《工程制圖》課件-第3章

3.1物體的三視圖

3.2平面立體的投影

3.3回轉(zhuǎn)體的投影

3.4平面與回轉(zhuǎn)體相交

3.5兩回轉(zhuǎn)體相交

第3章立體的投影

3.1.1視圖的基本概念

用正投影法繪制物體所得到的圖形，稱為視圖。

應(yīng)當(dāng)指出，視圖并不是觀察者觀看物體所得的直覺印象，而是把物體放在觀察者和投影面之間，將觀察者的視線視為一組相互平行且與投影面垂直的投影線，對物體進行投影所獲得的正投影圖，其投影情況如圖3-1所示。3.1物體的三視圖圖3-1單個視圖的形成3.1.2三視圖的形成

在正投影中，用一個視圖是不能確定物體的形狀和大小的(如圖3-1所示)。因此，為了將物體的形狀和大小表達清楚，工程上常用三面視圖。

1．物體在三面投影體系中的投影

將物體放置在三投影面體系中，按正投影法向各投影面投影，即可分別得到物體的正面投影、水平投影和側(cè)面投影，如圖3-2(a)所示。

2．三投影面的展開

為了畫圖方便，需將物體拿走，把相互垂直的三個投影面展開(攤平)在同一平面上。規(guī)定V面保持不動，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°(如圖3-2(b)所示)，使H面、W面與V面在同一平面上(這個平面就是圖紙)，這樣就得到了如圖3-2(c)所示的展開后的三視圖。應(yīng)注意，H面和W面在旋轉(zhuǎn)時，OY軸被一分為二。

物體在V面上的投影，即由前向后投射所得的視圖，稱為主視圖；物體在H面上的投影，即由上向下投射所得的視圖，稱為俯視圖；物體在W面上的投影，即由左向右投射所得的視圖，稱為左視圖，如圖3-2(c)所示。物體的形狀與距離投影面的遠近無關(guān)，投影面可根據(jù)需要擴大。在實際作圖中，不必畫出投影面的邊界和投影軸。三視圖的配置是以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右方，如圖3-2(d)所示。

繪制三視圖時應(yīng)注意，按國家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，視圖中凡可見的輪廓線用粗實線表示；不可見的輪廓線用虛線表示；對稱中心線用點畫線表示。如圖3-2支架中的圓柱孔，在左視圖和俯視圖中不可見，用虛線表示。三個視圖中圓柱孔的中心線均畫成點畫線。圖3-2三視圖的形成3.1.3三視圖的投影規(guī)律

1．三視圖的“三等”規(guī)律

以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右方。

物體都有長、寬、高三個方向尺寸。從圖3-2(c)中各視圖之間的尺寸關(guān)系可以看出，每個視圖都反映兩個方向的尺寸，即：

主視圖反映物體的長度和高度；

俯視圖反映物體的長度和寬度；

左視圖反映物體的寬度和高度。由此可歸納得出三視圖之間的對應(yīng)規(guī)律：

主、俯視圖長對正(等長)；

主、左視圖高平齊(等高)；

俯、左視圖寬相等(等寬)。

必須指出，無論是整個物體或物體的局部，其三面投影圖都必須符合“長對正、高平齊、寬相等”的“三等”規(guī)律，如圖3-3所示。圖3-3三視圖的“三等”規(guī)律

2．三視圖與物體的方位關(guān)系

所謂的方位關(guān)系，是指以繪圖(或看圖)者面對正面(即主視圖的投影方向)來觀察物體為準(zhǔn)，看物體的上、下、左、右、前、后六個方位在三視圖中的對應(yīng)關(guān)系，如圖3-4所示。

主視圖——反映物體的上、下、左、右；

俯視圖——反映物體的左、右、前、后；

左視圖——反映物體的上、下、前、后。圖3-4三視圖與物體的方位關(guān)系3.1.4三視圖的作圖方法

根據(jù)物體(或軸測圖)畫三視圖時，首先應(yīng)分析其結(jié)構(gòu)形狀，擺正物體(使其主要表面與投影面平行)，選好主視圖的投影方向，再著手畫圖。

