高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義強(qiáng)化訓(xùn)練(四)

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(四)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2022?廣東廣州一模)曲線y=x3+l在點(diǎn)(-1,a)處的切線方程為

(A)

A.y=3x+3B.y=3x+l

C.y二一3xTD.y=-3x-3

解析:(x)=3x；所以『(-1)=3,又當(dāng)x=-1時(shí),ar'+k-l+kO,所以

y=x3+l在點(diǎn)(-1,a)處的切線方程為y=3(x+l),即尸3x+3.故選A.

2.(2022?河北滄州三模)已知函數(shù)f(x)=--x,貝ij(C)

X

A.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

B.f(x)的極小值點(diǎn)為1

C.f(x)的極大值為-1

D.f(x)的最小值為-1

解析：因?yàn)閒(x)」U-x,所以f

令。(x)=l-lnx-x2,則夕'(x)=---2x<0,

X

所以9(x)=l-Inx-x2在10,+8)上單調(diào)遞減，因?yàn)?(1)=0,所以當(dāng)

0<x<l時(shí),<p(x)>0,即f'(x)>0;當(dāng)x>l時(shí),<p(x)<0,即f'(x)<0,所以

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

故f(X)的極大值點(diǎn)為1,f(X)極大值=f(1)=T,即f(x)max=f(1)=T,不存在

最小值.故選C.

3.(2022?福建模擬預(yù)測(cè))已知a=esin4磊,b=etanc=eC0S'+3,

goinieQn/eCoss

則(B)

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

解析:設(shè)函數(shù)f(x)=e'+W則f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，(x)二

ex

e—R,

ex

所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閟in14,tan2<-l<cos3〈-亨,所以-tan2>l>-cos3>^>sinl>0,

又a=f(sin1),b=f(tan2)=f(-tan2),c=f(cos3)=f(-cos3),所以

b>c>a.故選B.

4.(2022?江蘇蘇州模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函

數(shù),f(2)=0,當(dāng)x>0時(shí),有x#(x)-f(x)>0成立,則不等式xf(x)>0的

解集是(A)

A.(-8,-2)U⑵+8)

B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-OO,-2)U(0,2)

D.(2,+8)

解析:設(shè)g(x)亭，則g'(x)=[^r.廣;；「⑺，由已知可得當(dāng)x>0

時(shí),g(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x>2時(shí),g(x)>g(2)=0,此時(shí)f(x)>0;0<x<2時(shí),

g(x)<g(2)=0,此時(shí)f(x)<0.

又f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)-2<x<0時(shí)，f(x)二-六七)>0;當(dāng)x<-2時(shí)，

f(x)=-f(-x)<0.

則不等式xf(x)>0等價(jià)于?0,或°,可得X>2或x<-2,

(x>0,(xV0,

則不等式xf(x)>0的解集是(一8,—2)U(2,+8).故選A.

5.若函數(shù)f(x)=ex(cosx-a)在區(qū)間(三,9上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是(D)

A.(-V2,+8)B.(1,+8)

C.［1,+8)D.［V2,+oo)

解析：#(x)=ex(cosx-a)+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx-a).

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-2；)上單調(diào)遞減,所以廣(x)W0在區(qū)間(-p學(xué)上

恒成立，

BPcosx-sinx-aWO，恒成立，BPa2cosx-sinx=V^cos(x+F>恒成立.

4

因?yàn)?沙《,所以-濘+%學(xué)所以Tcos(x+；)WvZ所以a^V2.

故選D.

6.函數(shù)f(x)=x+2sinx(x>0)的所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列｛aj,

設(shè)Sn是｛aj的前n項(xiàng)和，貝ljsinS2021等于(B)

A.1B.—C.OD.--

22

解析：f'(x)=l+2cosx(x>0),『(x)是周期為2B的周期函數(shù)，

令f'(x)=l+2cosx=0,得cosx=q,在區(qū)間(0,2兀］上，由cosx=-p

解得x號(hào)或x3,畫出廣(x)在(0,2n］上的圖象如圖所示，由圖可

知f(x)在區(qū)間(0,2兀］上的極小值點(diǎn)為x號(hào).

所以瓜｝是首項(xiàng)為二千,公差為2兀的等差數(shù)列，所以土。后2021X?+

2°21X202°X2冗=2021X(JI+-)+2021X2020n=2021n+i-^+

233

2

2021X2020n=202在JI+673n+g,所以sinS202i=sin(2021n+

673H+9=Siny=y.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

7.(2022?福建莆田模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)y二f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得

f(x)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱kf(x)具有T性質(zhì).下

列函數(shù)具有T性質(zhì)的是(ACD)

A.y=sin2x

B.y=tanx

c.y二層，x￡(-2,+8)

D.y=ex-lnx

解析:當(dāng)尸si/x上等時(shí),y，=sin2xe[-l,l],Sx.哼時(shí),

A滿足條件;

當(dāng)yranx時(shí),y'二含>。恒成立,B不滿足條件;

<-32，(-2,1),

(x+2)

當(dāng)y二六〃￡(-2,+8)時(shí)，丫，當(dāng)X1=-^,x=

32

2,%￡(1,+00),4

、(工+2)

2時(shí),C滿足條件;

當(dāng)y=ex-lnx(x>0)時(shí),y'二e一函數(shù)y'工在定義域上單調(diào)遞增,

XX

且y'=泥-3〈-1,y'|x=i=eT>l,所以存在y'I=

兀一石1

T,y‘、X-r兀=2l,D滿足條件.故選ACD.

