2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第5講古典概型創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第5講古典概型[考綱解讀]1.理解古典概型及其概率計算公式，能計算一些隨機(jī)事務(wù)包含基本領(lǐng)件及其事務(wù)發(fā)生的概率．(重點、難點)2．了解隨機(jī)數(shù)意義，能運用模擬方法估計概率．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的熱點之一．預(yù)料2024年將會考查：①古典概型的基本計算；②古典概型與其他學(xué)問相結(jié)合．題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題，與實際背景相結(jié)合，試題難度中等.1.基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件都是eq\o(□,\s\up1(01))互斥的．(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成eq\o(□,\s\up1(02))基本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件eq\o(□,\s\up1(01))只有有限個．(2)等可能性：每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up1(02))相等．3．假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(1,n)；假如某個事務(wù)A包括的結(jié)果有m個，那么事務(wù)A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).1．概念辨析(1)在一次試驗中，其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事務(wù)．()(4)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)同時拋擲兩枚骰子，則向上的點數(shù)之和是7的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案A解析記拋擲兩枚骰子向上的點數(shù)分別為a，b，則可得到數(shù)組(a，b)共有36組，其中滿意a＋b＝7的共有6組，分別為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)從1,2,3,4這四個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案A解析從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中大于30的兩位數(shù)有31,32,34,41,42，43，共6個，所以這個兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機(jī)等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析從5名醫(yī)生中選派兩名醫(yī)生的基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的基本領(lǐng)件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事務(wù)概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選D.(4)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，2本數(shù)學(xué)書相鄰的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種(先排列數(shù)學(xué)書，再把兩本數(shù)學(xué)書作為整體和語文書進(jìn)行排列)．所以依據(jù)概率的計算公式，所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.題型一古典概型的簡潔問題1．(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，這25種基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是相等的．第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.2．將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同學(xué)排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當(dāng)A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當(dāng)A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).3．(2024·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)答案A解析在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，其基本領(lǐng)件總數(shù)n＝26＝64，恰有3個陽爻的基本領(lǐng)件數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.1．求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務(wù)，設(shè)出所求事務(wù)A；(2)分別求出基本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事務(wù)A中所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務(wù)A的概率．2．基本領(lǐng)件個數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有依次的問題及較困難問題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求排列、組合法當(dāng)基本領(lǐng)件個數(shù)符合排列、組合模型時，可以用排列、組合數(shù)公式干脆計數(shù)1．(2024·湖南雅禮中學(xué)模擬)甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡都送給丁的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案C解析全部的狀況有(甲送給丙、乙送給丁)(甲送給丁，乙送給丙)(甲、乙都送給丙)(甲、乙都送給丁)共4種，這4種狀況發(fā)生的可能性是相等的．其中甲、乙將賀年卡都送給丁的狀況只有一種，所以甲、乙將賀年卡都送給丁的概率是eq\f(1,4).2．(2024·南昌模擬)2024年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史，假如他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案D解析小明與小芳選課全部可能的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種，他們選課相同的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)種，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).題型二古典概型的交匯問題角度1古典概型與平面對量相結(jié)合1．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，平面對量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事務(wù)“|a|≤|b|”發(fā)生的概率．解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36種．(1)若a⊥b，則有m－3n＝0，即m＝3n，符合條件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，則有m2＋n2≤10，符合條件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，故所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型與函數(shù)、方程相結(jié)合2．(2024·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地勻稱的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是()A.eq\f(7,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36) D.eq\f(5,18)答案C解析投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿意的關(guān)系為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.當(dāng)b＝1時，沒有a符合條件；當(dāng)b＝2時，a可取1；當(dāng)b＝3時，a可取1,2；當(dāng)b＝4時，a可取1,2,3,4；當(dāng)b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6.故滿意條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝eq\f(19,36)，故選C.3．(2024·遼寧省試驗中學(xué)模擬)設(shè)a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)f(x)＝logeq\s\do4(\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為________．答案eq\f(1,2)解析由已知條件，得eq\f(a,b)的全部取值種數(shù)為3×4＝12.當(dāng)eq\f(a,b)>1時，f(x)為增函數(shù)，符合此條件的eq\f(a,b)有eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，eq\f(7,6)，共6種，所以函數(shù)f(x)＝logeq\s\do4(\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).角度3古典概型與幾何問題結(jié)合4．