2015年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)45 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

高考試題分類解析PAGE考點(diǎn)45隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型一、選擇題1.(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科·T4)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36D.0.312【解題指南】至少兩次投中通過測(cè)試分成兩種情況,一是投3次有兩次投中通過測(cè)試,二是投3次都投中通過測(cè)試.【解析】選A.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得,該同學(xué)通過測(cè)試的概率為C320.62×0.4+0.62.(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ文科·T4)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310 B.15 C.110 【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中(3,4,5)為一組勾股數(shù),共一種,所以3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為1103.(2015·山東高考文科·T7)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.【解題指南】本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的長度之比型幾何概型的計(jì)算.【解析】選A.由得，即，故所求概率為.4.(2015·陜西高考理科·T11)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12π B.C.12-1π D.1【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得.【解析】選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1,所以|z|=(x-1)2+y2≤即P=14·π·12-5.(2015·陜西高考文科·T12)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12π B.C.14-12π D.【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得.【解析】選C.因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1,所以|z|=(x-1)2+y即點(diǎn)(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部,而y≥x表示直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形),所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,即P=14·π·12-6.(2015·湖北高考理科·T7)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥QUOTE”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1 C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1【解析】選B.由題意知,事件“x+y≥”的概率為事件“|x-y|≤”的概率為事件“xy≤”的概率為，其中,S0=×1+QUOTEdx=QUOTE(1+ln2),S=1×1=1,由圖知QUOTE<S0<QUOTE所以,p2<p3<p1.7.(2015·湖北高考文科·T8)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤QUOTE”的概率,p2為事件“xy≤QUOTE”的概率,則()A.p1<p2<QUOTE B.p2<QUOTE<p1C.QUOTE<p2<p1 D.p1<QUOTE<p2【解析】選D.如圖,滿足條件的x,y構(gòu)成的點(diǎn)(x,y)在正方形OBCA內(nèi),其面積為1,事件“x+y≤QUOTE”對(duì)應(yīng)的圖形為△ODE,其面積為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故p1=QUOTE<QUOTE,事件“xy≤QUOTE”,對(duì)應(yīng)的圖形為陰影部分,其面積顯然大于QUOTE,故p2>QUOTE,則p1<QUOTE<p2.8.(2015·福建高考文科·T8)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=x+1,xA.16 B.14 C.38 【解題指南】求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型的概率計(jì)算.【解析】選B.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,B(1,0)且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直線y=x+1和y=-12x+1上,所以C(1,2)和D(-2,2),所以陰影部分三角形的面積S=12×3×1=32,S矩形=3×2=6,故此點(diǎn)取自陰影部分的概率P=S9.(2015·廣東高考文科·T7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解題指南】先對(duì)產(chǎn)品標(biāo)號(hào),然后列舉出可能出現(xiàn)的結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A=“恰有一件次品”,則P(A)=610二、填空題10.(2015·江蘇高考·T5)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.【解題指南】列出基本事件,利用古典概型的概率公式求解.【解析】設(shè)4只球分別為白、紅、黃1、黃2,從中一次隨機(jī)摸出2只球,所有基本事件為(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2)、(黃1,黃2),共6個(gè),顏色不同的有(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2),共5個(gè),所以2只球顏色不同的概率為QUOTE56.答案:QUOTE5611.（2015·重慶高考文科·Ｔ15）在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)，則方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為_________.【解題指南】首先根據(jù)題意列出方程有兩個(gè)負(fù)根滿足的條件求出的取值范圍，然后根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求解.【解析】方程有兩個(gè)負(fù)根，則，解得或又因?yàn)椋鶕?jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為答案：三、解答題12．（2015·安徽高考文科·T17）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.【解題指南】正確識(shí)別頻率分布直方圖分別求出概率,本題屬于容易題.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：（0.004+a+0.018+0.0222+0028）10=1,解得a=0.006;（2）由頻率分布直方圖可知，評(píng)分不低于80分的頻率為：（0.022+0.018）10=0.4，所以該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率為0.4.（3）受訪職工中評(píng)分在的有;(人)，記為;受訪職工中評(píng)分在的有;(人)，記為。從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是受訪職工中評(píng)分在的有;(人)，記為，，,,,,,,,,,又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為。13.(2015·北京高考文科·T17)(13分)某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種食品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率.(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率.(3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品可能性最大?【解析】(1)1000位顧客中有200位同時(shí)購買乙和丙,所以估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率為.(2)1000位顧客中有100位同時(shí)購買甲丙丁,200位同時(shí)購買甲乙丙,所以估計(jì)1000人中同時(shí)購買3種商品的概率為。(3)購買了甲的顧客有100+200+300+85=685位.則顧客同時(shí)購買乙概率為QUOTE200685,同時(shí)購買丙的概率為，同時(shí)購買丁的概率為QUOTE100685.因此,顧客購買了甲,則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.14.(2015·四川高考文科·T17)一個(gè)小客車有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐自己座位號(hào),這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處).乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.【解析】(1)當(dāng)乘客P1坐在3號(hào)位置上,此時(shí)P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩下的任何一個(gè)座位,即可選1,4,5:①當(dāng)P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩下的,只有一種情況;②當(dāng)P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩下的,有兩種情況;③當(dāng)P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩下的,有一種情況.填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)32145324513241532541(2)情況比較復(fù)雜,需要列表,當(dāng)P1坐2位置時(shí),P2位置被占,可選剩下的1,3,4,5座位,下表列出了所有可能乘客P1P2P3P4P5P1P2P3P4P5分別的座位號(hào)座位號(hào)213452,1,3,4,534512,3,4,5,1152,3,4,1,51452,3,1,4,55412,3,5,4,143152,4,3,1,5512,4,3,5,153412,5,3,4,1綜上,共有8種情況,P5坐在5號(hào)位置上的情況有4種,所求概率.15.(2015·山東高考文科·T16)(本小題滿分12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如表(單位:人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率.(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué),3名女同學(xué).現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.【解題指南】將符合要求的基本事件一一列出.【解析】(1)記“該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)為事件A”,則所以該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為QUOTE.(2)從5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人的所有基本事件有,,,,共15個(gè),其中A1被選中且B1未被選中的有(A1,B2),(A1,B3)共2個(gè),所以A1被選中且B1未被選中的概率為16.(2015·天津高考文科·T15)(本小題滿分13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù).(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽.①用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;②設(shè)A為事件“編號(hào)為A5,A6的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.【解題指南】(1)由分層抽樣方法可知應(yīng)從甲、乙、丙這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)①一一列舉,共15種;②符合條件的結(jié)果有9種,所以【解析】(1)應(yīng)從甲、乙、丙這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)①從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種.②編號(hào)為的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到的結(jié)果為,,,,,,,,,共9種,所以事件A發(fā)生的概率17.(2015·福建高考文科·T18)(本小題滿分12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo).根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表所示.組號(hào)分組頻數(shù)1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率.(2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融臺(tái)指數(shù)的平均數(shù).【解題指南】(1)列出所有的基本事件,至少有1組在[7,8]組所包含的基本事件與總的基本事件的比值就是所求.(2)平均數(shù)等于每組的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)的頻率乘積之和.【解析】方法一:(1)融合指數(shù)在7,8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在4,5內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2,從融合指數(shù)在4,5和7,8內(nèi)的{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10個(gè).其中,至少有1家融合指數(shù)在7,8{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1}{A3,B2},共9個(gè).所以所求的概率P=910(2)這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.