閆石數(shù)字電路第2章

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識§2.2邏輯代數(shù)及其運算規(guī)則§2.3邏輯函數(shù)表示方法§2.4邏輯函數(shù)的化簡在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)）。邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。此時，0和1不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的狀態(tài)?！?.1概述一、與邏輯（與運算）與邏輯：僅當決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：Ｙ＝ＡＢＣ…例：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算功能表將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：真值表Ｙ＝Ａ?Ｂ兩個開關(guān)均接通時，燈才會亮。邏輯表達式為：實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。

與門的邏輯符號：Ｙ＝Ａ?Ｂ二、或邏輯（或運算）或邏輯：當決定事件（Y）發(fā)生的各種條件A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：功能表真值表Ｙ＝Ａ+Ｂ實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B三、非邏輯（非運算）非邏輯：指的是邏輯的否定。當決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：Y＝A′功能表真值表實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。

非門的邏輯符號：Y＝A′常用的邏輯運算1、與非運算：邏輯表達式為：2、或非運算：邏輯表達式為：3、異或運算：邏輯表達式為：4、同或運算：邏輯表達式為：＝A⊙B異或和同或互為反運算5、與或非運算：邏輯表達式為：§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式請?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處1.常量之間的關(guān)系

2.基本公式分別令A=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。

3.基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：求證:

（17式）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A?1+BC=A+BC=左邊課本上用真值表證明二、常用公式1.A+AB

=A2.A+A′B=A+B

A′+AB=A′+B注:紅色變量被吸收掉！證明:A+A′B

=(A+A′)

?(A+B);分配律

=1?(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)3.AB+AB

′=A4.A(A+B

)=A證明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A5.AB+A′C+BC

=AB+A′C證明:

AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC

=AB+A′C+ABC+A′BC

=AB(1+C)+A′C(1+B)

=AB+A′CAB+A′C+BCD

=AB+A′C6.

A·(A·B)′=A·B′

A′·(A·B)′=A′證明:A·(A·B)′=A·(A′+B′)=A·A′+A·B′=A·B′A′·(A·B)′=A′·(A′+B′)=A′·A′+A′·B′=A′·(1+B′)=A′一、代入定理任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入定理。例如，已知等式，用函數(shù)Y=BC代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：§2.4邏輯代數(shù)的基本定理

二、反演定理對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y′（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演定理。

應用反演定理應注意兩點：1、保持原來的運算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達式中，AB之間先運算，再和其它變量進行運算，那么非函數(shù)的表達式中，仍然是AB之間先運算。2、不屬于單個變量上的反號應保留不變。

三、對偶定理對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)D,YD稱為Y的對偶式。對偶定理：如果兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。（2）式（12）式§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)

如果以邏輯變量作為輸入，以運算結(jié)果作為輸出，當輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。Y=F(A,B,C,…)二、邏輯函數(shù)表示方法常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語言。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。例：一舉重裁判電路設A、B、C為1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開；Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。得到函數(shù)表示形式：真值表函數(shù)式邏輯圖波形圖ABCYtttt真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。0110AY一輸入變量，二種組合ABY001011101110二輸入變量，四種組合ABCY00000010010001101000101111011111三輸入變量，八種組合ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四輸入變量，16種組合請注意

n個變量可以有2n個組合，一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。邏輯函數(shù)式把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。比如：邏輯圖：把相應的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來。各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換1、真值表→邏輯函數(shù)式方法:將真值表中為1的項相加,寫成“與或式”。ABCY00000010010001111000101111011110

例2.5.12、邏輯式→真值表方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。例2.5.2ABCY000001010011100101110111011111103、邏輯式→邏輯圖方法:用圖形符號代替邏輯式中的運算符號,就可以畫出邏輯圖.例2.5.34、邏輯圖→邏輯式方法:從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，即得到對應的邏輯函數(shù)式.5、波形圖→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY00000101001110010111011101100101最小項:在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量都以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項m稱為該函數(shù)的一個標準積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8(23)個最小項：4個變量可組成16(24)個最小項,記作m0～m15。三、邏輯函數(shù)的兩種標準形式最小項的性質(zhì):①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。③全部最小項的和必為1。任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式。邏輯函數(shù)的最小項表達式對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A′＝1

和A(B+C)＝AB＋AC來配項展開成最小項表達式。例2.5.6如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。四、邏輯函數(shù)形式的變換根據(jù)邏輯表達式，可以畫出相應的邏輯圖，表達式的形式?jīng)Q定門電路的個數(shù)和種類。在用電子器件組成實際的邏輯電路時，由于選擇不同邏輯功能類型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換成相應的形式。1、最簡與或表達式最簡與或表達式

首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量最少

實現(xiàn)電路的與門少

下級或門輸入端個數(shù)少與門的輸入端個數(shù)少2、最簡與非-與非表達式①在最簡與或表達式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉內(nèi)層的非號3、最簡或與表達式①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式4、最簡或非-或非表達式①求最簡或與表達式②兩次取反③用摩根定律去掉內(nèi)部的非號５、最簡與或非表達式①求最簡或非-或非表達式②用摩根定律去掉內(nèi)部非號。方法一：①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②求反，得到最簡與或非表達式方法二：§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法一、公式化簡法并項法：吸收法：A+AB

=A消項法：消因子法：配項法：AB+AB=A′AB+AC+BC

=AB+AC′′A+AB=A+B′A+A

=AA+A

=1′例2.6.1

試用并項法化簡下列函數(shù)=B例2.6.2

試用吸收法化簡下列函數(shù)=A+BC例2.6.3

用消項法化簡下列函數(shù)例2.6.4

用消因子法化簡下列函數(shù)例2.6.5

化簡函數(shù)解：;A+A＝A例2.6.6

化簡函數(shù)解：;A+A′＝1例2.6.6

化簡函數(shù)解二：②③④①⑤;②⑤消去③，④⑤消去①解三：②③④①⑤;①⑤消去④,③⑤消去②;增加冗余項;增加冗余項例2.6.7

化簡邏輯函數(shù)解：吸收法消因子法吸收法消項法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上相鄰排列，得到的圖形叫做n變量最小項的卡諾圖。卡諾圖的定義：二、卡諾圖化簡法邏輯相鄰項：僅有一個變量不同其余變量均相同的兩個最小項，稱為邏輯相鄰項。不是邏輯相鄰項是邏輯相鄰項卡諾圖的表示：上下對折,左右對折均是邏輯相鄰項.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：例2.6.8

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：將Y化為最小項之和的形式＝m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111例2.6.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫出該函數(shù)的邏輯式用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)合并最小項的原則（1）任何兩個（21個）相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量。合并最小項的原則（2）任何4個（22個）相鄰的最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。合并最小項的原則（3）任何8個（23個）相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。合并最小項的原則利用AB+AB′=A2個最小項合并，消去1個變量；4個最小項合并，消去2個變量；8個最小項合并，消去3個變量；

……2n個最小項合并，消去n個變量；卡諾圖化簡法的步驟★畫出變量的卡諾圖;★

作出函數(shù)的卡諾圖;★畫圈;★寫出最簡與或表達式。畫圈的原則◆合并個數(shù)為