2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第九章概率與統(tǒng)計(jì)第7講計(jì)數(shù)原理與排列組合含解析

PAGE1-第7講計(jì)數(shù)原理與排列組合1.(2024年四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24B.48C.60D.722.(2024年新課標(biāo)Ⅱ)如圖X9-7-1，小明從街道的E處動(dòng)身，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()圖X9-7-1A.24條B.18條C.12條D.9條3.若原來(lái)站成一排的4個(gè)人重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置上，則不同的站法種數(shù)為()A.4B.8C.12D.244.(2024年重慶)某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出依次，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72種B.120種C.144種D.168種5.(2024年四川)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)6.將A，B，C，D，E這5名同學(xué)從左至右排成一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有一名同學(xué)的排法有()A.18B.20C.21D.227.(2024年云南昆明模擬)用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，然后由小到大排列，則42351是第()個(gè)數(shù).A.80B.81C.82D.838.6名同學(xué)站成一排照相，要求甲不站在兩側(cè)，而且乙和丙相鄰、丁和戊相鄰，則不同的站法種數(shù)為()A.60B.96C.48D.729.(2024年?yáng)|北三省三校一模)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別探討四個(gè)不同課題，且每組只探討一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長(zhǎng)，則不同的安排方案的種數(shù)為()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)B.Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))43D.Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)4310.(2024年浙江)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有______種不同的選法.(用數(shù)字作答)11.(2024年天津)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有__________個(gè).(用數(shù)字作答)12.(2024年浙江寧波模擬)如圖X9-7-2，矩形的對(duì)角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法.圖X9-7-213.高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必需有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的安排方案有()A.16種B.18種C.37種D.48種14.某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生舉薦名額，其中甲高校2名，乙高校2名，丙高校1名，并且甲高校和乙高校都要求必需有男生參與，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)舉薦對(duì)象，則不同的舉薦方法共有()A.36種B.24種C.22種D.20種15.將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20)D.eq\f(1,4)

第7講計(jì)數(shù)原理與排列組合1．D2.B3．B解析：依據(jù)題意，分兩步考慮：第一步，先從4個(gè)人里選1人，其位置不變，其他3人都不站在自己原來(lái)的位置上，站法有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；其次步，對(duì)于都不站在自己原來(lái)的位置上的3個(gè)人，有2種站法．故不同的站法共有4×2＝8(種)．故選B.4．B5.B6．B解析：當(dāng)A，C之間為B時(shí)，看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12種，當(dāng)A，C之間不是B時(shí)，先在A，C之間插入D，E中的隨意一個(gè)，然后B在A之前或之后，再將這四個(gè)人看成一個(gè)整體，與剩余一個(gè)進(jìn)行排列，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8種，∴共有20種不同的排法．7．C解析：萬(wàn)位取1,2,3時(shí)，共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個(gè))．萬(wàn)位取4時(shí)，分兩種狀況：(1)41×××，此時(shí)有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))；(2)42×××，此時(shí)又分兩類．①421××?xí)r，有Aeq\o\al(2,2)＝2(個(gè))；②423××?xí)r，只有一個(gè)數(shù)42315小于42351.∴小于42351的數(shù)共有72＋6＋2＋1＝81(個(gè))，從而42351是第82個(gè)數(shù)．8．C解析：把乙和丙，丁和戊看作兩個(gè)整體，和己進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(3,3)種方法，∵甲不站在兩側(cè)，再把甲插入他們形成的中間兩個(gè)空中，故有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)種方法，再考慮乙和丙、丁和戊的排列可得不同的站法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48.故選C.9．B解析：將12名同學(xué)平均分成四組，共有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))，分別探討四個(gè)不同課題，共有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))×Aeq\o\al(4,4)，從四組中每組選出一名組長(zhǎng)，共有34，共計(jì)eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))×Aeq\o\al(4,4)×34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種．故選B.10．660解析：第一類，先選1女3男，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,2)＝40種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有Aeq\o\al(2,4)＝12種，故有40×12＝480種；其次類，先選2女2男，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,2)＝15種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有Aeq\o\al(2,4)＝12種，故有15×12＝180種；依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有480＋180＝660種．11．1080解析：依據(jù)題意，分2種狀況探討：①四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1,3,5,7,9中任選4個(gè)，組成一個(gè)四位數(shù)即可．有Aeq\o\al(4,5)＝120種狀況，即有120個(gè)沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；②四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，在1,3,5,7,9種選出3個(gè)，在2,4,6,8中選出1個(gè)，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝40種取法，將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種依次，則有40×24＝960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)．綜上所述，至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120＋960＝1080個(gè)．12．260解析：區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法．∴共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(種)涂色方法．13．C解析：自由選擇去四個(gè)工廠有43種方法，甲工廠不去，自由選擇去乙、丙、丁三個(gè)工廠有33種方法，故不同的安排方案有43－33＝37(種)．14．B解析：解法一：若甲高校和乙高校的舉薦名額分別為兩男、一男一女，選擇兩男為一組，再?gòu)膬蓚€(gè)女生中抽一個(gè)與剩下的一個(gè)男生組成一組，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)種分組方法，此時(shí)，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種舉薦方法；若甲高校和乙高校的舉薦名額分別是一男一女，先考慮甲高校的舉薦方法，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種方法，其次考慮乙高校的舉薦名額，有Ceq\o\al(1,2)＝2種舉薦方法．因此，共有12＋12＝24種舉薦方法，故選B.解法二：若不考慮任何限制，先考慮甲高校的舉薦方法，有Ceq\o\al(2,5)＝10種舉薦方法，其次考慮乙高校的舉薦方法，有Ceq\o\al(2,3)＝3種舉薦方法，總共有10×3＝30種舉薦方法；考慮甲高?；蛞腋咝](méi)有男生參與，則舉薦名額中，丙高校的舉薦名額肯定是一個(gè)男生，甲高校和乙高校的舉薦名額分別是兩男和兩女，此時(shí)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種舉薦方法．因此