將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種等可能的結(jié)果，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當(dāng)a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共6種，當(dāng)a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當(dāng)a＝3時，有4種，當(dāng)a＝4時，有3種，當(dāng)a＝5時，有2種，當(dāng)a＝6時，有1種，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合5．(2024·綿陽模擬)目前有聲書正受到越來越多人的寵愛．某有聲書公司為了解用戶運用狀況，隨機(jī)選取了100名用戶，統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額(金額為整數(shù))狀況如下圖．有聲書公司將付費高于20元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有eq\f(3,8)的“年輕用戶”是“愛付費用戶”．(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認(rèn)為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關(guān)？愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶非年輕用戶合計(2)若公司采納分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機(jī)選取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率．P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)依據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如下：愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶244064非年輕用戶63036合計3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×24×30－40×62,30×70×64×36)≈4.76>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“愛付費用戶”和“年輕用戶”有關(guān)．(2)由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，1人為“非年輕用戶”，則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本領(lǐng)件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個．其中滿意抽取的2人均是“年輕用戶”的事務(wù)共有Ceq\o\al(2,4)＝6個．所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1．求解古典概型的交匯問題的步驟(1)依據(jù)相關(guān)學(xué)問構(gòu)建事務(wù)滿意的條件．(2)依據(jù)條件列舉全部符合的基本領(lǐng)件．(3)利用古典概型的概率計算公式求概率．2．破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步曲”1．把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，其次次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(11,12)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)答案B解析易知全部基本領(lǐng)件有36個，若m∥n，則eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即b＝2a.所以m與n共線包含的基本領(lǐng)件為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個，所以m與n不共線的概率為1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的有6個基本領(lǐng)件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).3．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．答案eq\f(1,3)解析點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種狀況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．(2024·武威模擬)某市第三中學(xué)統(tǒng)計了高三年級學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測成果(滿分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成果如莖葉圖所示：(1)依據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成果的中位數(shù)，并將同學(xué)乙的成果的頻率分布直方圖填充完整；(2)依據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)及穩(wěn)定程度(不要求計算出詳細(xì)值，給出結(jié)論即可)；(3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個成果，記事務(wù)A為“其中2個成果分別屬于不同的同學(xué)”，求事務(wù)A發(fā)生的概率．解(1)甲的成果的中位數(shù)是119，乙的成果的中位數(shù)是128.乙成果的頻率分布直方圖如下圖所示．(2)從莖葉圖可以看出，乙的成果的平均數(shù)比甲的成果的平均數(shù)高，乙同學(xué)的成果比甲同學(xué)的成果更穩(wěn)定集中．(3)甲同學(xué)的不低于140分的成果有2個，乙同學(xué)的不低于140分的成果有3個，現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個成果，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種結(jié)果．其中這2個成果分屬不同同學(xué)的狀況共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種．因此事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·廣西五市聯(lián)考)在{3,5}和{2,4}兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個數(shù)能被5整除的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案C解析全部基本領(lǐng)件為32,34,52,54,23,25,43,45，共8種，其中能被5整除的是25,45，共2種，故這個數(shù)能被5整除的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).2．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,4)答案A解析(a，b)全部可能的結(jié)果為3×3＝9種．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0))時，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2,1)，(2,3)，共2種，所以直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率P＝eq\f(2,9)，故選A.3．(2024·武漢市高三調(diào)研)從裝有3雙不同鞋的柜子中，隨機(jī)取2只，則取出的2只鞋不成對的概率為()A.eq\f(14,15) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)答案B解析從3雙不同的鞋子中隨機(jī)取2只，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種可能結(jié)果，成對的有3種結(jié)果，不成對的有12種結(jié)果，所以所求概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故選B.4．(2024·沈陽模擬)我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》…《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著非常豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()A.eq\f(14,15) B.eq\f(1,15)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)答案A解析設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事務(wù)A，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，因此P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).5．(2024·漢中二模)在一次數(shù)學(xué)考試中，4位同學(xué)各自由選作題第22題和第23題中任選一題作答，則至少有1人選作第23題的概率為()A.eq\f(5,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(15,16)答案D解析由題意，得基本領(lǐng)件總數(shù)n＝24＝16，至少有1人選作第23題的對立事務(wù)是無人選擇第23題，∴至少有1人選作第23題的概率P＝1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16).6．(2024·合肥三模)若a，b是從集合{－1,1,2,3,4}中隨機(jī)選取的2個元素，則使得函數(shù)f(x)＝x5a＋xbA.eq\f(3,20) B.eq\f(3,10)C.eq\f(9,25) D.eq\f(3,5)答案B解析從集合{－1,1,2,3,4}中隨機(jī)選取兩個元素共有Aeq\o\al(2,5)＝20種，要使得函數(shù)f(x)＝x5a＋xb是奇函數(shù)，a，b必需都為奇數(shù)，共有Aeq\o\al(2,3)＝6種，則函數(shù)f(x)＝x5a＋xb是奇函數(shù)的概率為P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點，O為坐標(biāo)原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選C.8．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．