高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.2極大值與極小值課件7蘇教版選修

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.當(dāng)函數(shù)y＝x·2x取極小值時(shí)，x＝______.激活思維：2.函數(shù)y＝ln

x－x在x∈(0，e]上的最大值為____.－13.函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的

任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是____.204.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，

則f(2)＝____.185.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________________.(－∞，－3)∪(6，＋∞)思維升華(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值.

題型一用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問(wèn)題命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極大值、極小值分別是___________.f(－2)、f(2)命題點(diǎn)2求函數(shù)的極值當(dāng)a>0時(shí)，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：當(dāng)a<0時(shí)，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下：命題點(diǎn)3已知極值求參數(shù)例3

(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，則a－b＝____.解析

由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝－1處無(wú)法取得極值，而a＝2，b＝9滿足題意，故a－b＝－7.－7解析答案思維升華（3）.函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.(－1,1)題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；解析答案(2)求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值.即x－4y＋4ln2－4＝0.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最小值.②若0<a<e，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a，e]時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值ln

a.(2)求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值.③若a≥e，則當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，

綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無(wú)最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為ln

a；令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最小值.②若0<a<e，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a，e]時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值ln

a.解析答案思維升華③若a≥e，則當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，

綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無(wú)最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為ln

a；思維升華思維升華求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.解析由題意知，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為－1.1跟蹤訓(xùn)練2解析答案返回1題型三函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析答案令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因?yàn)閑x>0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點(diǎn)，且f′(x)與g(x)符號(hào)相同.又因?yàn)閍>0，所以－3<x<0時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0，當(dāng)x<－3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值.解析答案思維升華解

由(1)知，x＝－3是f(x)的極小值點(diǎn)，

解得a＝1，b＝5，c＝5，因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，解析答案思維升華所以f(0)＝5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值是5e5.思維升華思維升華求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是_____.跟蹤訓(xùn)練3解析答案返回－13解析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝1，∴當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.答案

－13返回小結(jié)用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問(wèn)題一般可用以下幾步答題第一步：(求導(dǎo)數(shù))