高考數(shù)學一輪復習高考大題專項四高考中的立體幾何理北師大版

高考大題專項四高考中的立體幾何

1.

如圖，在三棱錐A-BCO中,￡/分別為BC,⑺上的點,且初〃平面AEF.

⑴求證:所〃平面/如；

⑵若AEX.平面BCD,BDVCD,求證:平面/阮L平面ACD.

2.

在直三棱柱ABC-ABG中，N49小90。：BC28,點￡在線段如上,且出ADtF,G分別為

Q,C尻G4的中點.

求證：(1)8M_L平面力切;

(2)平面EGF〃平面ABD.

3.

A

D

如圖，幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形/I靦（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得

到的,G是^的中點.

⑴設尸是c上的一點,且AP上BE,求/微0的大小；

⑵當AB^AD=2時，求二面角尺力Gf的大小.

4.

（2018山西晉中調(diào)研，18）如圖，已知四棱錐P-ABCD,用平面ABCD,底面ABCD中,BC〃AD,ABLAD,M

PA=AD二ABNBC2M為力〃的中點.

⑴求證:平面凡ML平面PAD\

⑵問在棱加上是否存在點。使勿_1_平面6W,若存在,請求出二面角2-CW-Q的余弦值;若不存在,

請說明理由.

（2018河南鄭州外國語學校調(diào)研，19）如圖，在底面為等邊三角形的斜三棱柱ABC-ABQ中，AA^AB,

四邊形4G8為矩形,過4。作與直線BG平行的平面A@交AB于點D.

⑴證明：⑦1仍；

⑵若直線力4與底面46G所成的角為60°,求二面角小力C-G的余弦值.

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面以2L平面ABCD,點M在線段PB上,外〃平面

MAC,PA=PD，ABN.

⑴求證:V為陽的中點；

⑵求二面角B-PD-A的大小；

⑶求直線，比'與平面8"所成角的正弦值.

8.（2018山西大同一模，18）如圖，在四棱錐尸T%中，力〃〃陽/ABC=4

P的桃：PA=AB=BC2ADAM是核PB中點、且止叵

⑴求證:■〃平面PCD;

⑵設點N是線段如上一動點,且DN6DC、當直線劭V與平面目《所成的角最大時,求才的值.

9.

（2018山西晉城一模,20）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PD=AD=2CD=2BC2且/ADC=/BCD秘。.

⑴當PB=2時，證明：平面四〃1平面ABCD-,

⑵當四楂錐PT時的體積為"且二面角人力力/為鈍角時,求直線PA與平面所成角的正弦值.

4

參考答案

高考大題專項四高考中的立體幾何

L證明⑴/劭〃平面/牙;砥平面比〃平面8(刀n平面47HMr.BDi/EF.

又BI金平面AI3D,萌平面ABD,

,:哥'〃平面ABD.

(2):RLL平面加9,儂平面8。,,"￡_L微由⑴可知8〃〃班又初；.EFLCD.

又AECEF=Et力底平面AEF,E建平面AEF,

?：6Z?_L平面AEF,又6ZS平面ACD、

.:平面力既1_平面ACD.

2.證明(1)以4為坐標原點,以,陽出所在的直線分別為x軸、/軸、z軸建立空間直角坐標系，如

圖所示,則5(0,0,0),“(0,2,2),5(0,0,4),6；(0,2,4),

設BA=a,則A(a,0,0),所以一0,0),--(0,2,2),一F^二(。，2,一

?--->=0,-V**--->=0閨/0,即B山上BA,B\DLBD.又BACBD=B,B0平面ABD,砥平

面ABD,

所以笈〃1平面ABD.

(2)由(1)知,￡(0,0,3),《？，1,4),AO,1,4),則

----->15，1,1)，-----^(0,1,1),-?-----'=Q-f2-2=0f~T~*?--->0+2-20,即&D1EG,B\DLEF.

又EGCEF二E,E保平面EGF,E壇平面笈苑所以臺。_1_平面EGF.

結(jié)合（1）可知平面笈/〃平面ABD.

3.解⑴因為APA.BE,AB1.BE,ABt力任平面ABP,ABCAP=A,所以跖L平面ABP,又砥平面ABP,所

以肛1_"又/用7=120°.因此夕630°.

⑵（方法一）取一的中點〃連接以能組因為N班。二120”，

所以四邊形陽切為菱形,所以AE=GE=AC=GC=y[^^V13.

