高考數(shù)學一輪復習高考大題專項練1高考中的函數(shù)與導數(shù)（含解析）

高考大題專項練一高考中的函數(shù)與導數(shù)

一、非選擇題

1.已知函數(shù)f(x)=ln尸1

⑴討論F(x)的單調(diào)性,并證明F(x)有且僅有兩個零點；

⑵設(shè)不是f(x)的一個零點，證明曲線x在點4(%,In幻處的切線也是曲線片e’的切線.

答案：(1)解F(x)的定義域為(0,1)U(1.8).

因為小干人，

xd)/

所以&x)在區(qū)間(0,1),(1,)8)內(nèi)單調(diào)遞增.

因為/(e)-1F(e"):=臺^也

所以*力在區(qū)間(1,f8)內(nèi)有唯一零點X、,即F(以

又吟嗤5公4

故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一零點上

綜上，f(x)有且僅有兩個零點.

⑵證明因為上二e-n2

沏

故點,Tn*o,J在曲線yk上.

由題設(shè)知/U)丸即In%苦,故直線力8的斜率在早？=再扛=±

刈TTn沏一與1“G題°?3

曲線片e'在點In如J處切線的斜率是5曲線尸Inx在點火加In%)處切線的斜率也是g所以

曲線y=lnx在點4(%,InxJ處的切線也是曲線片?"的切線.

2.已知函數(shù)f(x)*wTnx-2.

⑴若獷1,證明：存在唯一實數(shù)七弓，1),使得6(￡)R;

(2)求證:存在0SO,使得f(x)X).

答案：證明⑴當m=\時，/*(%)=ex-lnx-2,f'(x)xX).

A

顯然/”(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增且圖象是連續(xù)的,

又or(i)刀,故存在唯一實數(shù)￡￡《，1),使得r(t)力.

⑵F'(X)=7?6"

x\mx/

由OQKI,得f‘a(chǎn))在區(qū)間(o,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，由⑴得mXo=t時，力,

所以F(x)在區(qū)間(0,%)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(心+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

{

即F(x)的最小值為f(=/(￡)==e-Int+\nm-2t

因為e'—K,

所以eg,t=~lnt.

于是/U)=/0

所以當lnm>2《+。時，/U)丸

取A=2_0+。<0,故當mG(e：1)時成立,因此存在0觴<1,使得/V)Y.

3.己知函數(shù)fix)=Q+a^~x.

⑴當a=l時,討論F(x)的單調(diào)性；

⑵當x2時，f(x)求a的取直范圍.

xx

解：⑴當a=l時，f(x)=e+x-xtf*(A)=e^2x-l.

故當(-8,0)時，f*(A)<0；當(0,+8)時,

所以f(x)在(-E0)單調(diào)遞減,在(0,+8)單調(diào)遞增.

⑵F(x)等價于^\x-ax以+1)eWL

設(shè)函數(shù)g{x)=(、3-a^+x+l)屋(￥20),

則g，(x))e"

=玄［義-(23+3)才朗4/2］葭

=^x(x-2a~\)(x-2)ex.

①若2”1WO,即aWg則當xw(0,2)時，g'(x)人.

所以g(x)在(0,2)單調(diào)遞增,而g(0)=1,故當xe(0,2)時,g(x)>1,不合題意.

②若0<2a+l<2,即則當xe(0,2a+l)U(2,+>時,g'(x)<0;當xWt2a/l,2)吐g'(x)A).

所以g(>)在(0,2a+l),(2,+8)單調(diào)遞減，在(2aH,2)單調(diào)遞增.

由于以0)=1,所以g(x)W1當且僅當g(2)=(7/a)e'Wl,即石2子.所以當午Wag時,g(x)41.

③若222,即a4,貝ijg(x)A3+x+l)e".

由于0￡嚀，》故由②可得+x+l)e'Wl.

故當時，以王)<L

綜上,a的取值范圍是殍，+8).

4.設(shè)函數(shù)f[x)4+bx+c,曲線y=f(x)在點f'gU)處的切線與y軸垂直.

⑴求b;

⑵若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

答案：⑴解尸(x)=3/+b,依題意得F《)力，即**).

故b二4

(2)證明由(1)知f(x)=xf(x)=3V^.

令F'(x)X),解得"3或十力

F'(x)與/*(x)的情況為：

21

丫

(-8,-；)~2(44)2&…)

rw十0-0+

1

fix)/7

4

因為所以當。得時"(X)只有大于1的零點.

因為A-1)=/?=/所以當叫時，f為只有小于T的零點.

由題設(shè)可知

44

當c=—時，F(xiàn)(x)只有兩個零點日和1.

當c』時,F(x)只有兩個零點T和(

當時，F(xiàn)(x)有三個零點用,x2,X3,且乂￡(-1,-0,須《(-(，1),石￡6，1)-

綜上,若f(x)有一個絕對值不大于1的零點,則&力所有零點的絕對值都不大于1.

5.已知函數(shù)FGO^eJell,其中，&R,e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若方程f(>)可無實數(shù)根,求實數(shù)，的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(>)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)，的取值范圍.

解:⑴由H0=1,得旎'0”,

即內(nèi)一5,故有史=1-九

X

令g(x)部,則屋⑺上穿.

由g'(x)X),得0<￥<e;

由g'(x)<0,得xX.

故g(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增，

在區(qū)間(e,,8)內(nèi)單調(diào)遞減.

