第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析總結(jié)培訓(xùn)教材

第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析學(xué)習(xí)要點與重要公式

本章介紹了數(shù)字信號處理中兩個重要的數(shù)學(xué)變換工具，即傅里葉變換（DTFT）、Z變換（ZT）,利用它們可以將信號和系統(tǒng)在時域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換，這大大方便了對信號和系統(tǒng)的分析和處理。

理解DTFT的物理意義：表征一個離散信號和系統(tǒng)的頻域特性用傅里葉變換。它將隨時間變量n變化的x(n)影射為隨頻率變量ω變化的X(ejω)理解Z變換的物理意義及其重要性：

ZT是DTFT的一種推廣，單位圓上的ZT就是DTFT。ZT將隨時間變量n變化的x(n)影射為隨復(fù)變量z變化的X（z），其變換空間為由x(n)決定的整個收斂域。如何理解在z域進(jìn)行信號和系統(tǒng)分析的必要性：

1.通過ZT可將求解差分方程的運算簡化為求解代數(shù)方程；2.利用x(n-m)z-mX（z),把時域的延時操作和Z域的乘z-m對應(yīng)起來，乘z-m其物理意義也等價為將序列x(n)延時了mT秒。3.通過ZT可分析信號和系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，且由系統(tǒng)函數(shù)的零極點和分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

ZT的學(xué)習(xí)要點

Z變換的正變換和逆變換定義，收斂域的概念。序列特性與收斂域；3.Z變換的定理和性質(zhì)：移位、反轉(zhuǎn)、z域微分、共軛序列的Z變換、時域卷積定理、初值定理、終值定理、帕斯維爾定理。4.系統(tǒng)頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。5.用極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。6.零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。7.用零極點分布定性分析并畫出系統(tǒng)的幅頻特性。

重要公式（1）傅里葉變換的正變換和逆變換的公式

存在的條件是序列服從絕對可和的條件，即

用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。如果周期序列的周期是N。則其頻譜由N條譜線組成。（2）周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換公式周期序列的傅里葉變換公式：（3）序列的Z變換公式1.等比級數(shù)求和2.卷積運算

y(n)=x(n)*h(n)3.DTFT、ZT正反變換的計算重要的計算圍線積分法求逆Z變換的兩個關(guān)鍵：

1.知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系

①收斂域包含∞點，序列是因果序列；

②收斂域在某圓以內(nèi)，是左序列；

③收斂域在某圓以外，是右序列；

④收斂域在整個z面，是有限長序列；

⑤以上②、③、④均未考慮0與∞兩點，這兩點可以結(jié)合問題具體考慮。

2.會求極點留數(shù)。系統(tǒng)性質(zhì)的判定線性時不變因果穩(wěn)定信號和系統(tǒng)的頻率特性分析

求信號與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換，但分析頻率特性使用Z變換更方便。系統(tǒng)函數(shù)的極、零點分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性，因此可以用分析極、零點分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性，包括定性地畫幅頻特性，估計峰值頻率或者谷值頻率。當(dāng)頻率由0到2π變化時，在極點附近會形成峰，極點愈靠進(jìn)單位圓，峰值愈高；零點附近形成谷，零點愈靠進(jìn)單位圓，谷值愈低，零點在單位圓上則形成幅頻特性的零點。當(dāng)然，峰值頻率就在最靠近單位圓的極點附近，谷值頻率就在最靠近單位圓的零點附近。例題：［例1］已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類型（低通、高通、帶通、帶阻）。（某校碩士研究生入學(xué)考試題中的一個簡單的填空題）

解：將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式:系統(tǒng)的零點為z=0，極點為z=0.9，零點在z平面的原點，不影響頻率特性，而惟一的極點在實軸的0.9處，因此濾波器的通帶中心在ω=0處。毫無疑問，這是一個低通濾波器。［例2.2］假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)為實序列，

X(z)=ZT［x(n)］在單位圓的下半部分為零。已知求X（ejω）=FT［x(n)］。解：Xe(ejω)=FT［xr(n)］因為X(ejω)=0π≤ω≤2π所以

X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=00≤ω≤π當(dāng)0≤ω≤π時，，故當(dāng)π≤ω≤2π時，X(ejω)=0，故0≤ω≤ππ≤ω≤2π因此Re［X(ejω)］=X(ejω)Im［X(ejω)］=0［例2.3］已知0≤n≤N

N+1≤n≤2N

n<0,2N<n求x(n)的Z變換。

解：題中x(n)是一個三角序列，可以看做兩個相同的矩形序列的卷積。設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n),則n<00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n將y(n)和x(n)進(jìn)行比較，得到y(tǒng)(n－1)=x(n)。因此

Y（z）z－1=X(z)

Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］故

［例2.4］時域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為（1）要求系統(tǒng)穩(wěn)定，確定a和b的取值域。

（2）要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定，重復(fù)（1）。

解（1）H(z)的極點為a

、b，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓,即單位圓上不能有極點。因此，只要滿足|

a

|≠1,|b|≠1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定，或者說a和b的取值域為除單位圓以外的整個z平面。

（2）系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點全在單位圓內(nèi)，所以a和b的取值域為0≤|a|<1,0≤|b|<1.［例2.5］,f1=10Hz，f2=25Hz，用理想采樣頻率Fs=40Hz對其進(jìn)行采樣得到。（1）寫出的表達(dá)式;（2）對進(jìn)行頻譜分析，寫出其傅里葉變換表達(dá)式，并畫出其幅度譜；（3）如要用理想低通濾波器將cos(2πf1t)濾出來，理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？解：

畫出幅度譜如圖2.4.1所示。（2）按照采樣定理,的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓，延拓周期為Fs=40Hz，x(t)的頻譜為圖2.4.1

（3）觀察圖2.4.1，要把cos(2πf1t)濾出來，理想低通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10Hz和20Hz之間，可選fc＝15Hz。

如果直接對模擬信號x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)進(jìn)行濾波，模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10Hz和25Hz之間，可以把10Hz的信號濾出來，但采樣信號由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓，使頻譜發(fā)生變化，因此對理想低通濾波器的截止頻率要求不同。［例2.4.6］對x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)進(jìn)行理想采樣，采樣間隔T=0.25s，得到，再讓通過理想低通濾波器G(jΩ)，G(jΩ)用下式表示:≤(1)寫出的表達(dá)式;(2)求出理想低通濾波器的輸出信號y(t)。解：(1)（2） 為了求理想低通濾波器的輸出，要分析的頻譜。中的兩個余弦信號頻譜分別為在±0.5π和±1.25π的位置，并且以2π為周期進(jìn)行周期性延拓，畫出采樣信號的頻