2024-2025學(xué)年重慶一中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年重慶一中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）﹣2的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．（4分）如圖，該幾何體由6個(gè)大小相同的正方體組成，從左面看到的視圖是（）A． B． C． D．3．（4分）如圖，AB∥CD，若∠1＝70°（）A．90° B．100° C．110° D．120°4．（4分）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4，那么這兩個(gè)三角形的面積之比是（）A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．1：85．（4分）一組數(shù)據(jù)：3、2、1、1、3、3，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．1 B．2 C．2.5 D．36．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間7．（4分）用大小相同的黑點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案有2個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖案有7個(gè)黑點(diǎn)，第④個(gè)圖案有26個(gè)黑點(diǎn)……按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．46 B．50 C．51 D．578．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，分別以BA，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．2π+2 C． D．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF（）A． B． C． D．10．（4分）已知兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，按規(guī)則ab+2a+2b進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果記為c1，稱此為一次操作；再?gòu)腶，b，c1中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為c2；再?gòu)腶，b，c1，c2中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為c3…依次進(jìn)行下去，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①若a，b為方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)根，則c1＝﹣7；②若a＝b＝c1，則c1＝﹣3；③對(duì)于整數(shù)a，b，若a+b為奇數(shù)，在操作過(guò)程中n一定為偶數(shù)；④若a＝b＝1，要使得|cn|＞2024成立，則n至少為4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．請(qǐng)將正確答案寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．11．（4分）計(jì)算：＝．12．（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540度，則這個(gè)正多邊形的中心角為度．13．（4分）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作豐富多樣，對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．某中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》，《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》這4部名著中隨機(jī)選擇2部作為數(shù)學(xué)選修課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《幾何原本》和《測(cè)圓海鏡》的概率為．14．（4分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝4，AC＞BC．15．（4分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，線段AB在x軸上的圖象上，線段AD與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，且四邊形CEAB的面積為10，則常數(shù)k的值為．16．（4分）若關(guān)于y的不等式組有且只有2個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的積為．17．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC交線段BE于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則△ABE的面積為．18．（8分）若一個(gè)五位數(shù)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0，且滿足e＝2a，3（a﹣b），則稱該五位數(shù)為“差倍數(shù)”．規(guī)定：，．例如：42152，2≠0，且3×（2﹣1），所以42152是“差倍數(shù)”，F(xiàn)（42152）＝25+12＝37，G（42152），G（N）＝26，則N的最大值為；若“差倍數(shù)”S＝21000x+10y+z+98（1≤x≤4，0≤y≤9，2≤z≤11，x，y，z均為整數(shù)），且2F（S）+3G（S），則滿足條件的S的值的和為．三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題0分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將答題過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上．19．計(jì)算：（1）（y+2）（2﹣y）+（y﹣1）（y+5）；（2）．20．在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了深入研究，他們發(fā)現(xiàn)了一種構(gòu)造菱形的方法．請(qǐng)你根據(jù)他們的想法和思路（1）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，射線DF交AC于點(diǎn)F．