中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專項(xiàng)知識(shí)精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓(xùn)練專題11 弦圖模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-（原卷版）

弦圖模型鞏固練習(xí)1．在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫(xiě)了下面這道題，請(qǐng)你來(lái)解一解：如圖，將平行四邊形ABCD的四邊DA、AB、BC、CD分別延長(zhǎng)至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．2．勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語(yǔ)言．（1）請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）．（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理．（3）利用圖2中的直角梯形中線段BC與AD的大小關(guān)系，可以證明a+bc3．（1）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，又可表示為S＝4×12ab+（b﹣a）∴4×12ab+（b﹣a）2＝c∴即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（3）如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2+b2＝c2．4．教材第九章中探索乘法公式時(shí)，設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗(yàn)證了乘法公式．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)圖形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．（1）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（2）小明又把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)梯形（如圖3），利用上面探究所得結(jié)論，求當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)梯形ABCD的周長(zhǎng)．（3）如圖4，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ABC的高BD，利用上面的結(jié)論，求高BD的長(zhǎng)．5．（1）問(wèn)題情境：勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，借助“數(shù)形關(guān)系”利用面積法進(jìn)行證明，而以劉徽的“青朱出入圖”為代表的“無(wú)字證明”也頗為神奇，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出．如圖1和2，將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，使中間留下一個(gè)邊長(zhǎng)為c的空白正方形，畫(huà)出邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，再移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)空白正方形．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，即；（2）嘗試證明：實(shí)際上只需圖2的“一半”即可用“數(shù)形關(guān)系”和面積法證明，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德在1876年利用圖3證明了勾股定理，請(qǐng)你來(lái)試一試，借助圖3完成證明：（3）問(wèn)題拓展：已知Rt△ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，求證：a+bc6．綜合與實(shí)踐正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究：定義：如圖1，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心，DA為半徑作AC，與半圓O交于點(diǎn)P我們稱點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”．過(guò)奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形ABCD無(wú)論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究．性質(zhì)探究：如圖2，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，則DE為半圓O的切線．證明：連接OP，OD．由作圖可知，DP＝DC，OP＝OC，又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．（SSS）∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圓O的切線．問(wèn)題解決：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE．請(qǐng)判斷∠BOE和∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)寫(xiě)出BE和AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）如圖5，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD的四個(gè)“奇妙點(diǎn)”連接AG，BH，CE，DF，恰好得到一個(gè)特殊的“趙爽弦圖”．請(qǐng)根據(jù)圖形，探究并直接寫(xiě)岀一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系．7．如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周