作圖時，應(yīng)先畫出三視圖的基準(zhǔn)線。然后畫三視圖，通常從主視圖入手，再根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”的“三等”規(guī)律，按物體的組成部分依次畫出俯視圖和左視圖。圖3-5(a)所示的物體，其作圖步驟如圖3-5(b)、(c)、(d)所示。

作圖時，為了實現(xiàn)“俯、左視圖寬相等”，可作45°輔助線來求得其對應(yīng)關(guān)系，如圖3-5(b)所示。圖3-5三視圖的作圖步驟(a)軸測圖；(b)畫底板的三視圖；(c)畫左立板的三視圖；(d)畫右立板的三視圖，完成全圖

【例3-1】根據(jù)立體圖(見圖3-6(a))，補畫三視圖中的漏線，完成其三視圖(未知尺寸從立體圖中量取)。

分析對照圖3-6(a)中的立體圖可以看出，該立體由下底板和上立板構(gòu)成。由立體圖和所給的三視圖按“三等”規(guī)律檢查發(fā)現(xiàn)，下底板在俯視圖和左視圖上投影不全，上立板缺少俯、左視圖。

解

(1)由主視圖“長對正”補畫出下底板缺少的虛線。

(2)由主視圖“高平齊”，在左視圖中畫出下底板缺少的輪廓線。

(3)由主視圖“長對正”畫上立板的輪廓線，并從下底板的后面往前量取立板的寬度等于立體圖上的寬度，完成上立板的俯視圖。

(4)由主視圖“高平齊”，在左視圖中畫上立板的輪廓線，并由俯視圖“寬相等”畫出上立板的左視圖。完成立體的三視圖，如圖3-6(b)所示。圖3-6補畫三視圖中的漏線??【例3-2】根據(jù)立體圖和給出的主、左視圖(見圖3-7(a)、(b))，畫出俯視圖。

分析該立體由帶方孔的立板和圓柱構(gòu)成。

解根據(jù)“三等”投影規(guī)律依次畫出立板和圓柱的俯視圖，作圖見圖3-7(c)、(d)、(e)所示。圖3-7已知主、左視圖畫俯視圖(a)題目；(b)立體圖；(c)畫立板及前后通方孔的俯視圖；(d)畫前面圓柱的俯視圖；(e)加深，完成俯視圖3.2.1棱柱體

1．棱柱體的三視圖

圖3-8所示為正五棱柱的投射情況。從圖中可知，正五棱柱的上頂面和下底面都是水平面，五個側(cè)面(均為矩形)中，后側(cè)面是正平面，其余的四個側(cè)面為鉛垂面，五條側(cè)棱線為鉛垂線。3.2平面立體的投影圖3-8正五棱柱的三視圖及表面上的點(a)立體圖；(b)投影圖畫三視圖時，先畫上頂面和下底面的投影。水平投影中，上頂面和下底面均反映實形(正五邊形)且投影重合，正面投影和側(cè)面投影都有積聚性，分別積聚為平行于OX軸和OYW軸的直線；五個側(cè)面由五條側(cè)棱線分開，五條側(cè)棱線的水平投影具有積聚性，積聚為正五邊形的五個頂點，它們的正面投影和側(cè)面投影均平行于OZ軸且反映棱柱的高。在畫完上述面與棱線的投影后，即得該五棱柱的三視圖，如圖3-8(b)所示。

由于后面兩條棱線EE0和DD0從前往后看時不可見，因此主視圖中應(yīng)畫成虛線，同時請?zhí)貏e注意，俯視圖和左視圖之間必須符合寬相等和前后對應(yīng)關(guān)系。這種關(guān)系可在作圖時按照相對位置關(guān)系在圖中直接量取作圖，也可添加45°輔助線作圖。

