專題05 線段、角（對角線）的計(jì)數(shù)模型解讀與提分精練-2025年人教版七年級《數(shù)學(xué)》寒假培優(yōu)分層作業(yè)

PAGE1專題05線段、角（對角線）的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面分割的計(jì)數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形分割個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.線段的計(jì)數(shù)模型 2模型2.角度的計(jì)數(shù)模型 5模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型 8模型4.多邊形的對角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型 13 17模型1.線段的計(jì)數(shù)模型如果線段上有n個(gè)點(diǎn)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么該線段上共有多少條線段？我們先取n=5進(jìn)行研究，如下圖：結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；證明：①以A為端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD、AE，有4條；②以B為端點(diǎn)的線段有：BC、BD、BE，有3條；③以C為端點(diǎn)的線段有：CD、CE，有2條；④以D為端點(diǎn)的線段有：DE，有1條；故圖中線段總數(shù)量：4+3+2+1=10（條）注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級?？计谥校┫旅鎴D形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】分別以為線段的一個(gè)端點(diǎn)找出線段即可求解．【詳解】解：圖中線段有：共10條，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)線段條數(shù)，掌握線段的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，由臨沂始發(fā)終點(diǎn)至淄博的某一次高鐵列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵号R沂-曲阜-泰安-濟(jì)南-淄博，那么要為這次列車制作的單程火車票（

）種．A．4 B．6 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查直線、射線、線段，根據(jù)線段條數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：高鐵列車在運(yùn)行途中，?？康能囌疽来问桥R沂-曲阜-泰安-濟(jì)南-淄博，要為這次列車制作的單程火車票的種類為（種），故選：C．例3．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）往返于甲、乙兩地的火車，中途停靠三站，每兩站間距離各不相等，需要準(zhǔn)備（