取力G中點M,連接E禮af,EC、則網(wǎng)工AG,CMVAG,

所以必為所求二面角的平面角.

又加仁1,所以以人以仁應1=26.在△%T中，由于/破'=120°,由余弦定理得EC盤卷-

2X2X2Xcos120°=12,所以比2/3,因此為等邊三角形，故所求的角為60°.

（方法二）以8為坐標原點,分別以BE,BP,胡所在的直線為x,匕z軸,建立如圖所示的空間直角

坐標系.

由題意得4(0,0,3),M2,0,0),G(l,V3,3),(7(-1,瓜,0),故——(2,0,-

3),>=(1,V3,0),*=(2,0,3),設必=(汨,兇,Zi)是平面抽。的一個法向量.

取可得平面力拓的一個法向量m=（3,飛,2）.

設〃二（即,y2,Z2）是平面47G的一個法向量.

:二，可得2+62=0

叫,22+32=0

取Z2=-2,可得平面力CG的一個法向量〃=（3,-73,-2）.

所以cos<77,n>-^——力.因此所求的角為60°.

4.解以A為原點,射線AB,AD,"分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖.

PA=AD=AB=2BC=2t>4(0,0,0),8(2,0,0),61(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),---*=(0,2,0),---*=(0,

0,2),

二獷為49的中點，,:必(0,1,0),―,=(2,0,0).

(1):**?

/.CMA.PA,CMLAD.

用丘平面PAD,A厘平面PAD,且附0力。玄，?：0月_平面PAD.

:制g平面PCM,.：平面P6MJL平面PAD.

(2)存在點0使H?_L平面CMQ,在△必〃內(nèi)，過"作,圖1/力,垂足為Q

由(1)知以打_平面處〃磔平面玄〃.：以人也

MQRG仁M,.:如J_平面CMQ.

設平面尸￡切的一個法向量為〃=(%%z),則n?"NxOnxR,

n??=(x,ytz)?(0,1,-2)=y-2z=0^y=2z,

取〃:(0,2,1).

：7Y?_L平面CMQ,

?：-(0,2,-2)是平面以?的一個法向量.

由圖形知二面角人以，-。的平面角〃是銳角，故cos0一?二一j暮

所以二面角余弦值為手.

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5.(1)證明如圖，

連接AG交4。于點E,連接DE.

因為比〃平面A@,BC正平面ABG,平面ABQn平面A@=DE、

所以BC\〃DE.

又四邊形力制4為平行四邊形，

所以E為AG的中點,所以劭為△4G6的中位線,所以。為48的中點.

又△川笫為等邊三角形,所以CDLAB.

⑵解過A作/0_L平面484,垂足為0,連接M設AB=2,則那WV5.

因為直線力A與底面45G所成的角為60。，所以乙44010°.

在RtAUO中，因為M=2V3,

所以

因為4aL平面45G,B幅平面A出0,所以力0_L5G,

因為四邊形5G3為矩形,所以B&LBC,

因為陽〃44,所以8G_L/4.

因為441rlAO=A,AA^平面AA\O,A怎平面AA\O,

所以反G_L平面MO.

因為4底平面AM,所以5G_L40.△4AG為等邊三角形,邊笈G上的高為6,又4g/5,所以

。為5G的中點.

以。為坐標原點,分別以—；,―；—7KJ方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標

系,如圖.

則4(V3,0,0),6；(0,-1,0),>4(0,0,3),Z?!(0,1,0).

因為一?=(75,1,0),

所以灰潤1,3)"(呼$3),

因為"—j?=(N5,一1,0),

=-

所以C(~V3>-1>3),J_*-(~2y/3t],3),"""jj*-(0,-2,0),j*(-2-^3>1,3).

設平面以C的法向量為〃二(司y,z).

得卜2V5++3=0

令產(chǎn)/5,得z=2,

所以平面力C的一個法向量為〃二(8,0,2).

設平面AxCCx的法向量為m=(a,b,9),

由4■

得憚+=0>

(2V3+.3=0

令得b=-3,c=l,

所以平面4CG的一個法向量為次(心,-3,1).

所以/cos<n,m>!—―:---

IIII91

因為所求二面角為鈍角,所以二面角B-A\C-C\的余弦值為等.

6.(1)證明設IC助交點為￡連接.

因為加〃平面MAC,平面/CP平面PDB=ME,所以PD//ME.