2．棱柱體表面上的點

當(dāng)點屬于立體的某個表面時，則該點的投影必在它所從屬的表面的各同面投影范圍內(nèi)。若該表面的投影為可見，則該點的同面投影也可見；反之為不可見。因此在求立體表面上點的投影時，應(yīng)首先分析該點所在平面的投影特性，然后再根據(jù)點的投影規(guī)律求得。

如已知正五棱柱上點F和G的正面投影f'(g')(見圖3-8)，求作它們的水平投影和側(cè)面投影。按f'(g')的位置和可見性，可判定點F屬于五棱柱的左前棱面AA0BB0，G屬于五棱柱的后棱面DD0EE0。因點F所屬平面AA0BB0為鉛垂面，因此其水平投影必落在該平面有積聚性的水平投影aa0bb0上。再根據(jù)f'?和f求出f″。點G的投影求法與點F的投影求法相同。

3．棱柱體的特征

圖3-9所示是一些常見的棱柱及其三視圖，從中可以總結(jié)出它們的形體特征：正棱柱體都是由兩個平行且相等的多邊形底面和若干個與其相垂直的矩形側(cè)面所組成，其三視圖的特征是：一個視圖為多邊形，其他兩個視圖均為一個或多個可見或不可見的矩形線框(圖形內(nèi)的線為某些側(cè)面棱線的投影，矩形線框為某些側(cè)面的投影或重影)。圖3-9棱柱體及其三視圖(a)正三棱柱；(b)直四棱柱；(c)正四棱柱；(d)正五棱柱；(e)正六棱柱；(f)正六棱柱3.2.2棱錐體

1．棱錐體的三視圖

圖3-10所示為正三棱錐的投射情況。從圖中可知，棱錐由底面△ABC和三個相等的棱面△SAB、△SBC和△SAC所組成。底面為水平面，其水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線。棱面△SAC為側(cè)垂面，因此側(cè)面投影積聚為一直線，水平投影和正面投影都是類似形。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，它的三面投影均為類似形。棱線SB為側(cè)平線，棱線SA、SC為一般位置直線，棱線AC為側(cè)垂線，棱線AB、BC為水平線。對它們的投影特性，讀者可自行分析。畫正三棱錐的三視圖時，先畫出底面△ABC的各個投影，再畫出錐頂S的各個投影，連接各頂點的同面投影，即為正三棱錐的三視圖，如圖3-10(b)所示。圖3-10正三棱錐的三視圖及表面上的點(a)立體圖；(b)投影圖

2．棱錐體表面上的點

正三棱錐的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。屬于特殊位置平面的點的投影，可利用該平面投影的積聚性直接作圖。屬于一般位置平面的點的投影，可通過在平面上作輔助線的方法求得。

如圖3-10所示，已知棱面△SAB上點M的正面投影m'?和棱面△SAC上點N的水平投影n，試求點M、N的其他投影。因棱面△SAC是側(cè)垂面，它的側(cè)面投影s″a″(c″)具有積聚性，因此n"?在直線s″a″(c″)上，再由n和n″?求得n'。棱面△SAB是一般位置平面，過錐頂S及點M作一輔助線SⅡ(圖3-10(b)中即過m'?作s'?2'，其水平投影為s2)，然后根據(jù)直線上的點的投影特性，求出其水平投影m，再由m'、m求出側(cè)面投影m″。若過點M作一水平輔助線ⅠM，同樣可求得點M的其余二投影。

點M和點N的各個投影的可見性問題，這里不再分析。

3．棱錐體的特征

下面看一些常見的正棱錐體及其三視圖(見圖3-11)。從中可總結(jié)出它們的形體特征：正棱錐體由一個正多邊形底面和若干個具有公共頂點的等腰三角形側(cè)面所組成，且錐頂位于過底面中心的垂直線上；其三視圖的特征是：一個視圖為正多邊形(圖形內(nèi)的線分別為側(cè)棱線的投影，等腰三角形分別為側(cè)表面的投影)，其他兩視圖均為一個或多個可見與不可見具有公共頂點的三角形線框(圖形內(nèi)的線為某些側(cè)棱線的投影，三角形為某些側(cè)表面的投影)。圖3-11棱錐體及其三視圖(a)正三棱錐；(b)正四棱錐；(c)正六棱錐

