高二數(shù)學(xué)課件：第二章第13講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

第13講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條_____________的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得________與________．若函數(shù)在(a，b)內(nèi)是________，該函數(shù)的最值必在____________________取得．連續(xù)不間斷最大值最小值可導(dǎo)的極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處2．利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題3．幾個(gè)注意點(diǎn)：①極值是在局部范圍內(nèi)討論問題(局部概念)，最值是對(duì)整個(gè)定義域而言(整體性的概念)．②閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值．若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．最值最多各有一個(gè)，而極值則可能不止一個(gè)，也可能沒有極值．③如果函數(shù)不在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo),則確定函數(shù)的最值時(shí)，不僅比較使該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值，還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值．④在解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么要根據(jù)實(shí)際意義判斷是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較．課前熱身1．函數(shù)f(x)＝x3－3x(－1<x<1)(

)A．有最大值，但無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，也無最小值

D．無最大值，但有最小值答案：C2．(2012·廈門調(diào)研)如果函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(

)解析：選A.如圖，由y＝f(x)圖象知，當(dāng)x<x1時(shí),f(x)遞增,故f′(x)>0；在(x1,0)上,y＝f(x)遞減，故f′(x)<0；在x＝0處y＝f(x)的切線與x軸平行，故f′(0)＝0；在(0，x2)上,y＝f(x)遞增，故f′(x)>0；在x>x2時(shí),y＝f(x)遞減，故f′(x)<0.綜上可知，A項(xiàng)符合題意．答案：A4．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝m最大，∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.答案：－37解析：由y′＝x2－39x－40＝0得x＝－1或40.當(dāng)0<x<40時(shí)，y′<0；當(dāng)x>40時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝40時(shí)，y有最小值．答案：40考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破考點(diǎn)1函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．(2010·高考重慶卷)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值．例1【解】

(1)由題意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，(1)在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0的情形,考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值．(3)主要探究兩類問題：①費(fèi)用如何最??；②利潤如何最大問題。載體(建模的解析式)可以是多項(xiàng)式函數(shù)(一般不超過三次)、分式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．例2萬元．已知廠家把總價(jià)值為10萬元的A、B兩種型號(hào)電視機(jī)投放市場，且A、B兩型號(hào)的電視機(jī)投放金額都不低于1萬元．當(dāng)x∈[1,10m－1)時(shí)，隨B型電視機(jī)投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補(bǔ)貼逐漸增加；當(dāng)x∈(10m－1,9]時(shí)，隨B型電視機(jī)投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補(bǔ)貼逐漸減少．【名師點(diǎn)評(píng)】

實(shí)際應(yīng)用中準(zhǔn)確地確定函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域是關(guān)鍵．(1)當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？令h′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)．所以當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)＝11.25.因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值．即當(dāng)汽車以80千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與不等式(2010年高考安徽卷)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.例3【思路分析】

(2)中構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，轉(zhuǎn)化為求證g(x)恒大于零．【解】由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0,得x＝ln2.于是當(dāng)x變化,f′(x),f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當(dāng)a>ln2－1時(shí)，g′(x)取最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當(dāng)a>ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞),都有g(shù)(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.【名師點(diǎn)評(píng)】對(duì)于類似本題中不等式證明而言，我們可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明．用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式,其步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)——研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論.方法技巧函數(shù)的最值與極值的辨析最值是一個(gè)整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間(或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值與最小的值，在求函數(shù)的最值時(shí)，要注意：方法感悟最值與極值的區(qū)別：極值是指某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較．因此，同一函數(shù)在某一點(diǎn)的極大(小)值，可以比另一點(diǎn)的極小(大)值小(大)；而最大、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數(shù)值的比較,因而在一般情況下,兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值,但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．失誤防范1．已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f′(x)不恒為0,則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．2．求函數(shù)最值時(shí)，要注意極值、端點(diǎn)值的比較．3．要強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的工具性作用,在處理方程的根、不等式恒成立等問題時(shí),注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．考向瞭望把脈高考命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值及生活中優(yōu)化問題成為高考的熱點(diǎn)，試題大多有難度，注意的是不等式的證明按考綱的說明應(yīng)弱化，但會(huì)以另一種形式來體現(xiàn)．考查時(shí)多與函數(shù)的單調(diào)性、極值結(jié)合命題，考生學(xué)會(huì)做綜合題的能力．預(yù)測2013年福建高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值結(jié)合題目為主要考向，同時(shí)也應(yīng)注意利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題．典例透析

(本題滿分14分)(2011·高考福建卷)已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

例【解】

(1)由f(e)＝2得b＝2.4分(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.從而f′(x)＝alnx.因?yàn)閍≠0，故：