）種不同的車票A．4 B．8 C．10 D．20【答案】D【分析】把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個(gè)點(diǎn)，先求出線段條數(shù)，再乘以2即是車票的種類．【詳解】解：把甲乙兩地看作是一條線段，線段上有3個(gè)點(diǎn)，如圖，∴線段一共有（條），而，∴需要準(zhǔn)備20種不同的車票，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題；關(guān)鍵是需要掌握正確數(shù)線段的方法．例4．（2024·重慶·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）①如圖（1），直線l上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中字母表示的射線：A1A2、A2A1，有1條線段：A1A2；②如圖（2），直線l上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有幾條可用圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字母表示出來；③如圖（3），直線l上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n的代數(shù)式表示出來；④應(yīng)用（3）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），預(yù)計(jì)全部賽完共需多少場比賽？【答案】②射線有4條，線段有3條；③射線的條數(shù)是(2n-2)條，線段的條數(shù)是條；④28場．【分析】②寫出所有的射線和線段后再計(jì)算個(gè)數(shù)；③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有兩條，但是兩邊的兩個(gè)點(diǎn)只有一條；線段是從所有點(diǎn)中任取兩個(gè)；④根據(jù)題意8個(gè)隊(duì)每兩個(gè)隊(duì)之間塞一場，和已知點(diǎn)數(shù)確定線段數(shù)同理，所以代入求值即可．【詳解】解：②根據(jù)射線的定義可得：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4條；由線段的定義可得線段有：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3條；③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)用兩次，但第一個(gè)和最后一個(gè)只用一次，所以射線的條數(shù)是2n-2，線段是從這些點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)就是一條線段，所以線段的條數(shù)是；④∵某校七年級共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，∴全部賽完共需比賽場次為：（場），∴全部賽完共需比賽場次為28.【點(diǎn)睛】本題考查的是線段和射線的計(jì)數(shù)問題，在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，計(jì)線段數(shù)或者射線數(shù)時(shí)，要先寫出以A點(diǎn)為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，再寫出以B為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，…求出所有的線段數(shù)和射線數(shù)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，來計(jì)出n個(gè)點(diǎn)時(shí)射線數(shù)和線段數(shù)，最后代入來解決應(yīng)用問題．例5．（23-24七年級上·山東青島·期末）問題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？構(gòu)建模型：生活中的許多實(shí)際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：(1)如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場就用一條線段把它們連接起來．由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有＝10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．(2)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排場比賽；(3)根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場比賽．實(shí)際應(yīng)用：(4)9月1日開學(xué)時(shí)，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識，請班上42位新同學(xué)每兩個(gè)人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手次．拓展提高：(5)往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為種【答案】(1)10(2)15(3)(4)861(5)要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種【分析】（1）根據(jù)圖①線段數(shù)量進(jìn)行作答．（2）根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答．（3）根據(jù)每個(gè)點(diǎn)存在條與其他點(diǎn)的連線，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，提出假設(shè)，當(dāng)時(shí)均成立，假設(shè)成立．（4）根據(jù)題意，代入求解即可．（5）根據(jù)題意，代入求解即可．【詳解】（1）解：由圖①可知，圖中共有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．（2）由圖②可知，圖中共有15條線段，所以該校一共要安排15場比賽，故答案為：15；（3）根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則每個(gè)點(diǎn)存在條與其他點(diǎn)的連線，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次∴若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場比賽．當(dāng)時(shí)均成立，所以假設(shè)成立，故答案為：．（4）將代入（3）中結(jié)果，∴全班同學(xué)總共握手861次，故答案為：861；（5）因?yàn)樾熊囃荡嬖诜较蛐?，所以不需要除去每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況將代入中解得∴要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種．【點(diǎn)睛】本題考查了歸納總結(jié)和對變形對角線問題，求出關(guān)于n的關(guān)系式，再根據(jù)實(shí)際情況討論是解題的關(guān)鍵．模型2.角度的計(jì)數(shù)模型若過點(diǎn)O作了有n條射線，那么該圖形中共有多少個(gè)角？我們先取n=5進(jìn)行研究，如下圖：結(jié)論：角的數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；證明：①以O(shè)A為角的一邊有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4個(gè)；②以O(shè)B為角的一邊有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3個(gè)；③以O(shè)C為角的一邊有：∠COD、∠COE，有2個(gè)；④以O(shè)D為角的一邊有：∠DOE，有1個(gè)；故圖中角總數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）。例1．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1個(gè)角，圖②中有3個(gè)不同角，圖③中有6個(gè)不同角，…，按此規(guī)律下去圖⑥中有不同角的個(gè)數(shù)為．【答案】21【分析】根據(jù)前3個(gè)圖中角的個(gè)數(shù)，抽象概括出第個(gè)圖中角的個(gè)數(shù)為：，進(jìn)而求出圖⑥中不同角的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：圖①中有個(gè)角；圖②中有個(gè)不同角；圖③中有個(gè)不同角；∴第個(gè)圖中有個(gè)不同角，∴圖⑥中有不同角的個(gè)數(shù)為；故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的數(shù)字規(guī)律．根據(jù)已有圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（23-24七年級上·重慶·期中）如圖，以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角用含的代數(shù)式表示．