因此g(x)Mg(e)—,

e

所以g(x)的值域為(-8,斗

要使得方程f(x)=l無實數(shù)根,則1-￡乂即￡<!，.

5e

⑵F'(x)=er'"xe'rW[l"*飛”叫.

由題設(shè)知,對VMX),r(x)WO恒成立.

不妨取*=1，有/(l)=e'(l包飛一)在0.

而當田I時，尸⑴泡故t<l.

①當國,且xX)時，F(xiàn)'(力士儀口”lw￡(l+：ei).

而當xX)時，有er>l打，故吟-小。所以f'⑺6.

所以/U)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，故當運機寸滿足題意.

②當(<7<1時,0<1-且三>1,即上1nm-X).

令力(x)=1"x~e"-叱貝I」力(0)=0,

h'(x)一￡)昌-e(1)小

當0O*ln±時，力'(才)>0,此時，力(力)力(0)=0,貝IJ當0G*ln=時，f'(x)X),

故f(x)在區(qū)間(0,左皿5)

內(nèi)單調(diào)遞增.

與題設(shè)矛盾，不符合題意，舍去.

所以，當時，函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,，8)內(nèi)是減函數(shù).

6.已知f(x)=ax-lnx,xR(0,e],g(x)呷,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a￡R.

⑴討論當a=l時，函數(shù)〃>)的單調(diào)性和極侑：

⑵求證:在⑴的條件下,f(x)>g(x)g;

⑶是否存在正實數(shù)a,使Ax)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

答案:⑴解??,當a=l時，f[x)=x-\nx,

XX

?,?當04<1時，f'(x)<0,此時F(x)單調(diào)遞減；

當IdWe時，F(xiàn)'(x)?時,此時f(x)單調(diào)遞增.

???f(x)的極小值為f(l)=l.

⑵證明???F(M的極小值為1,

.."(力在區(qū)間(0,e]上的最小值為1,即[ra)Ln=L

又屋(X)上空，，當066時,g'(x)X,g(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增.

，[晨力]⑼=g(e)W

ez

.*.[Ax)]hln-[^U)]?x>j,

，在⑴的條件下,f(x)>g[x)].

⑶解假設(shè)存在正實數(shù)a,使f[x｝包xTnx(x￡(0,e])有最小值3,

則f'(x)=a，.

XX

①當04<e時，f(x)在區(qū)間(0,0內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(：，e]上單調(diào)遞增，"(x)]e3=/Q=l+lnaW,a4,

滿足條件；

②當時，f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減，[F(x)]nin=f(e)=aeT=3,a"(舍去).

ae

綜上,存在實數(shù)a是2,使得當XG(0,e]時F(x)有最小值3.

7.已知函數(shù)f(x)=a"6(aX),b?0,a#l,bKl).

⑴設(shè)a=2,吃

①求方程f(x)N的根；

②若對于任意x￡R,不等式f(2x)2勿f(x)巧恒成立,求實數(shù)m的最大值；

⑵若0<a<l,b>lt函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點,求ab的值.

解：⑴因為娉，所以f｛x｝夕針.

①方程fkx)2即2"2'%亦即(232-2X201R,

所以(2'-1》力，

即2?1,解得內(nèi)).

②由條件知f(2x)42-2-2，=(2'+2)-2=(〃力)2-2.

因為F(2x)2RF(X)~6對于x￡R恒成立,且F(x)的,

所以后f二對于x￡R恒成立.

而(/(彳)>2+4_力\,4?\~-口(AO)戶+4

而F^—fJ)言22jr(r*)?用口,且飛廠_4，

所以加W4,故實數(shù)m的最大值為4.

⑵因為函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點，

而g(0)=F(0)-2=//-2巾，

所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點.

因為gr(x)=alna+bKlnb,

又由0<a<l,b>\知lna<0,ln"0,

所以g'(x)4)有唯?解為=log《(-三)

令力(x)=gf(x),貝ij力'(x)-(axlna+tf1nz?)-a*(1na)2^Z?T(1n6)2,

從而對任意才￡R,力’(x)?,

所以g'(x)%(x)是(--,小8)內(nèi)的增函數(shù).

于是當x￡(―-,于時,g'(x)于是的)R；當才仁(%,/°°)時,g'(x)>g'(%)于

因而函數(shù)g(x)在區(qū)間(-?,即)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(廂+8)內(nèi)是增函數(shù).

下證Xo=O.

若題<0,則為§<0,

于是若①(0)力.

又g(log⑵@。噓+從-2_2刖1近-24),且函數(shù)g(x)在以與和log.2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷,

所以在華和logN之間存在g(x)的零點,記為%,.因為OQ<1,所以logNO又？<0,所以*6,與“0

是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾.

若%X),同理可得,在三和log,2之間存在以力的非0的零點,矛盾.

因此陶=0.

故Ina+lnAO,

所以ab=\.

8.已知函數(shù)t\x)=sin*Tn(l儀)，尸⑺為r(x)的導數(shù).證明：

⑴6⑺在區(qū)間(-1,J存在唯一極大值點；

(2)F(x)有且僅有2個零點.

答案:證明⑴設(shè)￡(力才(力,

則g(x)yosx”,屋(X)

當xe(-l，3時,g'(x)單調(diào)遞減，

而二(0)刀,/(3他

可得g'(x)在區(qū)間(-1,三)內(nèi)有唯一零點,設(shè)為

則當(T,。)時,g'(x)與；

當"0時,g'(x)<0.

所以g(x)在區(qū)間(-1,。)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(。，三)內(nèi)單