8.已知函數(shù)f(x)=x~31nxT,則(BC)

A.f(x)的極大值為0

B.曲線尸f(x)在(1,f(1))處的切線為x軸

C.f(x)的最小值為0

D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)

解析：f(x'x-Hnx-1的定義域?yàn)?0,+8),f，(x)=3X2-^=-(X-1),

XX

令尹(x)二0,得Xn，當(dāng)X變化時(shí),(x),f(x)的變化情況如表所示.

X(0,1)1(1,+°°)

f'(x)—0+

f(x)極小值

所以f(x)的極小值,也是最小值為f(l)=0,無極大值,在定義域內(nèi)不

單調(diào)，故C正確,A,D錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)閒⑴=0,*⑴=0,所以尸f(x)

在(1,f(1))處的切線方程為y-0=0(x-l),即尸0,故B正確.故選BC.

三、填空題

9.(2022?吉林東北師大附中模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)=x'+3ax2+3(a+2)x+3

既有極大值,又有極小值,則a的取值范圍是.

解析：f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3,f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值，又有極小值，所以△=(6a)2-4X3X

3(a+2)>0,

即a2_a_2>0,(a_2)(a+l)>0,解得a>2或a<_l.

答案：(-8,-1)u(2,+8)

10.(2022?河北唐山二模)若函數(shù)f(x)=x21nx,g(x)=xe?、則f(x)的

最小值為;若a,b>0,且f(a)=g(b),則a-2b的最小值

為.

解析：由題意可得f(x)=x1nx,析0,則f'(x)=x(21nx+1),

11

當(dāng)0<x〈e5時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x〉e一5時(shí),f'(x)>0,f(x)

單調(diào)遞增,故x二是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),故f(x)的最小

f(e-2)=e-1lne-2=--.

2e

由a,b>0,且f(a)=g(b)可得a2lna=be2b,

則Ina>0,a>l,即有Inae21na=be2b,

由于g(x)=xe2x,g1(x)=/(2*+1),當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，

故由a>l,b>0,Ina/n?be2b可得Ina二b,故a-2b=a-21na,a>l,令

h(x)=x-21nx,x>l,則h'(x)=l-2~x2,Kx<2時(shí),h'(x)<0,h(x)

XX

單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

故h(x).1h(2)=2-21n2,即a-2b的最小值為2-21n2.

答案:2-21n2

2e

四、解答題

11.(2022?河南焦作二模)已知函數(shù)f(x)=(x-2)e\

(1)求f(x)的極值;

⑵若函數(shù)g(x)=f(x)-k(x-lnx)在區(qū)間(i1)上沒有極值,求實(shí)數(shù)k

的取值范圍.

解：(1)由題意，函數(shù)f(x)=(x—2)e\可得f'(x)=ex+(x-2)e=(x-l)ex,

令*(x)=0,解得x=l,當(dāng)x〈l時(shí),(x)<0,當(dāng)x>l時(shí),f(x)>0,

所以f(x)在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)f(X)取得極小值為f(l)-e,無極大值.

(2)由g(x)=(x-2)eX-k(xTnx),可得屋(x)=(xT)?(ex--),

X

因?yàn)間(x)在區(qū)間(i1)上沒有極值,所以g(x)在61)上單調(diào)遞增或單

調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(W1)時(shí),g'(x)20或g'(x)WO恒成立，即或

2xx

恒成立，

即k2xe"或女《*6”在x￡。1)上恒成立,設(shè)h(x)=xe\

則h'(x)=(x+l)ex,

當(dāng)x￡§1)時(shí),h，(x)>0,所以h(x)在。1)上單調(diào)遞增，

要使kexex或kWxe'恒成立,則k^h(l)=e或

kWh§喙即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-8,爭(zhēng)u電+8).

12.(2022?全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線產(chǎn)f(x)在

點(diǎn)區(qū),f(xi))處的切線也是曲線y二g(x)的切線.

⑴若Xi="l,求a;

(2)求a的取值范圍.

解:(1)由題意知，f(T)=T-(T)=0,f'(x)=3x2-l,fz(-1)=3-1=2,

則y=f(x)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2(x+1),

/

即y=2x+2,設(shè)該切線與曲線g(x)切于點(diǎn)出g(x2)),g(x)=2x,

則g'(x2)=2X2=2,解得x2=l,則g(l)=l+a=2+2,解得a=3.

2

(2)f'(X)=3X-1,則y=f(x)在點(diǎn)(xbf(x))處的切線方程為

y-(xf-xi)=(3%i-l)(x-xi),整理得y二(3好T)x-2婢，

設(shè)該切線與曲線g(x)切于點(diǎn)曲2,g(x2)),g'(x)=2x,則g'(x2)=2x2,

+a2X

則切線方程為y~(%2)-2(X-X2),整理得y=2x2x-x^+a,

則Q整理得

I