（2）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，射線DF交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．證明：∵∠CDF＝∠B，∴①．又∵DE∥AC，∴四邊形AEDF是②．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DF∥AB，∴∠BAD＝③．∴∠CAD＝∠FDA．∴FD＝④．∴四邊形AEDF是菱形．進(jìn)一步思考，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°時(shí)⑤．21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)N，連接CP，∠PCA＝∠CBA．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，PN＝6，求BC的長(zhǎng)．22．一年一度的元旦節(jié)即將到來(lái)，某校初三年級(jí)的家委會(huì)媽媽們準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)兩種文具作為小禮物送給初三年級(jí)的孩子們，計(jì)劃用2400元購(gòu)買(mǎi)簽字筆，已知一支簽字筆和一個(gè)圓規(guī)的售價(jià)之和為15元，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)簽字筆的數(shù)量是圓規(guī)數(shù)量的4倍．（1）求計(jì)劃分別購(gòu)買(mǎi)多少支簽字筆和多少個(gè)圓規(guī)？（2）實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，家委會(huì)媽媽們發(fā)現(xiàn)每支簽字筆的售價(jià)降低了，每個(gè)圓規(guī)的售價(jià)便宜了元，家委會(huì)的媽媽們調(diào)整了購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的數(shù)量，實(shí)際購(gòu)買(mǎi)圓規(guī)的數(shù)量比計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)圓規(guī)的數(shù)量增加了5m個(gè)，最終實(shí)際購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用比計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用減少了（300+5m）元，求m的值．23．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以速度1cm/s的速度沿線段DC運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），0＜x＜61．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y1與x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y1的函數(shù)圖象，并寫(xiě)出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，若函數(shù)y1的圖象與直線y2＝﹣x+b有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是．24．為滿足市民需求，我市在一小島兩側(cè)開(kāi)辟了兩條跑步路線：①A→B→C→D，②A→E→D．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)C的西北方向6千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的南偏東15°方向，點(diǎn)E在點(diǎn)D的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求C，D之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）時(shí)間原因，小黎決定選擇一條較短路線進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明她應(yīng)該選擇路線①還是路線②（結(jié)果保留整數(shù)）25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6），與x軸交于A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交BC于點(diǎn)M．點(diǎn)H是y軸上的一點(diǎn)，使得MC＝MH（3）將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位，點(diǎn)E是平移后拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在坐標(biāo)軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．26．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上中線，連接DE．（1）如圖1，AB＝4，AC＝3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)．（2）如圖2，將線段DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至DG，使∠EDG+2∠B＝180°，作GN⊥GM交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，作GH⊥GE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求證：MN＝2CH．（3）如圖3，AB＝4，∠B＝45°，點(diǎn)P是射線JE上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD′，當(dāng)AD′最小時(shí)，將△AD′Q沿QD′所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△A′D′Q，A′C，當(dāng)A′D最大時(shí)

