承德市高中一模數(shù)學(xué)試卷

承德市高中一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)的是：

A.$f(x)=-2x+3$

B.$f(x)=x^2-4x+5$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_{10}=120$，$S_{20}=400$，則該等差數(shù)列的公差為：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為：

A.$(-2,3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-3,2)$

D.$(3,-2)$

4.已知$a>b>0$，則下列不等式中正確的是：

A.$\sqrt{a}>\sqrt$

B.$a^2>b^2$

C.$\frac{1}{a}>\frac{1}$

D.$a+b>\sqrt{ab}$

5.下列復(fù)數(shù)中，屬于純虛數(shù)的是：

A.$2+3i$

B.$-2+4i$

C.$2-3i$

D.$-2-4i$

6.已知$log_2x+log_2(x-1)=3$，則$x$的值為：

A.2

B.3

C.4

D.6

7.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\triangleABC$的面積$S$為：

A.14

B.21

C.28

D.35

8.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是：

A.$f(x)=|x|$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

9.已知$log_3x-log_3(x-2)=1$，則$x$的值為：

A.3

B.4

C.5

D.6

10.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的是：

A.$\{2,4,8,16,\ldots\}$

B.$\{1,2,4,8,\ldots\}$

C.$\{1,3,9,27,\ldots\}$

D.$\{1,3,6,10,\ldots\}$

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，若一個點同時滿足$x=y$和$x=-y$，則該點位于原點。（）

2.在平面直角坐標(biāo)系中，若一條直線與$x$軸和$y$軸的截距都是正數(shù)，則該直線必經(jīng)過第一象限。（）

3.對于任意實數(shù)$a$和$b$，如果$a^2=b^2$，則$a=b$。（）

4.在等差數(shù)列中，如果公差是正數(shù)，則該數(shù)列一定是遞增的。（）

5.在等比數(shù)列中，如果公比是正數(shù)，則該數(shù)列的每一項都大于0。（）

三、填空題

1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像與$x$軸的交點個數(shù)為______。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的表達(dá)式為______。

3.在直角坐標(biāo)系中，點$P(3,-2)$到直線$2x-3y+6=0$的距離為______。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的定義域為______。

5.已知$log_2x+log_2(x-1)=3$，則$x$的值為______。

四、簡答題

1.簡述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的判別式$\Delta=b^2-4ac$的意義，并說明當(dāng)$\Delta>0$、$\Delta=0$和$\Delta<0$時，方程的根的性質(zhì)。

2.解釋函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的反函數(shù)$f^{-1}(x)$的求法，并給出$f^{-1}(x)$的表達(dá)式。

3.描述如何利用向量的數(shù)量積（點積）來判斷兩個向量的夾角關(guān)系，并給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

4.簡述在直角坐標(biāo)系中，如何求一個點到直線的距離，并給出計算公式。

5.說明等差數(shù)列和等比數(shù)列的前$n$項和的公式，并解釋公比$q$為$1$時等比數(shù)列前$n$項和的特殊情況。

五、計算題

1.計算函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x-5$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值。

2.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并寫出其解的表達(dá)式。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2-n$，求該數(shù)列的首項$a_1$和公差$d$。

4.設(shè)向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec=(4,-1)$，計算向量$\vec{a}$和$\vec$的數(shù)量積。

5.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并找出函數(shù)的極值點。

六、案例分析題

1.案例分析：某學(xué)校計劃在校園內(nèi)建設(shè)一個長方形花壇，其長比寬多$2$米。已知花壇的周長為$60$米，求花壇的長和寬。

解答思路：

（1）設(shè)花壇的寬為$x$米，則花壇的長為$x+2$米。

（2）根據(jù)周長公式，列出方程$2(x+x+2)=60$。

（3）解方程求出$x$的值，再計算花壇的長和寬。

2.案例分析：某商品的原價為$200$元，商家決定進(jìn)行打折促銷，折扣率為$20\%$。同時，商家還提供滿$100$元減$10$元的優(yōu)惠活動。請問消費者購買該商品的實際支付金額是多少？

