工程力學(xué) 課件 7應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

§7-1一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析—解析法第七章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

§7-3廣義虎克定律§7-4強(qiáng)度理論及其應(yīng)用概述拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲FNymaxs=sCymaxtToMymaxs壓maxs拉Csmaxtmaxsmax截面應(yīng)力危險點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度判據(jù)][maxtt￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡組合變形：問題：危險點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)？強(qiáng)度判據(jù)？承受組合變形的構(gòu)件eFBA(a)鉆床立柱彎扭組合拉彎組合MACFT2(b)皮帶傳動軸BDFT1?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵1.低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗低碳鋼7.1.1應(yīng)力狀態(tài)的概念?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？2.低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗低碳鋼鑄鐵(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力;(3)同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同;(4)同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同3、重要結(jié)論哪一點(diǎn)？

哪個方向面？應(yīng)力哪一個面上？

哪一點(diǎn)？4、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的情況，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，亦指該點(diǎn)的應(yīng)力全貌.7.1.2

應(yīng)力狀態(tài)的研究方法

1、單元體

任意一對平行平面上的應(yīng)力相等2、單元體特征3、主單元體

各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體單元體的尺寸無限小，每個面上應(yīng)力均勻分布

3

1

2

2

3

14、主平面：切應(yīng)力為零的截面5、主應(yīng)力：主面上的正應(yīng)力

說明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個單元體,

三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應(yīng)力分別記為

1,

2,

3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即

1

2

37.1.3應(yīng)力狀態(tài)的分類1、空間應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力

1、

2、

3

均不等于零2、平面應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力

1、

2、

3中有兩個不等于零3、單向應(yīng)力狀態(tài):

三個主應(yīng)力

1、

2、

3中只有一個不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

1思路：研究力的平衡。設(shè)單元體厚度為1，有7.2.1平面應(yīng)力狀態(tài)osxtxysytyxsataaanxba最一般狀態(tài)：有s、s、t=t

。xyxyyx問題:任意斜橫截面上的應(yīng)力s

、t?aasx一般情況xysxsysytyxtxySFx=saabcosa+taabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=saabsina-taabcosa-syabsina+txyabcosa=0注意到txy=tyx，解得：s=scos2a+ssin2a-2tsinacosat=(s-s)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxyaa利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面應(yīng)力狀態(tài)下的一般公式：

sa、ta是a角的函數(shù)，a角是x軸與斜截面正法向n的夾角，從x軸到n軸逆時針轉(zhuǎn)動時，a為正。osxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=---(7-1)---(7-2)atasst2cos2sin2xyyxa+-=7.2.2極限應(yīng)力與主應(yīng)力

sa是a的函數(shù)，極值？令ds/da=0，有：a在a=a的斜截面上，s取得極值；且t=0。a0aosxtxysytyxsataaa

nxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=atasst2cos2sin2xyyxa+-=任一截面應(yīng)力02cos2sin2=+-atassxyyx---（7-3）---（7-4）yxxytanss2ta--=207.2.2極值應(yīng)力與主應(yīng)力（7-1）式記tan2a=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(7-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=sa取極值的條件yxxytanss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxatsstsssss+-+-±+=(7-5)式極值應(yīng)力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü7.2.2極限應(yīng)力與主應(yīng)力注意到：tan2a0=tan(p+2a0)正應(yīng)力取得極值的角a有兩個，二者相差90

。即s和s分別作用在兩相互垂直的截面上。0maxmin主平面:剪應(yīng)力為零的平面。

a=a時，t=0，故對應(yīng)的平面是主平面。主應(yīng)力:

主平面上的正應(yīng)力。故極值應(yīng)力是主應(yīng)力。0a

(7-5)式極值應(yīng)力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü極值應(yīng)力截面方位：yxxytanss2ta--=20(7-4)式剪應(yīng)力的極值？代入(7-2)式：令dta/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

同樣有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(7-2)atasst2cos2sin2xyyxa+-=ta取得極值的條件:（7-6）xyyxtantssa221-==x極限剪應(yīng)力(7-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü極限剪應(yīng)力作用平面？剪應(yīng)力取得極值的平面與主平面間的夾角為45

。

(7-6)剪應(yīng)力取得極值的角a有兩個，二者相差90

。即t和t分別作用在兩相互垂直的截面上。1maxmina

和a

的關(guān)系？01即有：a1=a0

p/4

xyyxtantssa221-=主平面方位(7-4)yxxytanss2ta--=20)22(0pamtan=)22(0aptan±-=21201aatantan-=試求（1）

斜面上的應(yīng)力(并畫出)；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主單元體。例題1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

解：（1）

斜面上的應(yīng)力

（2）主應(yīng)力、主平面

主平面的方位：

主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：

例2已知某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為:

s=30MPa，s=10MPa，t=20MPa。求1)主應(yīng)力及主平面方向；2)最大、最小剪應(yīng)力。xxyy解：1）主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力：由（7-5）式有：主方向角：由（7-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n主平面方位:a01=-31.72

，a02=58.28

?íì-=+-±+=tyüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss

2a=-63.43

，a=-31.72

002103020220-=-

-=atana=58.28

時，由(7-1)式有:a=-31.72

時有:sa=smax=42.36MPa

在平行xy的前后面上，無應(yīng)力作用，s、t均為零。故此面上還有第三個主應(yīng)力sz=0。各主平面上的應(yīng)力？(t=0)xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n三個主應(yīng)力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030as=-2.36MPa=smin3s1s2s用主應(yīng)力表示應(yīng)力狀態(tài)，簡潔、清晰。s1s2=0xyzs1s3s3xys1s3s3s1a0=58.28

