中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第12講 相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)型（原卷版）

第12講相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)型【應(yīng)對(duì)方法與策略】模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來.Com]【多題一解】一、單選題1．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題2．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OA沿直線OP進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC，以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，線段BC的長(zhǎng)的最小值為____________，線段BD所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）____________．三、解答題3．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長(zhǎng)為______．4．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．5．（2021·山東威海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．求∠BFC的度數(shù)．（2）已知：△ABC與△ADE的位置如圖②所示，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度數(shù)．應(yīng)用結(jié)論（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK．求線段OK長(zhǎng)度的最小值．6．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）證明：四邊形CEGF是正方形；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H，若AG＝9，GH＝3，求BC的長(zhǎng)．7．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．9．（2021·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請(qǐng)直接寫出的值（用含k的式子表示）．10．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．11．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．12．（2020·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D1，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，則稱點(diǎn)P是△ABC的“等角點(diǎn)”（1）如圖1，∠ABC=70°，則∠APB=（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是△ABC的“等角點(diǎn)”，若∠BAC=45°①求的值；②求tan∠PBC的值；13．（2020·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．14．（2020·山東棗莊·中考真題）在中，，CD是中線，，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AE交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明恒成立；（3）若，，求DN的長(zhǎng)．15．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時(shí)，直接寫出的值．17．（2021秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市南山外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．18．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點(diǎn)，連接、、，發(fā)現(xiàn)和為定值．（1）①__________；②__________；③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關(guān)系，請(qǐng)你按他的思路證明①②．（2）小明又用三個(gè)相似三角形（兩個(gè)大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：①__________（用k的代數(shù)式表示）②__________（用k、的代數(shù)式表示）19．（2021·重慶·統(tǒng)考一模）如圖，和均為等腰直角三角形，．現(xiàn)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，若三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)B到直線的距離；（2）如圖2，連接，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)G在線段上，且，在內(nèi)部有一點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出的最小值．20．（2020·河南濮陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．（1）特例發(fā)現(xiàn)，如圖，若點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，填空：①________；②與的等量關(guān)系為_________．（2）拓展探究如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與能否相等？若能，求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．（3）思維延伸如圖，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作直線，交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使相等？若存在，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【感知】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．【探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．【拓展】（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．22．（2020·山東威海·統(tǒng)考中考真題）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）如圖①，與都是等邊三角形，直線交于點(diǎn)．直線，交于點(diǎn)．求的度數(shù)（2）已知：與的位置如圖②所示，直線交于點(diǎn)．直線，交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)應(yīng)用結(jié)論：（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，求線段長(zhǎng)度的最小值【一題多解】1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度2．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們?cè)诓煌恢脟L試操作．（1）如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，得知，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的值．（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑．3．（2020·山東日照·中考真題）如圖，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）兩點(diǎn)，m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AB，BC，BD，CD．求證：△