解答思路：

（1）計算打折后的價格，即原價的$80\%$，得到$200\times0.8=160$元。

（2）判斷打折后的價格是否滿足滿$100$元減$10$元的條件，由于$160>100$，滿足條件。

（3）計算實際支付金額，即打折后的價格減去優(yōu)惠金額，得到$160-10=150$元。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，如果每天生產(chǎn)$x$件，則$5$天可以完成。如果每天生產(chǎn)$x+10$件，則$4$天可以完成。求該工廠每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品。

解答思路：

（1）根據(jù)題意，可以列出方程$5x=4(x+10)$。

（2）解方程得到$x$的值，即每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。

2.應(yīng)用題：一個長方形的長是寬的$3$倍，長方形的周長是$48$厘米。求長方形的長和寬。

解答思路：

（1）設(shè)長方形的寬為$x$厘米，則長為$3x$厘米。

（2）根據(jù)周長公式，列出方程$2(3x+x)=48$。

（3）解方程求出$x$的值，再計算長和寬。

3.應(yīng)用題：某班級有$40$名學(xué)生，其中有$20$名女生。如果從班級中隨機(jī)選出$5$名學(xué)生參加比賽，求選出至少有$2$名女生的概率。

解答思路：

（1）計算總共有多少種選法，即從$40$名學(xué)生中選$5$名，使用組合公式$C_{40}^5$。

（2）計算沒有女生的情況，即從$20$名男生中選$5$名，使用組合公式$C_{20}^5$。

（3）計算至少有$2$名女生的情況，即總選法減去沒有女生的情況。

（4）使用概率公式計算概率。

4.應(yīng)用題：某城市計劃在市中心修建一座廣場，廣場的形狀為正方形，邊長為$100$米。為了美化環(huán)境，計劃在廣場四周種植樹木，每棵樹間隔$5$米。請問需要種植多少棵樹？

解答思路：

（1）計算廣場的周長，即$4\times100=400$米。

（2）計算樹木的間隔數(shù)，即周長除以樹之間的間隔，得到$400\div5=80$。

（3）由于四個角落各有一棵樹，所以實際需要種植的樹木數(shù)為間隔數(shù)減去$4$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.C

9.C

10.A

二、判斷題

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空題

1.3

2.$a_n=a_1+(n-1)d$

3.$\frac{3}{2}$

4.$\mathbb{R}-\{0\}$

5.$4$

四、簡答題

1.判別式$\Delta=b^2-4ac$可以判斷一元二次方程的根的性質(zhì)：

-當(dāng)$\Delta>0$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-當(dāng)$\Delta=0$時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

-當(dāng)$\Delta<0$時，方程沒有實數(shù)根。

2.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的反函數(shù)$f^{-1}(x)$可以通過交換$x$和$y$的位置并解出$y$來求得，即$y=\frac{1}{x}$，因此$f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$。

3.向量的數(shù)量積（點積）可以用以下公式來計算兩個向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角$\theta$：

-$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$

-如果$\vec{a}\cdot\vec>0$，則$\theta$在$0$到$\frac{\pi}{2}$之間，向量同向；

-如果$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\theta=\frac{\pi}{2}$，向量垂直；

-如果$\vec{a}\cdot\vec<0$，則$\theta$在$\frac{\pi}{2}$到$\pi$之間，向量反向。

4.點$P(x_0,y_0)$到直線$Ax+By+C=0$的距離可以用以下公式計算：

-$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

5.等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，等比數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$，其中$q\neq1$。當(dāng)$q=1$時，等比數(shù)列的前$n$項和為$S_n=na_1$。

五、計算題

1.$f'(x)=6x^2-18x+12$，在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值為$6\times2^2-18\times2+12=24-36+12=0$。

2.方程$x^2-5x+6=0$可以分解為$(x-2)(x-3)=0$，因此$x=2$或$x=3$。

3.由$S_n=3n^2-n$，得$a_1=S_1=3-1=2$，公差$d=\frac{S_2-S_1}{2-1}=\frac{12-2}{1}=10$。

4.向量$\vec{a}\cdot\vec=(2,3)\cdot(4,-1)=2\times4+3\times(-1)=8-3=5$。

5.$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。檢查$x=0$和$x=2$時函數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)$x=2$是極值點。

題型知識點詳解及示例：

-選擇題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和判斷能力。

示例：判斷函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像是否經(jīng)過點$(1,-3)$。

-判斷題：考