高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課件新人教A版選修

章末復(fù)習(xí)第一章計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.理解排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系，能利用排列組合解決一些實(shí)際問題.3.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì).知識梳理達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引知識梳理1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝

種不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)

排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式

＝n(n－1)(n－2)…

＝組合數(shù)公式

＝

＝

＝(n－m＋1)性質(zhì)當(dāng)m＝n時(shí)，

為全排列；

＝n！；0?。絖_

；

＝

；

＝______________備注n，m∈N*，且m≤n14.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容：

(a＋b)n＝

.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：①與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等；題型探究命題角度1分類討論思想例1

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，則有多少種選派方法？類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用解答解方法一設(shè)A，B代表2位老師傅.所以共有75＋100＋10＝185(種).所以共有35＋120＋30＝185(種).反思與感悟解含有約束條件的排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏).跟蹤訓(xùn)練1從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時(shí)，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有_____個(gè).(用數(shù)字作答)解析

1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.答案解析60例2設(shè)集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為A.78 B.76 C.83 D.84解析若從正面考慮，需分當(dāng)a3＝9時(shí)，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當(dāng)a3＝8時(shí)，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；…分類較多，而其對立面a3－a2>6包含的情況較少，當(dāng)a3＝9時(shí)，a2取2，a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決.集合S的含有三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為

＝84.在這些含有三個(gè)元素的子集中能滿足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故滿足題意的集合A的個(gè)數(shù)為84－1＝83.√命題角度2

“正難則反”思想答案解析反思與感悟?qū)τ谡嫣幚磔^復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考.跟蹤訓(xùn)練2由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競賽，則不同的參賽方案共有_____種.答案解析30∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種).例3在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？類型二排列與組合的綜合應(yīng)用解答根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序.(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解答×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來排，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720×840＝604800(種)安排順序.(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？解答但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，反思與感悟排列與組合的綜合問題，首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合.對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列.對特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計(jì)數(shù)時(shí)，要注意考慮全面，排除干凈.跟蹤訓(xùn)練3在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如：“102”“546”為駝峰數(shù)，由數(shù)字1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為_____.答案解析30所以所有的三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.命題角度1二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題類型三二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用解答于是有理項(xiàng)為T1＝x5和T7＝13440.所以系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為T8＝－15360

.(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；解設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，則解答又因?yàn)閗∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，當(dāng)k＝7時(shí)，T8＝－15360

，又因?yàn)楫?dāng)k＝0時(shí)，T1＝x5，當(dāng)k＝10時(shí)，T11＝(－2)10

＝1024

，解答反思與感悟

(1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素.(2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng).(3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù).(4)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入.(5)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練4已知二項(xiàng)式

展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍.(1)求n；解答由題意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解答＝(－1)kC54－k·，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)：(3)求展開式中所有有理項(xiàng).解答所以展開式中所有有理項(xiàng)為命題角度2二項(xiàng)展開式的“賦值”問題解(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展開式中x2的系數(shù)，解答例5

若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；解令x＝1，代入已知式可得，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.解答(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.解令x＝－1可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把這兩個(gè)等式相乘可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.解答反思與感悟與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練5若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為____.解析

令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.答案解析5達(dá)標(biāo)檢測1.設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有a種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為A.(34，34) B.(43，34)C.(34，43) D.解析由題意知本題是一個(gè)分步乘法問題，首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知4名學(xué)生共有34種選擇，每項(xiàng)冠軍有4種可能結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知3項(xiàng)冠軍共有43種可能結(jié)果.故選C.答案解析√12345答案解析2.5名大人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有12345√答案解析3.我省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展.某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán).若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為A.72 B.108C.180 D.216√12345解析根據(jù)題意，分析可得，必有2人參加同一社團(tuán)，首先分析甲，甲不參加“圍棋苑”，則其有3種情況，再分析其他4人，12345則除甲外的4人有24＋36＝60(種)情況，故不同的參加方法的種數(shù)為3×60＝180(種)，故選C.答案解析4.(x－2y)6的展開式中，x4y2的系數(shù)為A.15 B.－15 C.60 D.－60所以x4y2的系數(shù)為60，故選C.√12345