C．的最大值為D．點到直線的距離的最大值為511．已知正方體的棱長為2，點分別是棱的中點，則（）A．直線與直線的夾角為B．直線與平面所成角的正弦值為C．點到平面的距離為D．三棱錐的外接球的半徑為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)拋物線的頂點在原點，其焦點在軸上，拋物線上的點與點的距離為3，則拋物線方程為．13．已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．14．在數(shù)列中，，且，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項和記為，若點均在函數(shù)的圖象上．(1)求；(2)求數(shù)列的通項公式．16．已知橢圓：的左右焦點分別為，上頂點為，長軸長為，若為正三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點，斜率為的直線與橢圓相交兩點，求的長；(3)過點的直線與橢圓相交于兩點，，求直線的方程.17．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前100項和.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，是的中點，作交于點.(1)求證：平面；(2)求的長；(3)求平面與平面夾角的余弦值.19．雙曲線經(jīng)過點，一條漸近線的傾斜角為，直線過雙曲線的右焦點，交雙曲線于，兩點．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】由可得，故，且開口向下，故拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】由，可得，同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，則.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】因為，所以，又，所以，解得，故選：A.4．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，可得：，因為，所以，解得.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】時，傾斜角的范圍是，當(dāng)時，傾斜角的范圍是，綜上，傾斜角范圍是．故選：B．6．【正確答案】C【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：C7．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意，橢圓的蒙日圓方程為，圓心為，半徑為2，因為圓與只有兩個交點，即兩圓相交，，解得.所以的取值范圍為.故選：C.8．【正確答案】C【詳解】如圖，由已知可得，，由橢圓定義可知，，所以，因為，所以，所以，所以或（舍去）.故選：C.9．【正確答案】AB【詳解】對于，由題意，，，故周長為，所以A正確；對于B，當(dāng)點位于上下頂點時，為直角，所以B正確.對于C，當(dāng)時，如圖：設(shè)，，則.所以，所以C錯誤；對于D，若是以為頂點的等腰三角形，點位于上下頂點；若是以為頂點的等腰三角形，則，此時滿足條件的點有兩個；同理，若是以為頂點的等腰三角形，滿足條件的點有兩個；故使得為等腰三角形的點共六個，所以D錯誤.故選：AB10．【正確答案】ABD【詳解】對于選項A，因為直線，即，令，解得，所以恒過定點0,2，故A正確；對于選項B，因為直線滿足，所以，故B正確；對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；對于選項D，由A可知，直線恒過定點0,2，則點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，即，故D正確；故選：ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由點分別是棱的中點，所以，所以與的夾角為與的夾角即為正三角形，，故A正確；對于B，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，與平面所成角的正弦值為，故B正確；對于C，，設(shè)平面的法向量不放設(shè)，則設(shè)點到平面的距離為，則，故C錯誤；對于D，的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓心為則，易得，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，球心為，故D正確；故選：ABD.12．【正確答案】．【詳解】試題分析：由題意可知拋物線開口向右，設(shè)拋物線方程為，其焦點，準(zhǔn)線．由拋物線的定義可知，解得．所以此拋物線方程為．考點：拋物線的定義，方程．13．【正確答案】作出圖形，設(shè)雙曲線的右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】對于雙曲線，則，，，如下圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為.關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.14．【正確答案】【詳解】因為，所以，又，即為常數(shù)數(shù)列，所以，則，則.故15．【正確答案】(1)，，，(2)【詳解】（1）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，則，，，.（2）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時不成立，所以數(shù)列的通項公式為.16．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干條件求出即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長公式進行求解；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達定理，列方程組求解.【詳解】（1）依題意，，則，由為正三角形，則，故，于是，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）知，，故該直線為：，和橢圓聯(lián)立：，整理可得，故，由弦長公式，（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對稱性，），設(shè)直線為：，和橢圓方程聯(lián)立得，，，則，故，由韋達定理可得：，，于是，，故，即，化簡可得，解得，故直線為：17．【正確答案】(1)(2)200【詳解】（1）設(shè)公差為d，結(jié)合題設(shè)有，解得，則故的通項公式為.（2），所以.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意知：，，，則，.又平面，平面.（2）由題意知：，.設(shè)，則.，，即，展開有：，解得.故，則有；（3）由題意知：，設(shè)平面的法向量，有則，令，則，由（1）知，則平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意可知雙曲線的漸近線方程為，因為一條漸近線的傾斜角為，所以，雙曲線經(jīng)過點，則，聯(lián)立，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（