2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第4章三角函數(shù)解三角形第7講解三角形的應(yīng)用舉例學(xué)案含解析北師大版

PAGE1-第7講解三角形的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)學(xué)問整合1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線eq\x(\s\up1(01))上方的角叫仰角，在水平線eq\x(\s\up1(02))下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從正北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．如B點(diǎn)方位角為α(如圖②)．3．方向角相對于某一正方向的水平角，即從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏東α，南偏西α.特殊地，若目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向、東北方向等．(1)北偏東α，即由eq\x(\s\up1(03))指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)；(2)北偏西α，即由eq\x(\s\up1(04))指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似．4.坡角與坡度(1)坡角：eq\x(\s\up1(05))坡面與水平面所成的二面角(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：eq\x(\s\up1(06))坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．1．仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．2．“方位角”與“方向角”的區(qū)分：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1．兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站北偏東40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖．故選B.2．(2024·廈門模擬)如圖，D，C，B在地平面同始終線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m答案D解析在直角三角形中，依據(jù)三角函數(shù)的定義得eq\f(AB,tan30°)－eq\f(AB,tan45°)＝10，解得AB＝5(eq\r(3)＋1)(m)．故選D.3．(2024·武漢模擬)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝()A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile答案D解析由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理，得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，所以BC＝5eq\r(6)nmile.4．(2024·安徽安慶期末質(zhì)量監(jiān)測)某快遞公司在我市的三個(gè)門店A，B，C分別位于一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上，則門店A，B間的距離為()A．a(chǎn)km B．eq\r(2)akmC.eq\r(3)akm D．2akm答案C解析如圖所示，依題意知CA＝CB＝akm，∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin120°)＝eq\f(a,sin30°)，則AB＝eq\f(asin120°,sin30°)＝eq\r(3)a(km)，即門店A，B間的距離為eq\r(3)akm.故選C.5．一個(gè)大型噴水池的中心有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.答案50解析設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝hm，AB＝100m，BC＝eq\r(3)hm，依據(jù)余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50(m)，故水柱的高度是50m.核心考向突破考向一測量距離問題例1(2024·江西贛州模擬)如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里 D．40海里答案A解析由題意可知，∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里)．在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，由正弦定理可得AC＝eq\f(40sin105°,sin45°)＝20(eq\r(3)＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°)＝20eq\r(6)(海里)．故選A.距離問題的解題思路這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．留意：①基線的選取要恰當(dāng)精確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．[即時(shí)訓(xùn)練]1.(2024·福建寧德其次次(5月)質(zhì)量檢查)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙隱私的最終遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________米．答案80eq\r(5)解析∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))(米)，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))(米)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－4\r(3)))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)(米)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為80eq\r(5)米．考向二測量高度問題例2為了測量某新建的信號(hào)放射塔AB的高度，先取與放射塔底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C，D，測得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點(diǎn)C的正上方E處觀測放射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則放射塔高AB＝()A．(20eq\r(2)＋1)m B．(20eq\r(3)＋1)mC．20eq\r(2)m D．(40eq\r(2)＋1)m答案A解析如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC，BF＝CE＝1m，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40·sin60°,sin45°)＝20eq\r(6)(m)．所以EF＝20eq\r(6)m，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2)(m)，所以AB＝AF＋BF＝20eq\r(2)＋1(m)．故選A.處理高度問題的留意事項(xiàng)(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，正確理解仰角、俯角是一個(gè)關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)探討的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清晰又不簡單搞錯(cuò)．(3)留意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．[即時(shí)訓(xùn)練]2.(2024·湖北宜昌模擬)如圖，一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時(shí)測得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.答案100eq\r(6)解析依題意有AB＝600m，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(CB,sin∠CAB)，得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(CB,sin30°)，解得CB＝300eq\r(2)(m)，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100eq\r(6)(m)．則此山的高度CD＝100eq\考向三測量角度問題例3(2024·沈陽模擬)如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．

解在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7)(海里)．由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).解決測量角度問題的留意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，留意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”運(yùn)用．[即時(shí)訓(xùn)練]3．(2024·商丘模擬)如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達(dá)B處，測得山頂P位于北偏東60°的方向，此時(shí)測得山頂P的仰角為60°，已知山高為2eq\r(3)千米．(1)船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)若該船接著航行10分鐘到達(dá)D處，問此時(shí)山頂位于D處南偏東多少度的方向？解(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，得BC＝eq\f(PC,tan∠PBC)＝2，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(2,sin15°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以AB＝2(eq\r(3)＋1)，故船的航行速度是每小時(shí)6(eq\r(3)＋1)千米．(2)在△BCD中，BD＝eq\r(3)＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，則由余弦定理，得CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠CDB)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(2,sin∠CDB)，所以sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，所以山頂位于D處南偏東45°的方向．(2024·永州模擬)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇動(dòng)身時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇．則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0<v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)時(shí)，v＝30，故v＝30時(shí)，t取得最小值，且最小值為eq\f(2,3).此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里．故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向