棱錐體被平行于底面的平面截去其上部，所剩的部分叫做棱錐臺，簡稱棱臺，如圖3-12所示。其三視圖的特征是：一個視圖中為兩個相似的正多邊形(分別反映兩個底面的實形，圖形內(nèi)對應(yīng)角的連線分別為側(cè)棱線的投影，梯形分別為側(cè)面的投影)；其他兩個視圖均為一個或多個可見與不可見的四邊形線框(圖形內(nèi)的線為某些側(cè)棱線的投影，四邊形為某些側(cè)面的投影)。圖3-12棱錐臺及其三視圖(a)正三棱臺；(b)正四棱臺；(c)正六棱臺

由一條母線(直線或曲線)圍繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的表面，稱為回轉(zhuǎn)面(如圖3-13所示)；由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體，稱為回轉(zhuǎn)體。3.3回轉(zhuǎn)體的投影圖3-13回轉(zhuǎn)面的形成(a)圓柱面的形成；(b)圓錐面的形成；(c)球面的形成3.3.1圓柱體

1．圓柱面的形成

如圖3-13(a)所示，圓柱面可看做一條直線AB圍繞與它平行的軸線OO回轉(zhuǎn)而成。OO稱為回轉(zhuǎn)軸，直線AB稱為母線，母線轉(zhuǎn)至任一位置時，稱為素線。

2．圓柱體的三視圖

圖3-14表示一個圓柱體的投射情況。由于圓柱軸線為鉛垂線，圓柱面上所有素線都是鉛垂線，所以其水平投影積聚成一個圓。圓柱體的上、下兩底圓均平行于水平面，其水平投影反映實形，為與圓柱面水平投影重合的圓平面。圖3-14圓柱體及其三視圖(a)圓柱體的投射情況；(b)圓柱體的三視圖主視圖的矩形表示圓柱面的投影，其上、下兩邊分別為上、下底面的積聚性投影；左、右兩邊分別為圓柱面最左、最右素線的投影，這兩條素線的水平投影積聚成兩個點，其側(cè)面投影與軸線的側(cè)面投影重合。最左、最右素線將圓柱面分為前、后兩半，是圓柱面由前向后的轉(zhuǎn)向輪廓線，也是圓柱面在正面投影中可見與不可見部分的分界線。

左視圖的矩形線框可與主視圖的矩形線框作類似的分析。

畫圓柱體的三視圖時，一般先畫圓，再根據(jù)圓柱體的高度和投影規(guī)律畫出其他兩視圖。

3．圓柱體表面上的點

如圖3-15所示，已知圓柱面上點M的正面投影m‘，求m和m″。

由于圓柱的軸線為側(cè)垂線，圓柱面上所有素線均是平行于軸線的側(cè)垂線，其圓柱面的側(cè)面投影積聚成一個圓，所以點M的側(cè)面投影一定重影在圓周上。據(jù)此，作圖時應(yīng)先求出m″，再由m'和m″求出m。因點M位于圓柱的上表面，所以其水平投影m為可見。圖3-15圓柱體表面上點的求法

4．圓柱體的特征

綜上所述，可總結(jié)出圓柱的形體特征：它由兩個相等的圓底面和一個與其垂直的圓柱面所圍成。其三視圖的特征是：一個視圖為圓，其他兩個視圖均為相等的矩形線框。3.3.2圓錐體