2024-2025學(xué)年重慶一中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案CACCCBDABC一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）﹣2的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【解答】解：﹣2的倒數(shù)是﹣．故選：C．2．（4分）如圖，該幾何體由6個(gè)大小相同的正方體組成，從左面看到的視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)幾何體的空間結(jié)構(gòu)可知，從物體左面看，上層左邊是一個(gè)小正方形，．故選：A．3．（4分）如圖，AB∥CD，若∠1＝70°（）A．90° B．100° C．110° D．120°【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝70°，∴∠1＝∠3＝70°，∵∠3+∠2＝180°，∴∠7＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故選：C．4．（4分）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4，那么這兩個(gè)三角形的面積之比是（）A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．1：8【解答】解：∵相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4，∴對(duì)應(yīng)邊之比為3：4，∴這兩個(gè)三角形的面積之比是：1：16，故選：C．5．（4分）一組數(shù)據(jù)：3、2、1、1、3、3，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：1，1，6，3，3，5，∵數(shù)據(jù)2，3處在最中間，∴中位數(shù)＝（4+3）÷2＝2.5，故選：C．6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【解答】解：，∴，∴，∴的值應(yīng)在2和6之間，故選：B．7．（4分）用大小相同的黑點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案有2個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖案有7個(gè)黑點(diǎn)，第④個(gè)圖案有26個(gè)黑點(diǎn)……按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．46 B．50 C．51 D．57【解答】解：∵第①個(gè)圖案中“●”有：2個(gè)，第②個(gè)圖案中“●”有：7個(gè)，第③個(gè)圖案中“●”有：15個(gè)，第④個(gè)圖案中“●”有：26個(gè)，……，第n個(gè)圖案中“●”有：個(gè)，∴第⑥個(gè)圖案中“●”有：個(gè)，故選：D．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，分別以BA，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．2π+2 C． D．【解答】解：連接BF，依題意得：，AB＝BE＝5．∴．∴∠ABF＝45°．∴AF＝AB＝8．∴∠CBF＝45°∴陰影部分的面積為：＝＝8+2π﹣4π＝8．故選：A．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，作FG⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，，∴AD＝AB＝4，∠EAD＝90°，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣8＝3，在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，∵∠EFB＝∠EAD＝90°，∠FEB＝∠AED，∴△FEB∽△AED，∴，即，∴，∵∠FGD＝∠EAD＝90°，∠FDG＝∠EDA，∴△FDG∽△EDA，∴，即，解得，，在直角三角形AFG中，由勾股定理得：，故選：B．10．（4分）已知兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，按規(guī)則ab+2a+2b進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果記為c1，稱此為一次操作；再?gòu)腶，b，c1中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為c2；再?gòu)腶，b，c1，c2中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為c3…依次進(jìn)行下去，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①若a，b為方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)根，則c1＝﹣7；②若a＝b＝c1，則c1＝﹣3；③對(duì)于整數(shù)a，b，若a+b為奇數(shù)，在操作過(guò)程中n一定為偶數(shù)；④若a＝b＝1，要使得|cn|＞2024成立，則n至少為4．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①由條件可知ab＝﹣3，a+b＝﹣1，∴ab+4a+2b＝﹣3+6×（﹣1）＝﹣5，∴c5＝﹣5，故①錯(cuò)誤；②由條件可知，∴，解得：c1＝4（舍）或c1＝﹣3，故②正確；③若a+b為奇數(shù)，則a，不妨設(shè)a為奇數(shù)，則c3＝ab+2a+2b＝ab+3（a+b）為偶數(shù)，a，b，c1則為一個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，而兩個(gè)偶數(shù)得到ab+5a+2b也必為偶數(shù)，故得到的cn一定為偶數(shù)，故③正確；④若a＝b＝1，則c5＝ab+2a+2b＝2，c2＝ab+2（a+b）＝17，c5＝ab+2（a+b）＝129，c4＝ab+4（a+b）＝17×129+2×（17+129）＝2485＞2024，∴n至少為4，故④正確．故選：C．二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．請(qǐng)將正確答案寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．11．（4分）計(jì)算：＝．【解答】解：原式＝．故答案為：．12．（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540度，則這個(gè)正多邊形的中心角為72度．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180×（n﹣2）＝540，整理得，180n＝900，解得：n＝5，所以這個(gè)正多邊形的中心角為：360°÷6＝72°．故答案為：72．13．（4分）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作豐富多樣，對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．