2025年湘教版高一數(shù)學上冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教版高一數(shù)學上冊階段測試試卷967考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、等差數(shù)列的相鄰4項依次是a+1，a+3，7，a+b，則a，b的值分別是（）

A.0；5

B.1；6

C.2；7

D.無法確定。

2、若集合A={x|y=log2（2x-1）}，則A∩B=（）

A.

B.

C.

D.{y|0＜y＜1或y＞1}

3、規(guī)定記號“△”表示一種運算，即a△b=+a+b，記f（x）=（sin2x）△（cos2x）．若函數(shù)f（x）在x=x處取到最大值，則f（x）+f（2x）+f（3x）的值等于（）

A.6+

B.6-

C.6

D.3

4、方程的兩根都大于2,則m的取值范圍是()A.B.C.D.5、【題文】若集合則（）A.B.或C.D.6、【題文】集合則（）A.B.C.D.7、【題文】直線在軸上的截距為()

8、【題文】符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-1.1]=-2；定義函數(shù){x}=x-[x]，給出下列四個。

命題:①函數(shù){x}的定義域是R，值域為[0,1];②方程有無數(shù)解；③函數(shù){x}是周期函數(shù);④函數(shù){x}是增函數(shù).其中正確的命題序號有（）A.②③B.①④C.③④D.②④9、已知各項不為0

的等差數(shù)列{an}

滿足a4鈭?2a72+3a8=0

數(shù)列{bn}

是等比數(shù)列，且b7=a7

則b3b7b11

等于(

)

A.1

B.2

C.4

D.8

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)10、已知a+a-1=3，則a2+a-2=____．11、集合{y∈N|y=-x2+6，x∈N}的非空真子集的個數(shù)為____．12、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____．13、數(shù)列｛｝中，且是正整數(shù))，則數(shù)列的通項公式14、【題文】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____。15、log93+(827)鈭?13=

______．評卷人得分三、證明題(共8題，共16分)16、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．17、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．19、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．20、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．21、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．評卷人得分四、解答題(共1題，共9分)24、【題文】已知

求證并求使等號成立的條件．評卷人得分五、計算題(共4題，共12分)25、已知扇形的圓心角為150°，半徑為2cm，扇形的面積是____cm2．26、如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線DE，與過點A的直線垂直于E，弦BD的延長線與直線AE交于C點．

（1）求證：點D為BC的中點；

（2）設(shè)直線EA與⊙O的另一交點為F，求證：CA2-AF2=4CE?EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半徑為r．求由線段DE，AE和弧AD所圍成的陰影部分的面積．27、如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15，AE為過點A的直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=9，則DE=____．28、已知B=（﹣∞，a），若A∩B=A，求實數(shù)a的取值范圍．評卷人得分六、綜合題(共3題，共21分)29、已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中實數(shù)a、b、c滿足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求證：兩函數(shù)的圖象相交于不同的兩點A；B；

（2）求線段AB在x軸上的射影A1B1長的取值范圍．30、已知直線l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，兩條直線的交點為A，點B在l1上，點C在l2上，且，當B，C變化時，求過A，B，C三點的動圓形成的區(qū)域的面積大小為____．31、（2011?青浦區(qū)二模）如圖，已知邊長為3的等邊三角形ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則CE的長是____．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、C【分析】

由題意，等差數(shù)列的相鄰4項依次是a+1，a+3，7，a+b；

則解得

故選C．

【解析】【答案】由等差中項的性質(zhì)列出方程組，求出a和b的值．

2、C【分析】

集合A={x|y=log2（2x-1）}={x|2x-1＞0}={x|x＞}=（+∞），

集合B={y|y=2，x∈R}={y|y＞0且y≠1}=（0，1）∪（1，+∞），

故集合A∩B=（+∞）∩[（0，1）∪（1，+∞）]={}，

故選C．

【解析】【答案】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合A；再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求出集合B，再利用兩個集合的交集的定義求出A∩B．

3、A【分析】

∵a△b=+a+b

∴f（x）=（sin2x）△（cos2x）==2sin（2x+）+1

∵函數(shù)f（x）在x=x處取到最大值。

即x=k∈z

∴f（x）+f（2x）+f（3x）=2sin（2kπ）+2sin（4kπ+）++2sin（6kπ+）+3=2sin（）+2sin（）+2sin（）+3=6+

故選A

【解析】【答案】本題根據(jù)記號“△”表示一種運算的定義，得到f（x）=（sin2x）△（cos2x）==2sin（2x+）+1，在根據(jù)三角函數(shù)最值的知識得到x；最后代入函數(shù)計算即可．

4、C【分析】因為方程的兩根都大于2,那么則解得m的取值范圍【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】

試題分析：因為

所以選

考點：集合的運算,簡單不等式的解法.【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】解：因為M={x|x>1},選C【解析】【答案】C7、B【分析】【解析】本題考查直線在坐標軸上截距的概念.

