3-2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系(人教B版2019必修第一冊(cè))

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系x1x2△=b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)△>0△=0△<0有兩個(gè)不相等實(shí)根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2無實(shí)根﹛x|x≠x1﹜??R前

提

測(cè)

評(píng)1.求下列方程的根．2.畫出下列函數(shù)的圖象-31-1-2-1-2210方程的根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X-2=0y=x-2①函數(shù)零點(diǎn)的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎?是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn).？導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)xy-13412-2①在區(qū)間上

零點(diǎn)（填“有”或“無”）

f(-2)=

，f(1)=＿＿＿，

f(-2)·f(1)

0,（填“<”或“>”）探究（一）(Ⅰ)觀察二次函數(shù)f(x)=x2－2x-3的圖象②在區(qū)間[2,4]上

零點(diǎn),f(2)=

,f(4)=

,f(2)·f(4)

05-4<5<有有-3導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)返回目錄

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖像是

，且

，則在區(qū)間（a,b）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間（a,b)內(nèi)

，函數(shù)f(x)有零點(diǎn)；即函數(shù)y=f(x)的圖像

或者方程f(x)=0

.連續(xù)曲線

f(a)f(b)＜0

至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解

與x軸有交點(diǎn)

有解

端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則函數(shù)有零點(diǎn)？函數(shù)圖象連續(xù)0yx0yxxy0ab導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)③零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)在（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)。注:只有上述兩個(gè)條件同時(shí)滿足,才能判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)。導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)xy0

下圖中在區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)?探究（二）什么情況下只有唯一一個(gè)零點(diǎn)？端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的單調(diào)函數(shù)導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)③零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)在（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)。

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·

f(b)﹤0,且是單調(diào)函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)必有唯一的一個(gè)零點(diǎn)。導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)11用一用解：因?yàn)橛值膱D象是連續(xù)的,所以在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點(diǎn),即在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有實(shí)數(shù)解。分析：判定方程有沒有實(shí)數(shù)解即可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)有沒有零點(diǎn)新知應(yīng)用12例2判定方程(x-2)(x-5)=1有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解,且一個(gè)大于5,一個(gè)小于2.解:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1

則f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

又因?yàn)閒(x)的圖像是開口向上的拋物線,所以拋物線與橫軸在(5,+∞)內(nèi)有一交點(diǎn),在(-∞,2)內(nèi)也有一個(gè)交點(diǎn).yx25-1O

所以相應(yīng)的方程(x-2)(x-5)-1=0有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解,且一個(gè)大于5,一個(gè)小于2新知應(yīng)用返回目錄

考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判斷與求解

1、判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn).（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;(1)解法一:∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零點(diǎn).

解法二:

令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,∴函數(shù)f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零點(diǎn).返回目錄

1、判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn).（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;解:

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零點(diǎn).返回目錄

考點(diǎn)二零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用（1）若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；【解析】(1)若a=0，則f(x)=-x-1,

令f(x)=0，即-x-1=0,得x=-1，故符合題意;

若a≠0，則f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),

故有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于Δ=1+4a=0,

解得a=-.

綜上所述,a=0或a=-.前

提

測(cè)

評(píng)1、函數(shù)y＝f(x)的圖象在[a,b]內(nèi)是連續(xù)的曲線，若f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)（）

A．只有一個(gè)零點(diǎn)

B．至少有一個(gè)零點(diǎn)

C．無零點(diǎn)

D．無法確定B練一練前

提

測(cè)

評(píng)2、

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且方程f(x)＝0在(－2,2)上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則f(－1)·f(1)的值（）A．大于0 B．小于0C．無法判斷

D．等于零C前

提

測(cè)

評(píng)3、

不論m為何值，函數(shù)f(x)＝x2－mx＋m－2的零點(diǎn)有（）A．2個(gè)B．1個(gè)C．0個(gè)D．不確定A

利用二分法求方程

的近似解問題1算一算：查找線路電線、水管、氣管等管道線路故障定義：每次取中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法叫二分法，也叫對(duì)分法，常用于：

在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這上一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？

要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？方法分析：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢；是方程求根的常用方法！7次零點(diǎn)存在定理

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)<0，則在區(qū)間（a,b）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.實(shí)例體驗(yàn)：-1f(x)yxO12345在下圖中，函數(shù)y=f(x)在[-1,5]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，試用二分法求方程f(x)=0的一個(gè)解。取[-1,5]的一個(gè)中點(diǎn)2，因?yàn)閒(2)>0,f(5)<0,即

f(2)f(5)<0,所以在區(qū)間[2,5]內(nèi)有方程的解，于是再取[2,5]的中點(diǎn)3.5，……如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x0,恰好使f(x0)=0,

則x0就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)總不為0，那么，不斷重復(fù)上述操作，抽象概括利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過程選定初始區(qū)間取區(qū)間的中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值為0MN結(jié)束是否是1.初始區(qū)間是一個(gè)兩端函數(shù)值符號(hào)相反的區(qū)間2.“M”的意思是取新區(qū)間，其中一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)3.“N”的意思是方程的解滿足要求的精確度。中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0中點(diǎn)函數(shù)值為0是是結(jié)束是NNN二分法求方程的近似解

對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)(或?qū)?yīng)方程的根)近似解的方法叫作二分法．二分法:前提

下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是（）Cxy0xy0xy0xy0解析:考察函數(shù)f(x)=2x3+3x-3,從一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間開始,應(yīng)用二分法逐步縮小方程實(shí)數(shù)解所在區(qū)間.經(jīng)試算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x-3=0在[0,1]內(nèi)有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3有解區(qū)間的表如下:例1.求方程2x3+3x-3=0的一個(gè)實(shí)數(shù)解,精度為0.01次數(shù)左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度第1次0-3121第2次0.5-1.25120.5第3次0.5-1.250.750.093750.25第4次0.625-0.636718750.750.093750.125第5次0.6875-0.2875976560.750.093750.0625第6次0.71875-0.1011352540.750.093750.03125第7次0.734375-0.0047683720.750.093750.015625第8次0.734375-0.0047683720.74218750.0442190170.0078125至此，我們得到，區(qū)間[0.734375,0.7421875]的區(qū)間長(zhǎng)度為0.0078125，它小于0.01，因此，我們可以選取這一區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程2x3+3x-3=0的近似解.例如我們選取0.74作為方程2x3+3x-3=0的一個(gè)近似解.