答案eq\f(3,5)解析如圖，從A，B，C，D，O這5個點中任取2個，共有10種取法，滿意兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6種，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).9．如圖所示是某市2019年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率為________．答案eq\f(5,12)解析某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝12,4月1日至4月12日空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)有5天，即該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝5，所以該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,12).10．(2024·江蘇蘇州模擬)若a，b∈{0,1,2}，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點的概率為________．答案eq\f(2,3)解析a，b∈{0,1,2}，當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b沒有零點時，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3種狀況：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×3＝9，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點的概率為P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).組實力關(guān)1．如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條，則這2條棱相互垂直的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條，共有15種不同的選法，其中相互垂直的2條棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5種狀況，所以這2條棱相互垂直的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2．(2024·撫州摸底)高校生小明與另外3名高校生一起安排到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進(jìn)行支教．若每個村小學(xué)至少安排1名高校生，則小明恰好安排到甲村小學(xué)的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析小明與另外3名高校生安排到甲、乙、丙3個村小學(xué)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，其中小明恰好安排到甲村小學(xué)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，所以小明恰好安排到甲村小學(xué)的概率為eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).3．(2024·廣州模擬)已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，S4＝π(其中π為圓周率)，a4＝2a2A.eq\f(14,30) B.eq\f(15,30)C.eq\f(16,30) D.eq\f(17,30)答案A解析∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S4＝π(其中π為圓周率)，a4＝2a2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝π，,a1＋3d＝2a1＋d，))解得a1＝d＝eq\f(π,10)，∴an＝eq\f(π,10)＋(n－1)×eq\f(π,10)＝eq\f(nπ,10)，∴前30項中，第6項至第14項和第26項至第30項的余弦值是負(fù)數(shù)，∴現(xiàn)從今數(shù)列的前30項中隨機(jī)選取一個元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為P＝eq\f(14,30).4．某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則構(gòu)成橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1且離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)所形成的數(shù)組共有36種狀況，當(dāng)a>b時，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的狀況有：當(dāng)b＝1時，有a＝3,4,5,6四種狀況；當(dāng)b＝2時，有a＝5,6兩種狀況．總共有6種狀況，則概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理當(dāng)a<b時，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6).綜上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).5．(2024·郴州三模)某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類學(xué)問的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成未補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表，并推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”總計男女合計(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達(dá)人”中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5名市民參與環(huán)保學(xué)問問答，再從這5名市民中抽取2人參與座談會，求抽取的2名市民中，既有男“環(huán)保達(dá)人”，又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)由題意填寫列聯(lián)表如下：非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”總計男104555女153045合計2575100依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算K2＝eq\f(100×45×15－10×302,25×75×55×45)≈3.030<3.841，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)．(2)由題意可知，利用分層抽樣的方法，得男“環(huán)保達(dá)人”3人，女“環(huán)保達(dá)人”2人．從中抽取2人的全部狀況為Ceq\o\al(2,5)＝10種，其中既有男“環(huán)保達(dá)人”，又有女“環(huán)保達(dá)人”的狀況為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種．故所求的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·上饒模擬)探討機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生來回校時間的統(tǒng)計資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x(單位：千米)和學(xué)生花費在上學(xué)路上的時間y(單位：分鐘)有如下關(guān)系．到學(xué)校的距離x(千米)1.82.63.14.35.56.1花費的時間y(分鐘)17.819.627.531.336.043.2假如統(tǒng)計資料表明y與x有線性相關(guān)關(guān)系，(1)推斷y與x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；(相關(guān)系數(shù)r的肯定值大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確到0.01)(2)求線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(精確到0.01)；(3)將eq\o(y,\s\up6(^))<27的時間數(shù)據(jù)eq\o(y,\s\up6(^))i稱為漂亮數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個時間數(shù)據(jù)eq\o(y,\s\up6(^))i中任取2個，求抽取的2個數(shù)據(jù)全部為漂亮數(shù)據(jù)的概率．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,6,y)i＝175.4，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝764.36，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝80.30，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝14.30，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝471.65,eq\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝82.13.參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2).解(1)r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(80.30,82.13)≈0.98>0.75，∴y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．(2)依題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝3.9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\i\su(i＝1,6,y)i≈29.23，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝80.30，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝14.30，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,