1．圓錐面的形成

如圖3-13(b)所示，圓錐面可看做是一條直母線SA圍繞和它相交的軸線OO回轉(zhuǎn)而成。

2．圓錐體的三視圖

圖3-16所示為一圓錐體的投影情況。由于圓錐軸線為鉛垂線，底面為水平面，所以它的水平投影為一圓，反映底面的實形，同時也表示圓錐面的投影。主視圖、左視圖均為等腰三角形，其下邊均為圓錐底面的積聚性投影。主視圖中三角形的左、右兩邊，分別表示圓錐面最左、最右素線的投影(反映實長)，它們是圓錐面的正面投影可見與不可見的分界線；左視圖中三角形的兩邊，分別表示圓錐面最前、最后素線的投影(反映實長)，它們是圓錐面的側(cè)面投影可見與不可見的分界線。上述四條線的其他兩面投影，請讀者自行分析。圖3-16圓錐體及其三視圖(a)圓錐體的投影情況；(b)圓錐體的三視圖

3．圓錐體表面上的點

如圖3-17所示，已知圓錐體表面上點M的正面投影m′，求m和m“。

根據(jù)M的位置和可見性，可判定點M在前、左圓錐面上，因此，點M的三面投影均為可見。

作圖可采用如下兩種方法：

(1)輔助素線法：如圖3-17(a)所示，過錐頂S和點M作一輔助素線SⅠ，即在圖3-17(b)中連接s‘m’，并延長到與底面的正面投影相交于1‘，求得s1和s″1″；再由m’?根據(jù)點在線上的投影規(guī)律求出m和m″。

(2)輔助圓法(緯圓法)：如圖3-17(a)所示，過點M在圓錐面上作垂直于圓錐軸線的水平輔助圓(該圓的正面投影積聚為一直線)，即過m'?所作的2'?3'?(如圖3-17(c)所示)的水平投影為一直徑等于2'?3'?的圓，圓心為s，由m'作OX軸的垂線，與輔助圓的交點即為m。再根據(jù)m'?和m求出m″。圖3-17圓錐體表面上點的求法

4．圓錐體的特征

圓錐的形體特征是：它由一個圓底面和一個錐頂位于與底面相垂直的中心軸線上的圓錐面所圍成。其三視圖的特征是：一個視圖為圓，其他兩視圖均為相等的等腰三角形。

圓錐體被平行于其底面的平面截去上部，所剩的部分叫作圓錐臺，簡稱圓臺。圓臺及其三視圖如圖3-18所示。其三視圖的特征是：一個視圖為兩個同心圓(分別反映兩個底面的實形，兩圓之間的部分表示圓臺面的投影)；其他兩個視圖均為相等的等腰梯形。如圖3-11(b)所示，俯視圖的左、右兩腰分別為圓臺面最左、最右素線的投影，左視圖的上、下兩腰分別為圓臺面最上、最下素線的投影，梯形的兩底分別為兩個底面的積聚性投影。圖3-18圓臺及其三視圖3.3.3球體

1．球面的形成

如圖3-13(c)所示，球面可看做一圓母線圍繞它的直徑回轉(zhuǎn)而成。

2．球體的三視圖

圖3-19(a)所示為一球體的投影情況，圖3-19(b)所示為球體的三視圖。它們都是與球直徑相等的圓，均表示球面的投影。球體的各個投影雖然都是圓，但各個圓的意義卻不相同。主視圖中的圓是平行于V面的圓素線Ⅰ(前、后半球的分界線，球面正面投影可見與不可見的分界線)的投影；按此作類似分析，俯視圖中的圓是平行于H面的圓素線Ⅱ

的投影；左視圖中的圓是平行于W面的圓素線Ⅲ?的投影。這三條圓素線的其他兩面投影都與圓的相應(yīng)中心線重合。圖3-19圓球體及其三視圖(a)圓球體的投影情況；(b)圓球體的三視圖