某中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》，《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》這4部名著中隨機(jī)選擇2部作為數(shù)學(xué)選修課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《幾何原本》和《測(cè)圓海鏡》的概率為．【解答】解：《周髀算經(jīng)》，《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》分別用A、B、C，∴用列表法把所有等可能結(jié)果表示出來(lái)如下，ABC DA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選中《幾何原本》和《測(cè)圓海鏡》的結(jié)果有2種，∴概率為，故答案為：．14．（4分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝4，AC＞BC6﹣2．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，∴AC＝AB＝2（，∴BC＝4﹣[2（﹣4）]＝6﹣2．故答案為：6﹣2．15．（4分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，線段AB在x軸上的圖象上，線段AD與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，且四邊形CEAB的面積為10，則常數(shù)k的值為16．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF∥CE交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，∴AB＝CD＝a，BC∥AE，∴四邊形AFCE為平行四邊形，∴AF＝CE，∴△CDE∽△OAE，∴∴，，∵四邊形CEAB的面積為10，∴，解得：k＝16．故答案為：16．16．（4分）若關(guān)于y的不等式組有且只有2個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的積為30．【解答】解：原方程去分母得，ay＝y(tǒng)﹣2+8，∴（a﹣2）y＝6，根據(jù)題意得，a﹣1≠7，∴是正數(shù)，且，，解不等式①得，，解不等式②得，y≤8，∴不等式的解集為，∵關(guān)于y的不等式組有且只有2個(gè)偶數(shù)解，∴4≤＜5∴0≤a＜6，∴所有符合條件的整數(shù)a的值有6，3，5，∴8×3×5＝30，∴所有符合條件的整數(shù)a的值之積為30．故答案為：30．17．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC交線段BE于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則△ABE的面積為．【解答】解：連接OE，CE，∵點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC，＝，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE，∵＝，∴∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠ABE＝∠CAE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠ADE＝∠ABE+∠BAD，∠EAD＝∠CAE+∠DAC，∴∠ADE＝∠EAD，∴，∵＝，∴∠AEB＝∠ACB，∵AC∥EF，∴∠ACB＝∠F，∠ACE＝∠CEG，∴∠AEB＝∠F，∠8＝∠CEG，∴△FCE∽△EAB，∵tan∠ABD＝，∴tan∠CEG＝＝，設(shè)，EG＝7x，則在Rt△CEG中，由勾股定理得：EC＝，解得：x＝＝，∴EG＝，CG＝，在Rt△CGF中，由勾股定理得：GF＝＝，∴EF＝EG+GF＝，∴S△CEF＝EF×CG＝××，∵△FCE∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：S△EAB＝，故答案為：．18．（8分）若一個(gè)五位數(shù)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0，且滿足e＝2a，3（a﹣b），則稱該五位數(shù)為“差倍數(shù)”．規(guī)定：，．例如：42152，2≠0，且3×（2﹣1），所以42152是“差倍數(shù)”，F(xiàn)（42152）＝25+12＝37，G（42152），G（N）＝26，則N的最大值為84293；若“差倍數(shù)”S＝21000x+10y+z+98（1≤x≤4，0≤y≤9，2≤z≤11，x，y，z均為整數(shù)），且2F（S）+3G（S），則滿足條件的S的值的和為63285．【解答】解：①，∵3（a﹣b）＝c﹣d，e＝2a，∴13（a﹣b）＝26，∴a﹣b＝8，∴c﹣d＝6，∴a最大為4，則e最大為7，∴b＝4﹣2＝2，∵c﹣d＝6，∴c最大為9，則d＝5，∴N的最大值為84293；②∵S＝21000x+10y+z+98，∴S＝20000x+1000x+（90+10y）+z+8，∴，∵由題意可得，滿足3（a﹣b）＝c﹣d，∴3（x﹣3）＝y(tǒng)﹣z+2，∴z＝y(tǒng)﹣3x+8，∴＝10x+y+10+z﹣7＝10x+y+z+8＝10x+y+y﹣3x+5+8＝7x+5y+13，＝10x+y﹣（10+z﹣2）＝10x+y﹣（10+y﹣3x+5﹣4）＝10x+y﹣10﹣y+3x﹣3＝13x﹣13，∴3F（S）+3G（S）＝2（4x+2y+13）+3（13x﹣13）＝53x+5y﹣13＝55x﹣2x+11y﹣7y+11﹣24＝11（7x+y+1）﹣（2x+6y+24），∴2x+7y+24需要被11整除，∵6≤x≤4，0≤y≤6，∴26≤2x+7y+24≤95，∴可取33，44，66，88，當(dāng)2x+7y+24＝33，則2x+4y＝9，∴x＝1，y＝5∴S＝21111；當(dāng)2x+7y+24＝44，則8x+7y＝20，∴x＝3，y＝8；當(dāng)2x+7y+24＝55，則8x+7y＝31（舍）；當(dāng)2x+7y+24＝66，則2x+7y＝42（舍）；當(dāng)2x+7y+24＝77，則2x+2y＝53，∴x＝2，y＝7，∴S＝42174，當(dāng)3x+7y+24＝88，則2x+7y＝64（舍），∴S的值的和為21111+42174＝63285，故答案為：84293，63285．三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題0分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將答題過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上．19．計(jì)算：（1）（y+2）（2﹣y）+（y﹣1）（y+5）；（2）．