平面應(yīng)力狀態(tài)3)最大、最小剪應(yīng)力由（7-7）式有：作用平面方向角：a=a+p/4=13.28

0a=-31.72

01a=13.28

時，由（7-2）式有:注意還有a=103.28

時:t=-22.36MPas

=20MPa22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmax求任一截面應(yīng)力---（7-1）、（7-2）式分析結(jié)果匯總與討論(已知s、s、t)xyxy求主應(yīng)力及其方位---（7-5）、（7-4）式主應(yīng)力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求極限剪應(yīng)力---(7-7)式，作用面與主平面相差45。。極限剪應(yīng)力作用面相互垂直，剪應(yīng)力互等（大小相等、符號相反，使單元體順時針轉(zhuǎn)者為正）。注意：極限剪應(yīng)力作用面上一般s=0。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由三個主應(yīng)力描述，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，第三個主應(yīng)力s=0。z思考題1：圖中表示的純剪應(yīng)力狀態(tài)是否正確？如果正確，單元體應(yīng)力狀態(tài)用主應(yīng)力如何表示？ttt(a)(b)(c)剪應(yīng)力互等？t是極限剪應(yīng)力，主平面？與極限剪應(yīng)力面成45。二主應(yīng)力之和？s+s=s+s=0。s=-s

13xy13s在哪個面上？多大？1s1s1(s-s)/2=ts=t

131平面應(yīng)力狀態(tài)小結(jié)：求任一截面應(yīng)力—(7-1)、(7-2)式求主應(yīng)力大小和方位—(7-5)、(7-4)式主應(yīng)力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由三個主應(yīng)力描述，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，第三個主應(yīng)力s=0。zsxxysxsysytyxtxysataanyxxytanss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=atasst2cos2sin2xyyxa+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü求極限剪應(yīng)力--(7-7)式，作用面與主平面相差45

。極限剪應(yīng)力與主應(yīng)力關(guān)系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü第一不變量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除純剪情況外，極限剪應(yīng)力平面上正應(yīng)力不為零，且必有sx=sy。過某點(diǎn)任意三個相互垂直平面上的正應(yīng)力之和不變。7.3廣義虎克定理線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：s=Ee對于用主應(yīng)力表示的微元，沿主方向的應(yīng)變（主應(yīng)變）e1

是沿x1方向的伸長。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s引起的伸長1s引起的縮短2s引起的縮短3廣義虎克定理?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEs1x1x2x3s3s2s2s3s1廣義虎克定理：?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主應(yīng)變那個應(yīng)變大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/Esxxysxsysytyxtxy前節(jié)回顧:平面應(yīng)力狀態(tài)s1s2=0xyzs1s3s3主應(yīng)力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三維三維一般情況問題：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度？研究：危險點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度判據(jù)？MxFT1ACFT2BDyz危險點(diǎn)7.4強(qiáng)度理論sxxysxtyxtxys1s27.4強(qiáng)度理論單向應(yīng)力狀態(tài)：單向拉壓試驗強(qiáng)度理論:

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞或屈服規(guī)律的假說。破壞塑性破壞s

脆性破壞s

bys復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)？破壞判據(jù)s

=sors強(qiáng)度條件：s

[s]

11bys要設(shè)計不同s:s

的實驗。12ys1xs1s2s27.4.1脆性材料的破壞強(qiáng)度理論一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）破壞判據(jù)s

=s1b不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，脆性材料的破壞只取決于其最大拉應(yīng)力s

。1假說實驗驗證：正確性條件：

考慮安全儲備，給出：強(qiáng)度條件：s

[s]=s/n

1b7.4.1脆性材料的破壞強(qiáng)度理論一、最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）脆性材料破壞取決于其最大拉應(yīng)變e

。1假說考慮安全儲備，給出：破壞判據(jù)e

=e

1f單向拉伸破壞應(yīng)變虎克定理破壞判據(jù)s-m(s+s)=s

(應(yīng)力形式)123b實驗驗證：

或

時，更好一些。強(qiáng)度條件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b237.4.2塑性材料的屈服強(qiáng)度理論一、最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）屈服判據(jù)t

=t

maxs單向拉伸屈服時的t屈服判據(jù)s-s

=s

(Tresca條件,1864,法)1ys3實驗驗證：很好地預(yù)測了塑性材料屈服。思考：材料滑移剪應(yīng)力的貢獻(xiàn)塑性材料屈服假說：塑性材料屈服取決于其最大剪應(yīng)力t

。max；；設(shè)計：強(qiáng)度條件：s-s

[s]=s/n

1ys37.4.2塑性材料的屈服強(qiáng)度理論二、形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）假說：塑性材料屈服取決于其形狀改變比能v

。S滑移改變形狀思考：Tresca條件與s

無關(guān)2？能量？屈服判據(jù)v

=v

Ssc單向拉伸屈服時的vs；屈服判據(jù)(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises條件,1913,德實驗驗證：對塑性金屬屈服，預(yù)測比最大剪應(yīng)力理論的預(yù)測更好，但二者相差不大。7.4.2塑性材料的屈服強(qiáng)度理論二、形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）屈服