3．圓球體表面上的點

如圖3-20(a)所示，已知圓球面上點M的水平投影m，求其他兩面投影。

根據(jù)M的位置和可見性，可判定點M在前半球的左上部分，因此點M的三面投影均為可見。

圖3-20圓球體表面上的點作圖應(yīng)采用輔助圓法。即過點M在球面上作一平行于正面的輔助圓(也可作平行于水平面或側(cè)面的圓)。因點在輔助圓上，故點的投影必在輔助圓的同面投影上。

作圖時，先在水平投影中過m作ef

//

OX，ef為輔助圓在水平投影面上的積聚性投影，再畫正面投影為直徑等于ef的圓，由m作OX軸的垂線，其與輔助圓正面投影的交點(因m可見，應(yīng)取上面的交點)即為m'，再由m、m′?求得m"，如圖3-20(b)所示。

4．圓球體的特征

圓球體的形體特征是：它是由過球心任一直徑都相等的球面所圍成的。其三視圖的特征是：三個視圖都是直徑相等的圓。

回轉(zhuǎn)體作為物體的組成部分不都是完整的，也并非總是直立的。多看、多畫些形體不完整、方位多變的幾何體及其三視圖，熟悉它們的形狀，對提高看圖能力非常有益。

為此，下面給出了多種形式的不完整回轉(zhuǎn)體及其三視圖(見圖3-21)，供讀者自行識讀。圖3-21部分不完整回轉(zhuǎn)體及其三視圖3.4.1截交線的幾何性質(zhì)

平面與立體表面相交時會產(chǎn)生表面交線，這種表面交線稱為截交線，這個平面稱為截平面，由截交線所圍成的平面圖形稱為斷面，如圖3-22所示。3.4平面與回轉(zhuǎn)體相交圖3-22截交線的基本概念由于立體的形狀和截平面的位置不同，因此截交線的形狀也各不相同，但它們都具有下面兩個基本性質(zhì)：

(1)共有性。截交線是截平面和立體表面的共有線，故截交線上任一點都是截平面和立體表面的共有點。

(2)封閉性。由于任何立體表面在空間的尺寸是有限的，所以，截交線一般多由封閉的平面曲線或直線所圍成。

平面與回轉(zhuǎn)體相交，截交線一般是由曲線或曲線與直線圍成的一個封閉的平面圖形，當(dāng)投影為非圓曲線時，可以利用表面取點的方法求出截交線上一系列點的投影，再連成光滑的曲線，并判別可見性。首先求出截交線上的全部特殊點，即最高、最低、最左、最右、最前、最后點或轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，當(dāng)連線有困難時，再求出若干個一般點。3.4.2平面與圓柱相交

平面與圓柱相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種不同的形狀，見表3-1。表3-1圓柱體的截交線

【例3-3】求圓柱被截切后(見圖3-23(a))的三視圖。

分析該圓柱為一直立圓柱體，軸線鉛垂，上端切口是用左、右兩個平行于圓柱軸線的對稱的側(cè)平面及兩個垂直于圓柱軸線的水平面截切而成。側(cè)平面與圓柱軸線平行，截斷面為矩形，水平面與軸線垂直，與圓柱表面的截交線都為圓弧，由于它們都分別垂直于相應(yīng)的投影面，因此，圓柱上部切口部分截交線的投影均可用積聚性法求出。

作圖步驟如下：

(1)先畫出完整的圓柱三視圖。

(2)由于截平面分別為側(cè)平面和水平面，圓柱截交線的正面投影都有積聚性，側(cè)平面的水平投影也有積聚性，故應(yīng)按切口部位的尺寸依次畫出正面投影和水平投影，再根據(jù)這兩面投影求出截交線的側(cè)面投影a″b″c″d″，作圖過程如圖3-23(b)所示。圖3-23圓柱切口三視圖的畫法

【例3-4】已知圓柱被平面截切后的主、俯視圖(見圖3-24(a))，補畫其左視圖。

分析

該圓柱體軸線鉛垂放置，上部由正垂面P和側(cè)平面Q所截切而成。截平面P與圓柱體軸線傾斜，截交線為橢圓弧，其正面投影積聚在截平面P的正面投影上，水平投影重合在圓柱面的水平投影圓上，側(cè)面投影為橢圓弧。截平面Q為側(cè)平面，與軸線平行，截切圓柱表面的交線為前后兩段素線，Q平面與頂平面和P面相交的交線為兩段正垂線，其截斷面為矩形。正面投影重合在Q平面的正面投影上，水平投影積聚為直線，側(cè)面投影反映實形。

作圖步驟如下：

(1)求截斷面Q的投影。如圖3-24(b)所示，因為Q為側(cè)平面，水平投影積聚為直線，由此求出水平投影abmn，側(cè)面投影反映實形，根據(jù)上例可求得側(cè)面投影a″b″m″n″。

(2)求正垂面P截圓柱表面的截交線。如圖3-24(c)所示，先求特殊點，在正面投影上確定出A、B、C、D、E的正面投影a′、(b′)、c′、(d′)、e′，由此定出水平投影a、b、c、d、e，按對應(yīng)關(guān)系求出側(cè)面投影a″、b″、c″、d″、e″；再適當(dāng)求幾個一般點，如F、G；按水平投影中的順序光滑連接a″b″d″f″e″g″c″。

(3)完成立體左視圖。如圖3-24(d)所示，因為圓柱的最前、最后素線上部被P平面所截掉，故最前、最后素線的側(cè)面投影以c″d″?為截斷點，僅畫出下部即可。圖3-24補畫被截切圓柱體的左視圖

【例3-5】已知空心圓柱體上部開槽后的主、俯視圖(見圖3-25(a))，補畫其左視圖。

分析由主視圖上部缺口可知，該空心圓柱體被左右對稱的側(cè)平面P和水平面R所截切。側(cè)平面P截切外圓柱表面的截交線為兩段直素線，截切內(nèi)圓柱孔表面的截交線也為兩段直素線，水平投影分別積聚在外圓周和內(nèi)圓周上，側(cè)面投影仍為直線；水平面R截切內(nèi)外圓柱表面的截交線均為水平圓弧，正面投影和側(cè)面投影均為直線，水平投影反映實形。截平面P、R與內(nèi)、外圓柱面截切形式相同，因而內(nèi)、外圓柱面上的截交線形狀相同，只是位置大小不同而已，因此只要先求出截平面與外圓柱面的截交線的投影，內(nèi)圓柱面上的截交線可仿照外圓柱面上截交線的求法，只是位置和大小不同罷了。

作圖步驟如下：

(1)首先畫出未開槽的實心圓柱體的左視圖。

(2)求外圓柱面的截交線。如圖3-25(b)所示，P平面截切實體圓柱截交線的正面投影a′b′、c′d′?重合在P平面的正面投影上，水平投影ab、cd積聚在圓周上，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可求得側(cè)面投影a″b″、c″d″；R平面截切實體圓柱的截交線為前后兩段圓弧，其截斷面為水平面，正面投影積聚為直線，水平投影bdfhgeb反映實形，側(cè)面投影積聚為直線e″b″d″f″?段。

(3)求內(nèi)圓柱面的截交線。如圖3-25(c)所示，P平面截切內(nèi)圓柱面所得截交線的正面投影i′j′、k′m′?重合在P平面的正面投影上，水平投影ij、km積聚在內(nèi)圓柱孔的圓周上，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可求得側(cè)面投影i″j″、k″m″；R平面截切內(nèi)圓柱面的截交線為前后兩段水平圓弧，其水平投影為tq(j)、nr(m)，正面投影為直線(j′)(q′)(t′)、(m′)(r′)(n′)，側(cè)面投影為直線(q″)(j″)、(m″)(r″)段。