【解答】解：（1）原式＝4﹣y2+（y8+5y﹣y﹣5）＝8﹣y2+y2+4y﹣5＝4y﹣7；（2）原式＝＝＝．20．在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了深入研究，他們發(fā)現(xiàn)了一種構(gòu)造菱形的方法．請(qǐng)你根據(jù)他們的想法和思路（1）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，射線DF交AC于點(diǎn)F．（2）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，射線DF交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．證明：∵∠CDF＝∠B，∴DF∥BA①．又∵DE∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形②．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDA③．∴∠CAD＝∠FDA．∴FD＝AF④．∴四邊形AEDF是菱形．進(jìn)一步思考，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°時(shí)正方形⑤．【解答】（1）解：在線段DC的左側(cè)作∠CDF＝∠B，射線DF交AC于點(diǎn)F；（2）證明：在△ABC中，∠CDF＝∠B，∠CDF＝∠B，∴DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，又∵DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDA，∴∠CAD＝∠FDA，∴FD＝AF，∴四邊形AEDF是菱形，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°時(shí)，同理可得四邊形AEDF是菱形，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，故答案為：DF∥BA，平行四邊形；AF．21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)N，連接CP，∠PCA＝∠CBA．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，PN＝6，求BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，連接OC，∴OC＝OB，∠ACB＝90°，∴∠BCO＝∠CBA，∵∠PCA＝∠CBA，∴∠BCO＝∠PCA，∴∠PCA+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半徑，∴CP是⊙O的切線；（2）解：∵OP⊥AC，∴∠AMO＝∠ACB＝90°，∴OM∥BC，∴∠AOP＝∠CBA，∵OC＝OA，OP⊥AC，∴∠AOP＝∠COP，∴∠COP＝∠CBA，∴△PCO∽△ACB，∴，∵⊙O的半徑為4，PN＝6，∴AB＝7，ON＝OC＝4，∴PO＝PN+ON＝10，∴，∴．22．一年一度的元旦節(jié)即將到來(lái)，某校初三年級(jí)的家委會(huì)媽媽們準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)兩種文具作為小禮物送給初三年級(jí)的孩子們，計(jì)劃用2400元購(gòu)買(mǎi)簽字筆，已知一支簽字筆和一個(gè)圓規(guī)的售價(jià)之和為15元，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)簽字筆的數(shù)量是圓規(guī)數(shù)量的4倍．（1）求計(jì)劃分別購(gòu)買(mǎi)多少支簽字筆和多少個(gè)圓規(guī)？（2）實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，家委會(huì)媽媽們發(fā)現(xiàn)每支簽字筆的售價(jià)降低了，每個(gè)圓規(guī)的售價(jià)便宜了元，家委會(huì)的媽媽們調(diào)整了購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的數(shù)量，實(shí)際購(gòu)買(mǎi)圓規(guī)的數(shù)量比計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)圓規(guī)的數(shù)量增加了5m個(gè)，最終實(shí)際購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用比計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用減少了（300+5m）元，求m的值．【解答】解：（1）設(shè)一支簽字筆x元，則一個(gè)圓規(guī)（15﹣x）元，由題意得：，去分母，得2400（15﹣x）＝3600x，解得x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是所列分式方程的解，∴簽字筆的單價(jià)為6元，圓規(guī)的單價(jià)為15﹣6＝4（元），∴購(gòu)買(mǎi)簽字筆的數(shù)量為：（支），購(gòu)買(mǎi)圓規(guī)的數(shù)量為：400÷4＝100（個(gè)），即計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)400支簽字筆，100個(gè)圓規(guī)，答：計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)400支簽字筆，100個(gè)圓規(guī)；（2）根據(jù)單價(jià)、數(shù)量，整理得：m2﹣30m+200＝8，解得m1＝20，m2＝10，∵m＜15，∴m＝10．答：m的值為10．23．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以速度1cm/s的速度沿線段DC運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），0＜x＜61．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y1與x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y1的函數(shù)圖象，并寫(xiě)出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，若函數(shù)y1的圖象與直線y2＝﹣x+b有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是．【解答】解：（1）由題意知，DQ＝x，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，點(diǎn)P在AB上，S△DPQ＝8x，當(dāng)3＜x＜6時(shí)，點(diǎn)P在BC上，S△DPQ＝．