直線與x軸交點的橫坐標叫做直線在x軸上的截距；直線與y軸交點的縱坐標叫做直線在y軸上的截距.

由直線令得則直線在軸上的截距為故選B【解析】【答案】B8、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A9、D【分析】解：等差數(shù)列{an}

中；

隆脽a4+3a8=(a4+a8)+2a8=2a6+2a8=4a7

a4鈭?2a72+3a8=0

隆脿4a7鈭?2a72=0

且a7鈮?0

隆脿a7=2

又b7=a7=2

故等比數(shù)列{bn}

中，b3b7b11=b73=8

．

故選：D

．

利用等差數(shù)列通項公式求出a7=2

由此得到b7=a7=2

再利用等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)能求出結(jié)果．

本題考查等比數(shù)列中三項乘積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．【解析】D

二、填空題(共6題，共12分)10、略

【分析】

由題意可得：a+a-1=3；

所以對其平方可得：a2+a-2+2=9；

所以a2+a-2=7．

故答案為7．

【解析】【答案】由題意可得：a+a-1=3，所以對其平方可得：a2+a-2+2=9；進而得到答案．

11、略

【分析】

由集合{y∈N|y=-x2+6；x∈N}

當x分別取0；1，2時，y的值分別為6，5，2；

所以給定的集合為{6；5，2}；

其非空真子集為{6}；{5}，{2}，{6，5}，{5，2}，{6，2}共6個．

故答案為6．

【解析】【答案】分別找出適合條件的變量x；求出相應(yīng)的y值，則集合的元素可求，從而求出集合的非空真子集．

12、略

【分析】

函數(shù)的定義域為x∈[-1；1]

g（x）=1-x2的增區(qū)間[-1；0]

而f（x）=2g（x）在R上單調(diào)遞增。

∴g（x）=1-x2在x∈[-1，1]的增區(qū)間就是的單調(diào)遞增區(qū)間．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1；0]

故答案為：[-1；0]

【解析】【答案】先求函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)求函數(shù)g（x）=1-x2的增區(qū)間，就是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

13、略

【分析】試題分析：由題意，得，由此可推出數(shù)列的通項公式．考點：數(shù)列的通項公式．【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】易求函數(shù)的定義域為函數(shù)是由復(fù)合而成，且函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，故要求函數(shù)的增區(qū)間只需求函數(shù)在定義域上的增區(qū)間即可，而函數(shù)在定義域上的增區(qū)間為故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】【答案】15、略

【分析】解：原式=12+(32)鈭?3隆脕(鈭?13)

=12+32

=2

．

故答案為：2

．

利用指數(shù)與對數(shù)的運算法則即可得出．

本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．【解析】2

三、證明題(共8題，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．17、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應(yīng)取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設(shè)RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．19、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)和逆定理可得CF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．四、解答題(共1題，共9分)24、略

【分析】【解析】設(shè)四邊形是正方形，．

設(shè)為正方形內(nèi)一點，坐標為如圖，則．

即．

當且僅當且時，等號成立，此時點既在上，又在上，因此，點是與的交點，即點是正方形的中點，則有時；所證明的不等式取等號．

?！窘馕觥俊敬鸢浮孔C明吉安答案五、計算題(共4題，共12分)25、略

【分析】【分析】根據(jù)扇形的面積=，直接進行計算即可解答．【解析】【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式；得

S扇==π（cm2）．

故答案為．26、略

【分析】【分析】（1）連接OD；ED為⊙O切線；由切線的性質(zhì)知：OD⊥DE；根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線平行知：OD∥AC；由于O為AB中點，則點D為BC中點．

（2）連接BF；AB為⊙O直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線平行知

ED∥BF由平行線的性質(zhì)知，由于點D為BC中點，則點E為CF中點，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）?CF=2AE?CF；將CF=2CE代入即可得出所求的結(jié)論．

（3）由于則弧AD是半圓ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；連接DA，可知等腰三角形△OAD為等邊三角形，則有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，則有S陰影=S梯形AODE-S扇形AOD，從而可求得陰影部分的面積．【解析】【解答】（1）證明：連接OD；

∵ED為⊙O切線；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O為AB中點；

∴D為BC中點；

（2）證明：連接BF；

∵AB為⊙O直徑；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D為BC中點；

∴E為CF中點；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）?CF=2AE?CF；

∴CA2-AF2=4CE?AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

連接DA；可知△OAD為等邊三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S陰影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．27、略

【分析】【分析】要求DE，求AE，AD即可：求證△ABD≌△ACE，即可得AD=CE，直角△AEC中根據(jù)AE=得AE，根據(jù)DE=AE-AD即可解題．【解析】【解答】解：在直角△AEC中；∠AEC=90°；

AC=15，CE=9，則AE==12；

∵∠BAD+∠CAD=