云南省昆明市2023-2024學年高二下學期7月期末考試 數學 含解析

昆明市2023-2024學年高二期末質量檢測數學考試時間:7月4日8:30-10:30注意事項:1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.2.已知向量，若，則（）A B. C. D.3.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題4.已知函數，且，，，則的一個解析式為（）A. B. C. D.5.某人連續(xù)投一枚骰子次，記錄向上的點數得到一組樣本數據，若該組樣本數據的平均數為，則（）A.極差可能為 B.中位數可能為 C.方差可能為 D.眾數可能為6.已知為拋物線的焦點，過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（）A. B. C.1 D.7.已知正四棱臺的體積為，上、下底面邊長分別為，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A B. C. D.8.函數，，則下列說法錯誤的是（）A.，使得為偶函數B.，使得曲線為中心對稱圖形C.，存在極值D.，存在兩個零點二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.等比數列公比為，前項和為，為等差數列，則（）A. B. C.為等差數列 D.為等比數列10.已知函數，，則下列說法正確的是（）A若，則B.若，則C.若在上單調遞增，則的范圍為D.函數有兩個極值點11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的右支上，則列說法正確的是（）A.若的周長為24，則的面積為48B.C.D.若為銳角，則點的縱坐標范圍是三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則______.13.已知，則______.14.甲、乙兩人先后在裝有顆黑球的1號盒子與裝有顆白球的2號盒子（，）輪流取球，規(guī)定每次取球可以從某一盒子中取出任意多顆（至少取1顆），或者在兩個盒子中取出相同顆數的球（至少各取1顆），最后不能按規(guī)則取的人輸.例如:當時，甲先手不論如何取球，乙后手取球均有必定獲勝的策略．若，且后手取球者有必定獲勝的策略，則滿足條件的一組數組可以為______.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.16.如圖，在四棱錐中，.（1）證明:平面;（2）若直線平面，求平面與平面的夾角的大小.17.已知橢圓的短軸長為2，離心率為.（1）求的方程;（2）過點作直線與橢圓相交于兩點，若，求直線的方程.18.如圖，甲、乙、丙、丁四名同學分別站在一個正方形的四個頂點進行傳球訓練，每次由一人隨機將球傳給另外三人中的一人，任意一人持球時，傳給位于相鄰頂點同學的概率為，傳給位于對角線頂點同學的概率為，傳球3次為一輪.（1）已知第一次由隨機一名同學將球傳出，若，設事件為“一輪中每人各持一次球”.（i）求及事件的概率;（ii）設三輪傳球中，事件發(fā)生的次數為，求的分布列與數學期望;（2）已知第一次由甲將球傳出，在一輪傳球中，乙、丙兩人，誰兩次持球的可能性更大?19.已知函數的定義域為，設，曲線在點處的切線交軸于點，當時，設曲線在點處的切線交軸于點，依次類推，稱得到的數列為函數關于的“數列”，已知.（1）若是函數關于的“數列”，求的值;（2）若是函數關于的“數列”，記.（i）證明:等比數列;（ii）證明:.昆明市2023-2024學年高二期末質量檢測數學考試時間:7月4日8:30-10:30注意事項:1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的四則運算可得，再根據復數的幾何意義可得復數的模.【詳解】由，得，則，故選：A.2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量共線的坐標表示計算求解即可.【詳解】因為向量，，所以，解得.故選：B3.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】D【解析】【分析】判斷出命題、命題、命題、命題的真假可得答案.【詳解】，所以命題是假命題，是真命題，當時，，所以，所以命題是假命題，是真命題，對于A，和都是真命題，錯誤；對于B，和都是真命題，錯誤；對于C，和都是真命題，錯誤對于D，和都是真命題，正確.故選：D.4.已知函數，且，，，則的一個解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據各解析式分別代入即可.【詳解】A選項：，成立，，，則，A選項錯誤；B選項：，，B選項錯誤；C選項：，成立，，，則，C選項正確；D選項：，，D選項錯誤；故選：C.5.某人連續(xù)投一枚骰子次，記錄向上的點數得到一組樣本數據，若該組樣本數據的平均數為，則（）A.極差可能為 B.中位數可能為 C.方差可能為 D.眾數可能為【答案】C【解析】【分析】根據平均數的公式可得，且，再根據各個數據特征值的概念及公式分別判斷即可.【詳解】根據平均數的公式可得，且，A選項：若極差為，則，，此時不成立，A選項錯誤；B選項：若中位數為，則，即，且，此時與不符，B選項錯誤；C選項：當，時，方差為，C選項正確；D選項：若眾數為，則數據中至少有兩個為，此時，不成立，D選項錯誤；故選：C.6.已知為拋物線的焦點，過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的知識可以知道點，然后再利用切線和垂直即可求解.【詳解】由題意易得，過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，且，將點代入拋物線方程可得，即，，解得.故選：D.7.已知正四棱臺的體積為，上、下底面邊長分別為，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據臺體體積公式可得臺體的高，即可利用勾股定理列方程求解半徑.【詳解】在正四棱臺中，，，體積為，故則，，連接、相交于點，、相交于點，設外接球的球心為，若在臺體外，設到底面的距離為，則半徑為，即，解得，若在臺體內，到底面的距離為，則半徑為，即，解得，舍去，綜上所述，，故，所以.故選：A.8.函數，，則下列說法錯誤的是（）A.，使得為偶函數B.，使得曲線為中心對稱圖形C.，存在極值D.，存在兩個零點【答案】D【解析】【分析】利用余弦型函數的性質分別判斷各選項即可得解.【詳解】A：當時，，關于坐標原點對稱，此時，A正確；B：，令，，解得，，即函數的對稱中心為，，即當，即，時，曲線為中心對稱圖形，B正確；C：因為的最小正周期為，，所以函數，存在極值，C正確；D：取，則，又，由余弦函數的性質可知，在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以在上沒有零點，在上只有一個零點，D錯誤；故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.等比數列的公比為，前項和為，為等差數列，則（）A. B. C.為等差數列 D.為等比數列【答案】ABC【解析】【分析】根據等差數列與等比數列的定義及公式可判斷.【詳解】由已知為等差數列，則當時，為定值，即為常數，此時數列為常數列，又數列為等比數列，則，且，，A選項正確；此時，B選項正確；，，，，即為等差數列，C選項正確；，，，不為定值，所以不為等比數列，D選項錯誤；故選：ABC.10.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若在上單調遞增，則的范圍為D.函數有兩個極值點【答案】ABD【解析】【分析】根據求導根據函數值與導數值直接可判斷A選項，根據函數值情況解不等式可判斷B選項，求導根據函數單調性可判斷D選項，并可列不等式，解不等式判斷C選項.【詳解】由，則，A選項：由，解得，，，A選項正確；B選項：，解得，B選項正確；C選項，D選項：，由，所以令，解得或，所以函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，則函數函數有兩個極值點，D選項正確；又函數在上單調遞增，則，解得，或，無解，綜上，C選項錯誤.故選：ABD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的右支上，則列說法正確的是（）A.若的周長為24，則的面積為48B.C.D.若為銳角，則點的縱坐標范圍是【答案】BC【解析】【分析】根據雙曲線定義結合周長可得，，即可由直角三角形求解面積，判斷A，根據雙曲線上的點到焦點的距離的范圍，結合雙曲線定義即可求解B，根據漸近線斜率即可求解C，利用向量的坐標運算即可求解D.【詳解】可得，由于點在的右支上，故，對于A，若的周長為24，則，進而，，故，故的面積為，A錯誤，對于B，由于，當在右頂點時等號取到，故，故B正確，對于C，由于雙曲線一三象限的漸近線方程為，故，又當在右頂點時，，故，C正確，對于D，設，，則，則，解得或，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題D選項解決關鍵是，將問題化為，從而得解.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則______.【答案】【解析】【分析】根據分段函數的性質直接求函數值.【詳解】由分段函數可知，故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用商數關系由求出，再由兩角和的正弦展開式計算可得答案.【詳解】因為，所以，所以，則.故答案為：.14.甲、乙兩人先后在裝有顆黑球的1號盒子與裝有顆白球的2號盒子（，）輪流取球，規(guī)定每次取球可以從某一盒子中取出任意多顆（至少取1顆），或者在兩個盒子中取出相同顆數的球（至少各取1顆），最后不能按規(guī)則取的人輸.例如:當時，甲先手不論如何取球，乙后手取球均有必定獲勝的策略．若，且后手取球者有必定獲勝的策略，則滿足條件的一組數組可以為______.【答案】【解析】【分析】分、、進行討論，若甲有必勝策略則不符合，重點在于得出當甲或乙取完后盒中情況為或時，此人必勝.【詳解】由，，則可能有以下三種情況：①，甲可先手在號盒子中取顆球，此時盒中情況為，則乙必不可能全部取完，乙后手取球后可能為、、或，這時無論何種情況甲都可全部取完，故甲有必定獲勝的策略，不符；②，甲可先手在號盒子中取顆球，此時盒中情況，同①，甲有必定獲勝的策略，不符；③，甲先手后，若兩盒中球數一樣或有一盒取空，則乙可全部取完，乙必勝，若兩盒中球數不一樣，則一定是以下兩種情況之一：（i）有一盒中只有一個球，另一盒中多于兩個球；（ii）有一盒中有兩個球，另一盒中多于兩個球；無論為哪種情況，乙都可將其取為或，由①知，此時乙必勝，故滿足條件的一組數組只有.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于得到誰能將盒中情況變?yōu)榛?，則必勝.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊角互化，再利用余弦定理可得角；（2）根據余弦定理，結合三角形面積，可得，進而可得周長.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，由余弦定理得，又，則；【小問2詳解】由已知，即，又，即，所以，所以的周長為.16.如圖，在四棱錐中，.（1）證明:平面;（2）若直線平面，求平面與平面的夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接．分別證明平面，平面，即可證明平面平面，根據面面平行的性質，即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】因為，所以，連接．因為，所以，在中，，所以，平面，平面，故平面，又在四邊形ABCD中，，所以，平面，平面，故平面，因為平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】在中，，因為平面，平面，所以，平面，所以，即兩兩垂直．以分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系．則，，設平面的法向量，則，可取為平面的一個法向量，設平面的法向量，則，可取為平面的一個法向量，所以，，所以，所以平面與平面的夾角的大小為．17.已知橢圓的短軸長為2，離心率為.（1）求的方程;（2）過點作直線與橢圓相交于兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）由題意得，求出，從而可求出橢圓方程；（2）當直線l的斜率不存在時，不合題意，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程，設，將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數的關系，利用弦長公式列方程可求出，從而可求出直線方程.【小問1詳解】依題意：，解得，所以E的方程為．【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，，與題意不符，舍去；當直線l斜率存在時，設直線l的方程，設，聯立，消y得：，整理得：，，則，，則，即，則，即，解得或，則直線l的方程為或．18.如圖，甲、乙、丙、丁四名同學分別站在一個正方形的四個頂點進行傳球訓練，每次由一人隨機將球傳給另外三人中的一人，任意一人持球時，傳給位于相鄰頂點同學的概率為，傳給位于對角線頂點同學的概率為，傳球3次為一輪.（1）已知第一次由隨機一名同學將球傳出，若，設事件為“一輪中每人各持一次球”.（i）求及事件的概率;（ii）設三輪傳球中，事件發(fā)生的次數為，求的分布列與數學期望;（2）已知第一次由甲將球傳出，在一輪傳球中，乙、丙兩人，誰兩次持球的可能性更大?【答案】（1）（i），；（ii）分布列見解析，.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）（i）球傳出后，可能給相鄰兩個的概率都為，給對角線的概率為，則，結合，解出即可.（ii）由條件可得，運用二項分布的概率公式和期望公式求解概率即可．（2）將乙丙兩次持球的概率求出來后，用作差法比較大小即可．【小問1詳解】（i）由題意，球傳出后，可能給相鄰兩個的概率都為，給對角線的概率為，則，當解得．則．