綜上可得：；（2）根據(jù)（1）中解析式列表得：x0173476y0369550描點(diǎn)連線，可得y7的函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，y4隨x的增大而增大，當(dāng)3＜x＜6時(shí)，y5隨x的增大而減?。唬?）如上圖，當(dāng)直線y2＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，6）時(shí)，解得b＝6；聯(lián)立y2＝﹣x+b與，得﹣x7+6x＝﹣x+b，即x2﹣8x+b＝0，當(dāng)直線y2＝﹣x+b與y8的圖象相切時(shí)，x2﹣7x+b＝6只有一個(gè)根，Δ＝（﹣7）2﹣8b＝49﹣4b＝0，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y7的圖象與直線y2＝﹣x+b有兩個(gè)交點(diǎn)．故答案為：．24．為滿足市民需求，我市在一小島兩側(cè)開(kāi)辟了兩條跑步路線：①A→B→C→D，②A→E→D．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)C的西北方向6千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的南偏東15°方向，點(diǎn)E在點(diǎn)D的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求C，D之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）時(shí)間原因，小黎決定選擇一條較短路線進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明她應(yīng)該選擇路線①還是路線②（結(jié)果保留整數(shù)）【解答】解：（1）作BH⊥AD于點(diǎn)H，CF⊥BH于點(diǎn)F，∠CBF＝45°， ∵AB＝6，BC＝6，∴，，∴，∵四邊形CDHF為矩形，∴CD＝HF＝2.96≈1，即C，D之間的距離為1千米；（2），，∵四邊形CDHF為矩形，∴，∴；作AG⊥DE于點(diǎn)G，則∠DAG＝∠ADG＝45°， ∴，∵∠EAG＝∠EAD﹣∠DAG＝90°﹣15°﹣45°＝30°，∴，，∴路線①的長(zhǎng)度為：AB+BC+CD＝6+6+2＝13（千米），路線②的長(zhǎng)度為：AE+ED＝AE+EG+DG＝＝≈14（千米），∴應(yīng)選擇路線①．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6），與x軸交于A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交BC于點(diǎn)M．點(diǎn)H是y軸上的一點(diǎn)，使得MC＝MH（3）將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位，點(diǎn)E是平移后拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在坐標(biāo)軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠6）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6），B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），4），6），0）代入得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴C（7，﹣2），當(dāng)y＝0時(shí)，，解得：x1＝﹣6，x6＝1，∴B（﹣6，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣2，代入B（﹣6，∴﹣4k﹣2＝0，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)，則，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸，則，∴，∵M(jìn)C＝MH，∴CH＝2NC，∴，，∴，∴當(dāng)t＝﹣5時(shí)，PM+5CH取得最大值，即P（﹣5，﹣2）；（3）或；理由如下：∵OC＝2，OB＝6，∴，∵拋物線沿射線BC方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度，∵，∴平移后的拋物線解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，設(shè)x＝﹣6，與x軸交于點(diǎn)T，∵，C（0，∴，，∴，∴∠FCO＝60°，∴，，∵TS∥OC，∴∠FST＝∠FCO＝60°，當(dāng)E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上時(shí)，如圖所示3＝2∠OFC＝60°，∴，∴；當(dāng)E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在y軸上時(shí)，∠SCE2＝∠E7′CS＝∠FCO＝60°，∠E2SC＝∠FST＝60°，∴△SE2C是等邊三角形，∴SE7＝SC，∵TS∥OC，∴即，解得：，∴，∴，∴，綜上所述，或．26．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上中線，連接DE．（1）如圖1，AB＝4，AC＝3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)．（2）如圖2，將線段DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至DG，使∠EDG+2∠B＝180°，作GN⊥GM交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，作GH⊥GE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求證：MN＝2CH．（3）如圖3，AB＝4，∠B＝45°，點(diǎn)P是射線JE上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD′，當(dāng)AD′最小時(shí)，將△AD′Q沿QD′所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△A′D′Q，A′C，當(dāng)A′D最大時(shí)【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，點(diǎn)E在BD中垂線上，由勾股定理得：，∠B+∠C＝90°，∴，∵點(diǎn)E在BD中垂線上，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵D