2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題5 專項突破五 統(tǒng)計與概率解答題【課件】

專項突破五

統(tǒng)計與概率解答題專題五2025內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.離散型隨機變量的方差公式

名師點析方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)離散程度大小的量.2.期望與方差的性質(zhì)(1)離散型隨機變量期望的性質(zhì)①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),則E(X)=np;③若X服從兩點分布,則E(X)=p.(2)離散型隨機變量方差的性質(zhì)①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p);③若X服從兩點分布,則D(X)=p(1-p).3.正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此正態(tài)分布常記作N(μ,σ2).如果隨機變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是:(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.注意是σ2,不是σ

關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一正態(tài)分布及其應(yīng)用[例1]某工廠一臺設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件,工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況,隨機抽檢了該設(shè)備在一個生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)(單位:cm),經(jīng)統(tǒng)計得到下面的頻率分布直方圖.

①為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程,每個生產(chǎn)周期中都要隨機抽測10個零件的關(guān)鍵指標(biāo),如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常,需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備.下面是某個生產(chǎn)周期中抽測的10個零件的關(guān)鍵指標(biāo):0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83②若設(shè)備狀態(tài)正常,記X表示一個生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個零件關(guān)鍵指標(biāo)在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件個數(shù),求P(X≥1)及X的均值.②抽測一個零件關(guān)鍵指標(biāo)在[μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的概率約為0.9973,所以抽測一個零件關(guān)鍵指標(biāo)在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率為1-0.9973=0.0027,故X~B(10,0.0027),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997310≈1-0.9733=0.0267,所以E(X)=10×0.0027=0.027.規(guī)律方法利用正態(tài)曲線的對稱性求概率的策略(1)解決此類問題的關(guān)鍵是利用對稱軸直線x=μ確定所求概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間的關(guān)系,必要時,可借助圖形判斷.(2)對于隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),由直線x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸可知:①對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(3)對于特殊區(qū)間求概率一定要掌握服從N(μ,σ2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間的取值概率,將所求問題向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)轉(zhuǎn)化,然后利用特定值求出相應(yīng)概率.同時,要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì).精典對練?得高分某網(wǎng)絡(luò)APP在平臺開展了一項有獎闖關(guān)活動,并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分,競猜活動共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān),本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會,兩次均未通過,則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過相互獨立.已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動.(2)已知該闖關(guān)活動累計得分X服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎勵,請說明理由;②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分,351分以上共有57人”,請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附:若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)設(shè)Ai:第i次通過第一關(guān),Bi:第i次通過第二關(guān),i=1,2,甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P.由題意知(2)設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為X~N(μ,σ2).①由題意可知μ=171,所以前400名參賽者的最低得分低于μ+σ=261,而甲的得分為270分,所以甲能夠獲得獎勵.數(shù)學(xué)思想?擴思路函數(shù)與方程思想某屆女排世界杯共有12支參賽隊伍,本次比賽啟用了新的排球用球,已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位:g)服從正態(tài)分布N(270,52).比賽賽制采取單循環(huán)方式,即每支球隊進(jìn)行11場比賽(采取5局3勝制),最后積分最高的隊伍取得最后冠軍(若積分相同需要進(jìn)行加賽).積分規(guī)則如下:比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分,負(fù)隊積0分;而在比賽中以3∶2取勝的球隊積2分,負(fù)隊積1分.已知第10輪A隊對抗B隊,設(shè)每局比賽A隊取勝的概率為p(0<p<1).(1)若比賽準(zhǔn)備了1000個排球,請估計質(zhì)量指標(biāo)在[260,265]內(nèi)的排球個數(shù)(計算結(jié)果取整數(shù)).(2)第10輪比賽中,記A隊3∶1取勝的概率為f(p).①求出f(p)的最大值點p0;②若以p0作為p的值,記第10輪比賽中,A隊所得積分為X,求X的分布列及均值.參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.X的分布列為