因為力弦9是正方形,所以￡為8少的中點.所以M為%的中點.

⑵解取力〃的中點0,連接OP,0E.

因為*二/力,所以OPLAD.

又因為平面為〃_L平面ABCD,且。百平面PAD,所以0RL平面ABCD.

因為0降平面相線所以0PV0E.

因為ABC。是正方形,所以OELAb.

如圖建立空間直角坐標系0-xyz,則2(0,0,調(diào))，〃(2,0,0),次-2,4,0)：--(4,-

4,0),-X2,0,-V2).

設平面8〃尸的法向量為n=(x,y,z),

4,4=0,

則

2.V2=0

令x=l,則y=\tZ=42.

于是〃=(1,1,V2),平面9的法向量為p=(0,1,0).

所以cos<7?,p>=~~:—弓.

I11I/

由題知二面角8-々T為銳角，所以它的大小為京

V

⑶解由題意知《」,2,乎),。(2,4,0),—阿3,2,

設直線必與平面質(zhì)所成角為。，則sina=/cos<n>—D/」.二1邛?

IIII9

所以宜線」先與平面應火所成角的正弦值為竽.

7.(1)證明如圖,取煙中點七連接AE,EH.

???H為BQ中盡，???EH〃B\Q.

在平行四邊形加心8中，P,￡分別為AA},附的中點，?"￡〃陽.

又EHCAE=EyPRCB\Q=8,

?：平面加〃平面5Q/2

二4位平面加，."勿平面B\PQ.

⑵解連接用"G,

丁四邊形4G。為菱形，

/.AA\=AC=A\C\=/\..

又NG4小60。，

?：△力G4為正三角形.

:/為44的中點，?：陽_L/4.

:?平面4CG4_L平面ABRA,平面力笫4n平面4B&A尸曲,PC&平面幺少4,.：閨_L平面ABB4,

在平面力能4內(nèi)過點尸作PRLAA衣眼于點、R.建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz,則

產(chǎn)(0,0,0),4(0,2,0)"(0,-2,0),G(0,0,273)"(0,W2g),

.：0(0,-2(久儀)，2754)，

?：--=(0,2(4"),2雷，I).

TAB=AB2/同4力與0°,

?：8(V5,1,0),Z；-(V3,1,0).

設平面PQ氏的法向量為m=(x,y,z),

令E則y=rB,z=——,

?:平面產(chǎn)。5的一個法向量為m=(1,75,—),

設平面的法向量為/產(chǎn)（1,0,0）,二面角的平面角為"，則cos

飛+3+（.上）2喟,:久日或"=一（舍），

?:-4-'，,：彌,3①

又MV3,-3,0）,Z-（V3,o,M）,?：/7"V3T3=V6.

連接BP,設點〃到平面BQB\的距離為h,則;將乂4乂g乂75日甘乂4*佃乂方,

?,?h吟即點尸到平面8期的距離為當

8.⑴證明如圖，取用中點4連接物:仞

因為必為陽的中點，

所以MK//BC且M*BC=AD,

所以四邊形和腐為平行四邊形,

所以AM//DK,

又砥平面PDC,力祖平面PDC,

所以4M7平面PCD.

（2）解因為M為陽的中點，設PM二MB=X,在△以“中，ZPMA+/A.MB=TI,設/兩例=，，則/4仍』-0,

所以cosNEJ%WosN4J/%),

由余弦定理得:+2-號:2__^巾,

解得X5,則小2施，

所以PR+AR二Pk

所以44_L4X

又PALAD,且ABCAD=A,

所以ALL平面ABCD,且N陰加/肪。90°.以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標

系A-xyz,則J(0,0,0),2)(1,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),X0,1,1),因為點"是線段系上

一點,可設―*=4-(1,2,0),故-----(1,0,0)總(1,2,0)=(1認2九0),

所以-'三~~-(1+九2九0)-(0,1,1)=(1+九24-1,-1).

又面處8的法向量為(1,0,0),

設劭V與平面外〃所成角為，，則

所以當白三時，即月4時,sin6取得最大值.

1+OO

9.(1)證明取4〃的中點0,連接PO、BO,

:?△陽〃為正三角形，.：少_14〃

???NADC=/BCD4Q：；.BC〃AD,

VBC^AD=1,.*.BC=ODt

?：四邊形BCDO為矩形，.：OB=CD=1,在4POB中，PO=6,OB=\,PB吃,

?：N/W=