【答案】36【分析】有公共頂點(diǎn)的n條射線，可構(gòu)成個(gè)角，依據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；；以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有6個(gè)角；；以點(diǎn)為端點(diǎn)引5條射線時(shí)，共有個(gè)10角；；……以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；故答案為：3，6，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵：有公共頂點(diǎn)的n條射線，可構(gòu)成個(gè)角．例4．（23-24七年級上·湖北孝感·期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個(gè)角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個(gè)角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個(gè)角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，．∴全部賽完共需120場比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型n條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？最多能將平面分成多少部分呢？直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)101+1=2211+1+2=431+2=31+1+2+3=741+2+3=61+1+2+3+4=11n例1．（2023春·上海徐匯·七年級校考期中）同一平面內(nèi)畫9條直線，最多能畫出個(gè)交點(diǎn)．【答案】36【分析】從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條、6條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；…所以n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，．故答案：36．【點(diǎn)睛】本題考查相交線和圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級校考階段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了或個(gè)部分，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．例3．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由2條直線相交時(shí)最多有1個(gè)交點(diǎn)、3條直線相交時(shí)最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)、4條直線相交時(shí)最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，可得5條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4、6條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5、7條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5+6，可知n條直線相交，交點(diǎn)最多有．【詳解】解：∵2條直線相交時(shí)，最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交時(shí)，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交時(shí)，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；…∴5條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；7條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，交點(diǎn)最多有．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形中相交點(diǎn)數(shù)量得出：n條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+n-1個(gè)是解題的關(guān)鍵．例4．（2024七年級上·重慶·專題練習(xí)）為了探究同一平面內(nèi)的幾條直線相交最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)，能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手，如圖．列表如下：直線條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)把平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337………(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，最多有________個(gè)交點(diǎn)，可寫成和的形式為________；把平面最多分成______部分，可寫成和的形式為________．(2)當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí)，最多有________個(gè)交點(diǎn)，把平面最多分成________部分．(3)當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí)，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？把平面最多分成多少部分？【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56；（3）；【分析】（1）兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1+2，第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3，第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3+4，可得，n條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且n≥2）．一條直線把平面分成2部分，兩條直線把平面分成2+2=4部分，三條直線把平面分成2+2+3=7部分，四條直線把平面分成2+2+3+4=11部分，五條直線把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n條直線把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+部分（2）代入（1）中的規(guī)律可得結(jié)果；（3）由（1）可得結(jié)論．【詳解】解：（1）兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1+2，第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3==6，第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3+4=10，∴可得，n條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且n≥2）．一條直線把平面分成2部分，兩條直線把平面分成2+2=4部分，三條直線把平面分成2+2+3=7部分，四條直線把平面分成2+2+3+4=11部分，五條直線把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n條直線把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+]部分（2）當(dāng)n=10時(shí)，最多有個(gè)交點(diǎn)，把平面最多分成1+部分．（3）當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí)，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝個(gè)交點(diǎn)；把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分．【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交有個(gè)交點(diǎn)．本題體現(xiàn)了由“特殊到一般再到特殊”的思維過程，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探究意識．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】[觀察發(fā)現(xiàn)]6，；[實(shí)踐應(yīng)用]120場【分析】[觀察發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)；[實(shí)踐應(yīng)用]把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發(fā)現(xiàn)]解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：1=；②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=；…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．故答案為：6，．[實(shí)踐應(yīng)用]該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進(jìn)行120場比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．模型4.多邊形的對角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出對角線，這些對角線能把多邊形分割成多少個(gè)三角形呢？n邊形共有多少條對角線呢？結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對角線。證明：由連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多邊形的對角線，可知，從n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形∵n邊形有個(gè)頂點(diǎn)，∴共有n條對角線又∵能形成對角線的兩個(gè)點(diǎn)之間只算1條對角線（即上面的計(jì)算相當(dāng)于每條對角線重復(fù)計(jì)算了一次），∴n邊形有條對角線．例1．（23-24八年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）若從一多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可引9條對角線，則它是（

）A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形【答案】B【分析】根據(jù)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以作條對角線，進(jìn)而可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得：，解得：，它是十二邊形，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，熟練掌握多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以作條對角線是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級上·河北保定·期末）若邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的所有對角線可以將該邊形分成6個(gè)三角形，則的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】本題考查了多邊形中的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系．經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，即可．【詳解】解：依題意有，解得．故選：C．例3．（2023秋·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對角線，那么這個(gè)多邊形對角線的總數(shù)是（）A．88 B．44 C．45 D．50【答案】C【分析】根據(jù)一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，即可求出該多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)n邊形對角線的總數(shù)為即可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，∵一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對角線，∴，解得：，∴總的對角線的條數(shù)為：條．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線的條數(shù)問題．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線和其對角線總數(shù)為是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線．如圖，邊形有條對角線．

【答案】【分析】找出過每個(gè)頂點(diǎn)可畫的對角線的條數(shù)，除去重復(fù)的即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過頂點(diǎn)可以畫條對角線，過頂點(diǎn)可以畫條對角線，過頂點(diǎn)可以畫條對角線；…，過頂點(diǎn)可以畫條對角線；∴n邊形的對角線條數(shù)的為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的對角線的知識，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本知識．例5．（2023秋·浙江七年級課時(shí)練習(xí)）請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)/個(gè)45678……從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)/條12345……①___________多邊形對角線的總條數(shù)/條2591420……②___________（1）觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含的代數(shù)式將上面的表格填寫完整，其中①______________________；②______________________；（2）實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)之間要打一個(gè)電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)？【答案】（1）①；②；（2）135個(gè)【分析】（1）觀察表可知從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是多邊形的頂點(diǎn)數(shù)減3，即得n-3，由此可完成①；從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出n－3條對角線，則n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復(fù)算了一次，則可完成②；（2）把6個(gè)組共18名學(xué)生看成18邊形的頂點(diǎn)，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這個(gè)多邊形的對角線，因此問題轉(zhuǎn)化為有多少條對角線的問題，由（1）中結(jié)論即可完成?！驹斀狻浚?）由表可得，當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為n-3；從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出n－3條對角線，則n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復(fù)算了一次，因此實(shí)際的對角線條數(shù)為．故答案為：①；②（2）因?yàn)椋?8名學(xué)生看成是頂點(diǎn)數(shù)為18的多邊形，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這個(gè)多邊形的對角線，則由（1）可得，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話為（個(gè)）．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對角線規(guī)律及其應(yīng)用，難點(diǎn)是理解這個(gè)規(guī)律的應(yīng)用：同組三個(gè)人之間不能打電話，對應(yīng)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成對角線，因此18個(gè)人對應(yīng)18個(gè)頂點(diǎn)，不同組的兩位同學(xué)間打一個(gè)電話對應(yīng)連接兩頂點(diǎn)的一條對角線.1．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出4條對角線，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對角線的條數(shù)公式求出邊數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意，得：，∴，∴該多邊形的邊數(shù)為7；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）由成都到重慶的某一次列車，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：成都—資陽—資中—內(nèi)江—隆昌—永川—重慶，那么要為這次列車制作的火車票有（

）．A．6種 B．12種 C．21種 D．42種【答案】C【分析】從成都要經(jīng)過6個(gè)地方，所以要制作6種車票；從資陽要經(jīng)過5個(gè)地方，所以制作5種車票，依次類推，進(jìn)而求解．【詳解】解：從成都到重慶的單程火車票有如下：成都—資陽、資中、內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（6種）；資陽—資中、內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（5種）；資中—內(nèi)江、隆昌、永川、重慶（4種）；內(nèi)江—隆昌、永川、重慶（3種）；隆昌—永川、重慶（2種）；永川—重慶（1種）；因此要為這次列車制作的火車票有：（種），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是要找出由一地到另一地的車票的數(shù)是多少．3．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)有多少條線段單程就需要印制多少種車票進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵圖中線段有共10條，∴單程要10種車票，往返就是20種，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)線段條數(shù)，熟知兩點(diǎn)構(gòu)成一條線段是解題的關(guān)鍵．4．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，若，則（

）A．15 B．17 C．19 D．21【答案】B【分析】此題考查的是相交線，摸清數(shù)字的變化規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)直線相交得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律，再利用裂項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意，得，兩條直線最多將平面分成4個(gè)區(qū)域，即，三條直線最多將平面分成7個(gè)區(qū)域，即，四條直線最多將平面分成11個(gè)區(qū)域，即，．．．則，，．．．∴，∴＝，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故選：B．5．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）平面內(nèi)有條不重合的直線，這條直線把整個(gè)平面最少分成個(gè)部分，最多分成個(gè)部分．若，則的值為（

）A．47 B．48 C．49 D．50【答案】B【分析】本題主要考查了規(guī)律探索，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出同一平面內(nèi)n條直線，把這個(gè)平面至少分成部分，最多分成部分，然后代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：同一平面內(nèi)2條直線，把這個(gè)平面至少分成部分，最多分成部分，同一平面內(nèi)3條直線，把這個(gè)平面至少分成部分，最多分成部分，同一平面內(nèi)4條直線，把這個(gè)平面至少分成部分，最多分成部分，……同一平面內(nèi)n條直線，把這個(gè)平面至少分成部分，最多分成部分，∴，，∵，∴，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴符合題意，故選：B．6．（24-25八年級上·廣東云浮·期中）學(xué)習(xí)了多邊形后，我們知道過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作若干條對角線（三角形除外）．如圖，過一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形有1條對角線，五邊形有2條對角線，六邊形有3條對角線……按照此規(guī)律，過十二邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有（

）A．11條 B．10條 C．9條 D．8條【答案】C【分析】本題考查了多邊形對角線的條數(shù)問題，根據(jù)從一個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角的條數(shù)是邊數(shù)，即可得出答案，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫條對角線，五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫條對角線，六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫條對角線，∴十二邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫條對角線，故選：C．7．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．8．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個(gè)交點(diǎn)，……，（≥2，且是整數(shù)）條直線相交最多能有（

）A．個(gè)交點(diǎn)B．個(gè)交點(diǎn)C．個(gè)交點(diǎn)D．個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：【詳解】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；…n條直線相交有1+2+3+4+…+（n-1）=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．9．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，它們把邊形分成個(gè)三角形，由此即可計(jì)算．【詳解】解：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，，，的值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握：邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，把邊形分成個(gè)三角形．10．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線，將此多邊形分成4個(gè)三角形，則此多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)多邊形對角線定義可知，一個(gè)邊形某個(gè)頂點(diǎn)除了不能和自身以及左右兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)連成對角線外，其余的個(gè)頂點(diǎn)都能與其連成對角線，這個(gè)對角線將多邊形分成個(gè)三角形，結(jié)合此多邊形被對角線分成4個(gè)三角形，得到，解方程求出多邊形邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)邊形過某個(gè)頂點(diǎn)所有對角線條數(shù)為，這個(gè)對角線將多邊形分成個(gè)三角形，此多邊形被對角線分成4個(gè)三角形，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形對角線的定義及實(shí)際應(yīng)用，分析出多邊形對角線條數(shù)以及將多邊形分成的三角形個(gè)數(shù)，由題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023秋·廣東七年級月考）平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線…的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：如圖：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)，…n直線相交最多有1+2+3+4+5+…+(n?1)＝個(gè)交點(diǎn)．∴7直線相交最多有1+2+3+4+5+…+6＝=21個(gè)交點(diǎn)．∴7條直線兩兩相交最多可以得到21個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到1個(gè)交點(diǎn)，∴a＝21，b=1，∴a+b＝22，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是n條直線相交時(shí)最少有一個(gè)交點(diǎn)．12．（23-24七年級下·山東聊城·期中）如圖，在已知一個(gè)角內(nèi)部畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角；求畫10條射線得的角共有個(gè)【答案】66【分析】本題考查了對角的概念和規(guī)律探索，根據(jù)畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角，可以得出規(guī)律是畫n條射線，圖中共有個(gè)角，把代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角，；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角，；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角，；…，∴畫n條射線，圖中共有個(gè)角，∴畫10條射線所得的角的個(gè)數(shù)是（個(gè)），故答案為：66．13．（21-22七年級上·河北邢臺·期中）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段AB上有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有＝3條，如果線段AB上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有＝6條，如果線段AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有＝10條，……（1）當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有條；（2）某學(xué)校七年級共有10個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩班賽一場），那么該校七年級的辯論賽的場數(shù)是．【答案】（1）15（2）45【分析】（1）由線段AB上有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有＝3條，線段AB上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有＝6條，線段AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有＝10條，可歸納得到當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有條線段，從而可得答案；（2）仿照（1）的計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)即可.【詳解】解：（1）由題干信息歸納可得：當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有條線段，故答案為15（2）由（1）得：2個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽場次為：場，3個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽場次為：場，4個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽場次為：場，歸納可得：10個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽場次為：場；故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形數(shù)量規(guī)律的探索，解題的關(guān)鍵是“從具體的信息中抽象歸納出運(yùn)算特征，再歸納并運(yùn)用”14．（23-24八年級上·湖南張家界·期末）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面最多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則=．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，n條直線將平面最多分成部分，進(jìn)而得到，再進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】解：∵1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，∴n條直線將平面最多分成部分，∴，∴．故答案為：．15．（2023秋·黑龍江綏化·八年級?？计谥校氖呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)作對角線，把這個(gè)十二邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是，十二邊形的對角線的條數(shù)是【答案】【分析】根據(jù)多邊形有的性質(zhì)一個(gè)頂點(diǎn)引條對角線，分成個(gè)三角形，總共有條對角線可得答案．【詳解】解：由多邊形公式可得，十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對角線，把這個(gè)十二邊形分成個(gè)三角形，總共有條對角線，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知幾個(gè)性質(zhì)．16．（2023·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了個(gè)部分．【答案】8或9．【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，或所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個(gè)部分．故答案為：8或9．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．17．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個(gè)不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個(gè)不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有個(gè)不同的角【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個(gè)不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個(gè)不同的角．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．18．（2023.廣東七年級期末）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分,我們從最簡單的情形入手:①一條直線把平面分成2部分;②兩條直線可把平面最多分成4部分;③三條直線可把平面最多分成7部分;④四條直線可把平面最多分成11部分;……把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理,列表分析:直線條數(shù)把平面最多分成的部分?jǐn)?shù)寫成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí),把平面最多分成____部分,寫成和的形式:______;(2)當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成____部分;(3)當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成多少部分?【答案】(1)16；(2)56；(3)部分【分析】（1）根據(jù)已知探究的結(jié)果可以算出當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成16部分；（2）通過已知探究結(jié)果，寫出一般規(guī)律，當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．【詳解】（1）16;1+1+2+3+4+5.（2）56.根據(jù)表中規(guī)律知,當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.（3）當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成1+1+2+3+…+n=部分.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，通過直線分平面探究其中的隱含規(guī)律，運(yùn)用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解決此題關(guān)鍵是寫出和的形式．19．（2023秋·安徽滁州七年級月考）【觀察思考】在表中空白處畫出圖形；線段上的點(diǎn)數(shù)包括，兩點(diǎn)圖例線段總條數(shù)______________________________【模型構(gòu)建】如果線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，那么該線段上共有多少條線段？【拓展應(yīng)用】請將以下問題轉(zhuǎn)化為上述模型，并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題．（1）8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽，那么一共要進(jìn)行______場比賽；（2）某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握次手問好，則共握手______次；（3）海南環(huán)島高鐵是世界首創(chuàng)，其中某趟列車在東段的三亞站、陵水站、萬寧站、瓊海站、文昌站和?？跂|站個(gè)站之間運(yùn)行，那么該趟列車需要安排不同的車票______種，票價(jià)______種．【答案】【觀察思考】見解析；【模型構(gòu)建】線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段；【拓展應(yīng)用】（1）28；（2）900；（3）；．【分析】觀察思考：根據(jù)題意畫出圖形即可；模型構(gòu)建：根據(jù)表中的規(guī)律找到答案即可；拓展應(yīng)用：（1）根據(jù)8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：【觀察思考】

；

；

；

；

；【模型構(gòu)建】解：，所以該線上共有條線段，答：線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段；【拓展應(yīng)用】（1）因?yàn)?，所以位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽，那么一共要進(jìn)行場比賽；故答案為：；（2）因?yàn)?，所以某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握次手問好，則共握手次；故答案為：；（3）因?yàn)椋?，所以海南環(huán)島高鐵是世界首創(chuàng)，其中某趟列車在東段的三亞站、陵水站、萬寧站、瓊海站、文昌站和海口東站個(gè)站之間運(yùn)行，那么該趟列車需要安排不同的車票種，票價(jià)種．故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題考查了直線上線段條數(shù)的變化規(guī)律及其應(yīng)用，得到“線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段”是解題的關(guān)鍵．20．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”（1）【問題背景】往返于甲、乙兩地的客車，中途?？總€(gè)車站（來回票價(jià)一樣），可以從任意站點(diǎn)頭票出發(fā)且任意兩站間的票價(jià)都不同，共有___________種不同的票價(jià)，需準(zhǔn)備________種車票．聰明的小周是這樣思考這個(gè)問題的，她用，，，，個(gè)點(diǎn)表示車站，每兩站之間的票價(jià)用相應(yīng)兩點(diǎn)間的線段表示，共連出多少條線段，就有多少種不同的票價(jià)．（2）【遷移應(yīng)用】，，，，，六支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出，，，，五支隊(duì)已經(jīng)分別比賽了，，，，場球，則還沒有與隊(duì)比賽的球隊(duì)是______隊(duì)．（3）【拓展創(chuàng)新】某攝制組從市到市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走千米到市吃午飯，但由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了上午原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車行駛了千米，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走從市到這里的路程的二分之一就到達(dá)目的地了，求，兩市相距多少千米？【答案】（1），；（2）E隊(duì)；（3）千米．【分析】（1）分別畫出表示車站的四個(gè)點(diǎn)間所有的線段，即可求得票價(jià)種類，再根據(jù)實(shí)際意義，往返車票不一樣，即可解得車票種類；（2）根據(jù)題意得隊(duì)已經(jīng)比賽了5場，即每支隊(duì)伍都與隊(duì)比賽過，其中包含隊(duì)的一場，繼而解得隊(duì)比賽的4場里沒有與隊(duì)的比賽，據(jù)此解題；（3）設(shè)，兩市相距千米，根據(jù)題意，列一元一次方程即可解題．【詳解】解：（1）用，，，，個(gè)點(diǎn)表示車站，需準(zhǔn)備—、—、—、—、—、—共6種不同票價(jià)，12種不同的車票，故答案為：6；12；（2）由于隊(duì)已經(jīng)比賽了5場，即每支隊(duì)伍都與隊(duì)比賽過，又隊(duì)已經(jīng)比賽過1場，即與隊(duì)比賽的那場，可知，隊(duì)比賽的4場里沒有與隊(duì)的比賽，故答案為：；（3）設(shè)，兩市相距千米，，，列以下方程：解得答：，兩市相距千米．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用、線段的實(shí)際應(yīng)用等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．21．（2023秋·山西七年級月考））小明在一條直線上選了若干個(gè)點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實(shí)際問題.（1）一條直線上有2個(gè)點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個(gè)角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時(shí)具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個(gè)角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個(gè)角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校九年級1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時(shí)，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？【答案】（1）45；（2）；（3）；（4）共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到10的和；（2）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到n的和；（3）將角的兩邊看著線段的兩個(gè)端點(diǎn)，那么角的個(gè)數(shù)與直線上線段的問題一樣，根據(jù)線段數(shù)的規(guī)律探究遷移可得答案；（4）把45名學(xué)生看著一條直線上的45點(diǎn)，每2名學(xué)生拍1張兩人照看著兩點(diǎn)成的線段，那么根據(jù)（2）的規(guī)律即可求出兩人合影拍照多少張，再加上集體照即可解答共拍照片張數(shù)，然后根據(jù)兩人合影沖印，集體合影45張計(jì)算總張數(shù)即可.【詳解】解：（1）一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2+3+……+10=45（條）.故答案為：45；（2）一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段共有條.故答案為：；（3）由（2）得：具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個(gè)角；故答案為：；（4）解：

45×（45-1）+1×45=2025答：共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問題，體現(xiàn)了“具體抽象具體”的思維探索過程，探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律.解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．22．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀表：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）圖形線段總條數(shù)N34567解答下列問題：(1)在表中空白處分別畫出圖形，寫出線段總條數(shù)；(2)請猜測，線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）有什么關(guān)系？請寫出來；(3)變式練習(xí)①：如果過每兩點(diǎn)可以畫一條直線，那么請?jiān)谙旅嫒M圖中分別畫線，并回答問題：第（1）組最多可以畫條直線；第（2）組最多可以畫條直線；第（3）組最多可以畫條直線．歸納結(jié)論：如果平面上有個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線_____條．（用含n的代數(shù)式表示）變式練習(xí)②：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握_____次手；最后，每兩個(gè)人要互贈禮物留念，則共需_____件禮物．變式練習(xí)③：從A地到B地的火車途中共停靠7個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），請問共需準(zhǔn)備_____種車票．【答案】(1)畫出圖形見解析；，(2)線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）的關(guān)系為：(3)變式練習(xí)①：3；6；10；歸納結(jié)論：；變式練習(xí)②：1225；2450；變式練習(xí)③：36【分析】（1）根據(jù)圖中規(guī)律畫出圖形，寫出結(jié)果；（2）線段的總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n的關(guān)系式；（3）①根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線作圖分析；歸納結(jié)論：根據(jù)數(shù)字變化規(guī)律列出代數(shù)式；②根據(jù)歸納結(jié)論代入相應(yīng)的數(shù)值求解；③從A地到B地的火車途中共?？?個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），那么一共有9個(gè)站，即，將，代入（2）中的關(guān)系式即可．【詳解】（1）解：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）為6個(gè)時(shí)，如圖：此時(shí)，線段總條數(shù)，線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）為7個(gè)時(shí)，如圖：此時(shí)，線段總條數(shù)，填表如下：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）圖形線段總條數(shù)N34567（2）解：線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）的關(guān)系為：；（3）解：①第（1）組最多可以畫3條直線，第（2）組最多可以畫6條直線，第（3）組最多可以畫10條直線，故答案為：3；6；10；歸納結(jié)論：如果平面上有個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，（次），（件），∴某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握1225次手，最后，每兩個(gè)人要互贈禮物留念，則共需2450件禮物，故答案為：1225；2450；③當(dāng)時(shí)，（種），∴從A地到B地的火車途中共?？?個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），請問共需準(zhǔn)備36種車票，故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的定義，此題在線段的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，注意第三問是要求的單趟的車票種類．23．（2023秋·山西太原·七年級校考階段練習(xí)）觀察探究及應(yīng)用．（1）如圖，觀察圖形并填空：一個(gè)四邊形有_______條對角線；一個(gè)五邊形有_______條對角線；一個(gè)六邊形有_______條對角線；（2）分析探究：由凸邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作_______條對角線，多邊形有個(gè)頂點(diǎn)，若允許重復(fù)計(jì)數(shù)，共可作_______條對角線；（3）結(jié)論：一個(gè)凸邊形有_______條對角線；（4）應(yīng)用：一個(gè)凸十二邊形有多少條對角線？【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出對角線條數(shù)即可；（2）根據(jù)所畫圖形可推導(dǎo)出凸n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n-3)條對角線，進(jìn)而可得共可作n(n-3)條對角線；（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，即可解答；（4）把n=12代入（3）計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)圖形數(shù)出對角線條數(shù)，一個(gè)四邊形有2條對角線，一個(gè)五邊形有5條對角線，一個(gè)六邊形有9對角線；故答案為：2；5；9；（2）∵從凸4邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作1條對角線，從凸5邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作2條對角線，從凸6邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作3條對角線，從凸7邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作4條對角線，…∴從凸n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n-3)條對角線，若允許重復(fù)計(jì)數(shù)，共可作n(n-3)條對角線；故答案為：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，故答案為：．（4）把n=12代入計(jì)算得：=54．故一個(gè)凸十二邊形有54條對角線．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，解題關(guān)鍵是n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線有(n-3)條．24．（2023秋·山西七年級月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個(gè)數(shù)、最后一個(gè)數(shù)及數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．如果，我們設(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個(gè)的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊(duì)以“單擊掌”形式（每兩個(gè)學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎(jiǎng)；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎(jiǎng)杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊(duì)參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個(gè)階段進(jìn)行．32支球隊(duì)平均分成8個(gè)進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊(duì)舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊(duì)進(jìn)入1/8決賽，然后實(shí)行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請你計(jì)算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；（3）①10個(gè)城市每兩個(gè)城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計(jì)算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；③利用分類的方法可求得20