點評在求f(p)的最大值點p0時,因為f(p)是關(guān)于變量p的函數(shù),故利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,從而得最大值點.體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的運用.突破點二均值與方差在實際問題中的應(yīng)用等級A級B級C級個數(shù)404020[例2]某公司從進(jìn)入市場的某種商品中隨機抽檢100個,利用等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下.(1)以表中抽檢的樣本估計全市該商品的等級,現(xiàn)從全市上市的該商品中隨機抽取10個,若取到k個A級品的可能性最大,求k的值;銷量/噸151617181920年數(shù)245621(2)一連鎖超市采購商每年采購A級該商品,前20年該商品在此超市的實際銷量統(tǒng)計如下表.今年A級該商品的采購價為0.8萬元/噸,超市以1.6萬元/噸的價格賣出,由于商品不易儲存,賣不完當(dāng)垃圾處理.超市計劃今年購進(jìn)17噸或18噸該商品,你認(rèn)為應(yīng)該購進(jìn)17噸還是18噸?請說明理由.(2)超市購進(jìn)17噸該商品時,利潤為ξ1,賣出的噸數(shù)為X1,X1的可能取值為15,16,17,ξ1的可能取值為10.4,12,13.6,規(guī)律方法利用均值與方差進(jìn)行決策的思想方法隨機變量的均值的意義在于描述隨機變量的平均程度,而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或者集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、設(shè)備的性能、采購的數(shù)量、預(yù)報的準(zhǔn)確與否等很多指標(biāo)都與這兩個特征量有關(guān).精典對練?得高分(2024·新高考Ⅱ,18)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績?yōu)?分;若至少投中1次,則該隊進(jìn)入第二階段,第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分,該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率;(2)假設(shè)0<p<q,(ⅰ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ⅱ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?解

(1)設(shè)A1=“甲、乙所在隊進(jìn)入第二階段”,則P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.設(shè)A2=“乙在第二階段至少得5分”,則P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.設(shè)A3=“甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分”,則P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686.(2)(ⅰ)設(shè)甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲,則P甲=[1-(1-p)3]·q3=pq3·(3-3p+p2).設(shè)乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙,則P乙=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q+q2).則P甲-P乙=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)·(p+q-pq),由0<p<q≤1,得q-p>0,p+q-pq=p+q(1-p)>0,所以P甲-P乙>0,即P甲>P乙.故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

數(shù)學(xué)思想?擴思路為了慶祝黨的二十大順利召開,某學(xué)校特舉辦主題為“重溫光輝歷史

展現(xiàn)堅定信心”的百科知識小測試比賽.比賽分搶答和必答兩個環(huán)節(jié),兩個環(huán)節(jié)均設(shè)置10道題,其中5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題.(1)在搶答環(huán)節(jié),某代表隊非常積極,搶到4次答題機會,求該代表隊至少搶到1道地理環(huán)境題的概率;(2)在必答環(huán)節(jié),每個代表隊從5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題中各選2題,各題答對與否相互獨立,每個代表隊可以先選擇人文歷史題,也可以先選擇地理環(huán)境題開始答題.若中間有一題答錯就退出必答環(huán)節(jié),僅當(dāng)?shù)谝活悊栴}中2題均答對,才有資格開始第二類問題答題.已知答對1道人文歷史題得2分,答對1道地理環(huán)境題得3分.假設(shè)某代表隊答對人文歷史題的概率都是

,答對地理環(huán)境題的概率都是

.請你為該代表隊作出答題順序的選擇,使其得分均值更大,并說明理由.點評第(2)問,根據(jù)題意分類討論,分別求出該代表隊兩種不同答題順序下的均值,比較它們的大小即可得出答案.突破點三概率分布與其他知識的綜合(1)封閉集訓(xùn)期間,記3名運動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)封閉集訓(xùn)期間,記某運動員第n天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為Pn,求P45.規(guī)律方法概率與數(shù)列的綜合是新高考卷