浙江省杭州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2025屆高三部分學(xué)校第一學(xué)期期末聯(lián)考一、單選題（共40分）1.已知集合，且，則等于（）A或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分兩種情況討論屬于集合的情況，再根據(jù)集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】當(dāng)時(shí)，得.此時(shí).此時(shí)集合.因?yàn)椴粷M足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，解方程，即，可得或.若，則，此時(shí)集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時(shí)集合.符合集合元素的互異性.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，則．故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】由，得.故選：D4.若，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件等式得到，由向量夾角的計(jì)算公式和等式化簡得到，從而得到向量之間的夾角.【詳解】由條件可知，兩邊平方后得，并且，.因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是，所以向量與的夾角為.故選：A.5.已知，則的最小值為（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】【分析】首先對題中所給的式子進(jìn)行變形為，利用基本不等式求得最小值，將問題轉(zhuǎn)化為，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，令，則，解得（舍去）或，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為9.故選：B.6.某個(gè)班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員．在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，A表示“選到的是團(tuán)員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】設(shè)事件為選到的是團(tuán)員，事件為選到的是男生，根據(jù)題意可得，，，故．故選：B．7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.C.的最大值為 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意，，，則，故B錯(cuò)誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；由于時(shí)，，時(shí)，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，解方程組可得的值，驗(yàn)證單調(diào)性記即可得的值.【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，符合題意，所以.故選：C.二、多選題（共18分）9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯(cuò)；，則，將代入中得，則，，解得，，因?yàn)椋?，，，所以是的對稱軸，故B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)；該圖象向右平移個(gè)單位可得，故D正確.故選：BD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.對于任意直線，均有B.不存在直線，滿足C.對于任意直線，直線與拋物線相切D.存在直線，使【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)由為線段的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷，B選項(xiàng)由及拋物線方程求出，坐標(biāo)，再說明，，三點(diǎn)共線，即存在直線即可，C選項(xiàng)設(shè)，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷．【詳解】對于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系一般需要設(shè)出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．11.已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，，，且，則（）A.平面ACD B.平面ABCC.O到AC的距離為 D.二面角的正切值為【答案】AD【解析】【分析】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理得出球心，從而可判斷A、B;連接OH，得出面面角，從而判斷A、D.【詳解】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，則球心O在上.由M為AC的中點(diǎn)，得.因?yàn)?所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因?yàn)?，，所以O(shè)到AC的距離為，且.故選：AD三、填空題（共15分）12.設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得.故答案為：.13.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為______．【答案】3【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.詳解】，，①又②①-②得：，的面積為9，，故答案為：3.14.甲、乙兩人參加玩游戲活動(dòng)，每輪游戲活動(dòng)由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為，乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動(dòng)中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝3盤的概率為______.【答案】【解析】【分析】分別求出甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、3盤的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)分別表示甲在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、2盤的事件，設(shè)分別表示乙在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、2盤的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式可得，，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝3盤事件為，且互斥，故，故答案為：四、解答題（共77分）15.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，，，且_____________，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得.選擇條件①：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理運(yùn)算求解；選擇條件②：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理運(yùn)算求解；【詳解】因?yàn)?，可知角A是鈍角，又因?yàn)椋瑒t，可得.選擇條件①：因?yàn)椋?，化簡得，即，由正弦定理?由，解得，由余弦定理可得，所以.選擇條件②：因?yàn)?，由正弦定理可得，整理可得，?由正弦定理得，由，解得，由余弦定理可得，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對取倒數(shù)，整理得，變形得，然后利用等比數(shù)列定義即可證明；（2）先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，再利用數(shù)列的符號(hào)得范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，則，，…以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，，，.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點(diǎn)．（1）若是的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先取的中點(diǎn)，連接，再由平行四邊形即可證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由體積公式求解．小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連，，為的中點(diǎn)，且，又，且，，，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，故直線平面．【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在射線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，在棱上，可設(shè)，故，解得，即，易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，，，，即，即，取，則，，故，因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑挠嘞抑禐?，所以，即，即，，解得，故是的中點(diǎn)，因此18.已知點(diǎn)，，曲線上的點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率分別為和，且，在下列條件中選擇一個(gè)，并回答問題（1）和（2）．條件①：；條件②：．問題：（1）求曲線的方程；（2）是否存在一條直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示斜率并化簡即可得到答案；（2）若選擇條件①：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，直線方程與曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合得到，進(jìn)而化簡得到；當(dāng)斜率不存在時(shí)，得到，進(jìn)而得到即可；若選擇條件②：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，直線方程與曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合得到，進(jìn)而化簡得到；當(dāng)斜率不存在時(shí)，得到，進(jìn)而得到即可.【小問1詳解】若選條件①：點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由題意可得，，化簡得，進(jìn)而曲線的方程為．若選條件②：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由題意可得，，化簡得，進(jìn)而曲線的方程為．【小問2詳解】若選條件①：（ⅰ）若直線的斜率存在，設(shè)，由，得，則，即，設(shè)，，則，．因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．且．若選條件②：（ⅰ）若直線的斜率存在，設(shè)，由得，則，即，設(shè)，，則，．因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．且．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）和（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義得到方程，解方程求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，利用判別式得到滿足的不等式，將其看做關(guān)于的一元二次不等式恒成立，由判別式得到關(guān)于的不等式，求解得到結(jié)果；（3）利用已知得到，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)求得最值即可得到所求范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，