2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上冊(cè)一月考試數(shù)學(xué)（理）檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期一月考試數(shù)學(xué)（理）檢測(cè)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若實(shí)數(shù)λ滿足，則（

）A． B． C． D．14．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．5．如圖是某兩位體育愛(ài)好者的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖，其中每項(xiàng)能力分為三個(gè)等級(jí)，“一般”記為4分，“較強(qiáng)”記為5分，“很強(qiáng)”記為6分，把分值稱為能力指標(biāo)，則下列判斷不正確的是（

）A．甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的平均值相同B．甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的方差相同C．如果從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)D．如果從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．過(guò)直線上一點(diǎn)P作⊙M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或9．已知，則（

）A． B． C． D．10．荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍.那么當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過(guò)（

）天.（參考數(shù)據(jù)：)A．70 B．80 C．90 D．10011．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒(méi)有極值點(diǎn)12．已知點(diǎn)A，B，C，D均在半徑為6的球面上，是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題13．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為.14．將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項(xiàng)不同的公益活動(dòng)中，每人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都需要有人參加，其中甲必須參加A活動(dòng)，則不同的分配方法有種．（用數(shù)字作答）15．已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上的點(diǎn)，使得，且，則雙曲線的離心率為．三、解答題17．內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知，，的面積為．(1)求的值；(2)若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．18．鎮(zhèn)安大板栗又稱中國(guó)甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再?gòu)倪@10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．圖1是直角梯形，，，，，，在線段上，且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．(1)求證：平面平面(2)在棱上存在點(diǎn)，使得銳二面角的大小為，求到平面的距離．20．已知橢圓的焦距為，短半軸的長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程及弦的長(zhǎng)；(2)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)在極坐標(biāo)系中，射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求．1．C【分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】，解得，所以，所以.故選：C2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C3．A【分析】先表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到的方程，由此求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，故選：A.4．C【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到三條邊的長(zhǎng)度關(guān)于的表達(dá)式，再利用橢圓的定義求得的關(guān)系式，進(jìn)而得到離心率.【詳解】依題意，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為，半焦距為，則，則，，于是，.故選：C.5．D【分析】由運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖可以求得平均值以及方差，通過(guò)識(shí)圖可判斷甲乙運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)的高低.【詳解】由圖可知：甲的平均值為，乙的平均值為，A正確；甲的方差為，乙的方差為，B正確；從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙小于甲，C正確；從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙與甲相同，D錯(cuò)誤.故選：D6．A【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得便函數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A7．C【分析】先證明出充分性成立，再證明出必要性成立，得到答案.【詳解】由題意得，若，則，即，，即，由與得，由與得，依此類推，可得，故是等差數(shù)列，充分性成立，若是等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，故，即因?yàn)?，所以，所以，必要性成立，故“”是“是等差?shù)列”的充要條件.故選：C8．B【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得出答案.【詳解】⊙M：的圓心，半徑，由，得，由題意可得圓心到直線的距離，即，解得.故選：B.9．A【分析】由正弦差角公式和輔助角公式得到，再整體法利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求出答案.【詳解】由題可得，，所以.故選：A.10．B【分析】根據(jù)題意列方程，然后取對(duì)數(shù)求解.【詳解】設(shè)天后當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的5倍，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)得，所以，即.故當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過(guò)80天.故選：B.11．D【分析】令，結(jié)合題設(shè)為上任意值且，得到為常函數(shù)，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】令，則，所以，且為定義域內(nèi)任意值，故為常函數(shù).令，則，為奇函數(shù)且沒(méi)有極值點(diǎn)，C錯(cuò)，D對(duì)；所以不恒成立，不一定成立，A、B錯(cuò).故選：D12．D【分析】是外心，是球心，求出，當(dāng)是的延長(zhǎng)線與球面交點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積的最大，由此求得最大體積即可．【詳解】如圖，是外心，即所在截面圓圓心，是球心，則，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，當(dāng)是的延長(zhǎng)線與球面交點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積的最大，此時(shí)棱錐的高為，，所以棱錐體積為．故選：D．13．【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式故2π14．【分析】根據(jù)題意，分為三種情況：甲單獨(dú)參加，甲和其中一人和甲和其中兩人參加，結(jié)合排列組合的知識(shí)，即可求解.【詳解】由題意，可分為三種情況：當(dāng)甲單獨(dú)參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中一人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中兩人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故答案為.15．【分析】先根據(jù)求出的范圍，再利用函數(shù)與方程的關(guān)系，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相關(guān)的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，借助于三角函數(shù)的圖象觀察即可確定參數(shù)范圍.【詳解】因，則，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，須使函數(shù)與直線在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即使，解得.故答案為.16．【分析】作出圖形，分析可知，點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)交軸于點(diǎn)，連接，則，推導(dǎo)出，利用雙曲線的定義得出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出，然后在中根據(jù)可求得該雙曲線離心率的值.【詳解】如下圖所示：由，可知，，則點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)交軸于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，，所以，，所以，，所以，，所以，，由，解得,所以，，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為.方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.17．(1)(2)2【分析】（1）由三角形面積公式直接計(jì)算即可；（2）利用余弦定理求邊，角B，結(jié)合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】（1）由三角形的面積公式及已知得：，解得，；（2）由（1）可知：，∵，∴，，由余弦定理得：，則，所以，由正弦定理，．18．(1)57.5(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）先通過(guò)分析確定中位數(shù)在內(nèi)；再設(shè)中位數(shù)為，列出方程求解即可.（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆；再寫(xiě)出的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證這兩個(gè)面垂直，只需證明平面內(nèi)的一條直線垂直于平面即可，因?yàn)槭堑冗吶切危蛇x中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)尋找與垂直的直線，從而得到線面垂直.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量研究空間的角和距離.【詳解】（1）在圖1中，過(guò)作，所以，又，所以，所以是等邊三角形；連接，可得：也是等邊三角形.在圖2中取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，所?且，，PO平面，平面，所以平面，

平面，所以平面平面.（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則，，，所以：，.設(shè)，，所以所以.設(shè)平面的法向量，則，可取.取平面的法向量.銳二面角的大小為，所以，即或（舍去）.所以平面的法向量，.所以點(diǎn)到平面的距離為.20．(1)，(2)【分析】（1）首先根據(jù)已知條件和平方關(guān)系求出橢圓方程，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式運(yùn)算即可求解.（2）由題意只需求出動(dòng)點(diǎn)到直線的最大值即可，此時(shí)可利用三角換元結(jié)合輔助角公式、三角函數(shù)性質(zhì)即可，最終結(jié)合弦的長(zhǎng)即可求解.【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓的方程為，設(shè)，而過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線的方程為，即，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并整理得，所以，所以弦的長(zhǎng)為.（2）由（1）橢圓的方程及弦的長(zhǎng)分別為，，且直線的方程為，由題意動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，不妨設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離，而，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離有最大值，所以，即的最大值為.21．(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對(duì)任意的恒成立即可．【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，，，，切點(diǎn)為，切線的斜率為，切線方程為：，即；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，．當(dāng)時(shí)，．則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，．則，．令，則，或．，則，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）有兩個(gè)極值，，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則，，，．要證：．即證：．不妨設(shè)，