(4)由于是空心圓柱，故側(cè)面投影(j″)、(m″)之間無投影，如圖3-25(c)所示。

(5)完成立體的左視圖。由于內(nèi)、外圓柱最前和最后素線的上段已被R平面截去，故最前、最后素線的側(cè)面投影以e″、q″、r″、f″?為界僅畫出下段，如圖3-25(d)所示。圖3-25開槽空心圓柱體的三視圖3.4.3平面與圓錐相交

由于平面與圓錐軸線的相對位置不同，因而平面與圓錐的截交線有五種情況，見表3-2。

【例3-6】求作圓錐被一正垂面截切后(見圖3-26(a))的三視圖。

分析由于截平面與圓錐軸線傾斜，故其截交線為一橢圓。橢圓的正面投影與截平面的正面投影重合，所以只需求出其水平投影和側(cè)面投影。圖3-26求斜切圓錐的三視圖

作圖步驟如下：

(1)求特殊點。橢圓長軸上的兩個端點A、B是截交線上的最低、最高及最左、最右點，也是圓錐前后方向轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，可利用投影關(guān)系由a′、b′?求得a、b和a″、b″；橢圓短軸上兩個端點C、D是截交線上的最前、最后點，其正面投影c′、d′重影于a′b′?的中點，利用緯圓法即可求得c、d和c″、d″。橢圓上E、F點也是左右方向轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，由e′、f′?直接求得e、f和e″、f″。

(2)求一般點。用緯圓法在特殊點之間再求出適量的一般點，如M(m、m″)、N(n、n″?)等。

(3)經(jīng)判別可見性后依次光滑連接各點的水平投影和側(cè)面投影即為所求(e″、f″?以上的轉(zhuǎn)向輪廓線被切去)。

【例3-7】畫出圓錐被正平面截切后(見圖3-27(a))的三視圖。

分析因為截平面為正平面，與圓錐的軸線平行，所以截平面為用直線封閉的雙曲線。其水平投影和側(cè)面投影分別積聚為一直線，只需求出正面投影。圖3-27正平面截切圓錐的截交線

作圖步驟如下：

(1)先畫出圓錐體的三視圖及截交線H、W面的積聚性投影，如圖3-27(b)所示。

(2)求特殊點。點Ⅲ

為最高點，它在最前素線上，故根據(jù)3“?可直接作出3和3‘。點Ⅰ、Ⅴ為最低點，也是最左、最右點，其水平投影1、5在底圓的水平投影上，據(jù)此可求出1′?和5’。

(3)求一般點?？衫幂o助圓法(也可用輔助素線法)，即過正面投影2′?、4′?畫一條與圓錐軸線垂直的水平線，與圓錐最左、最右素線的投影相交，以兩交點之間的長度為直徑，在水平投影中畫一圓，它與截交線的積聚性投影(直線)相交于2和4，據(jù)此求出2‘、4′?及2”、4“。

(4)依次將點1'、2'、3'、4'、5'

連成光滑的曲線，即為截交線的正面投影。3.4.4平面與圓球相交

圓球被任意方向的平面截切時，所得到的截斷面形狀都是圓。當(dāng)截斷平面平行于投影面時，這個圓在該投影面上的投影反映實形。截斷平面至球心的距離越大，被切出圓的直徑越小；反之，圓的直徑越大。

【例3-8】畫出開槽半球體(見圖3-28(a))的三視圖。

分析由于半圓球被兩個對稱的側(cè)平面和一個水平面截切，因此兩個側(cè)平面與球面的截交線各為一段平行于側(cè)面的圓弧，而水平面與球面的截交線為兩段水平的圓弧。

作圖首先畫出完整半圓球的三視圖，再根據(jù)槽寬、槽深尺寸依次畫出截交線的正面、水平和側(cè)面投影，作圖的關(guān)鍵在于確定圓弧半徑R1和R2，具體畫法如圖3-28(b)、(c)所示。

作圖時，應(yīng)注意以下兩點：

(1)因半圓球上平行于W面的圓素線被切去一部分，所以由開槽而產(chǎn)生的輪廓線在側(cè)面的投影向內(nèi)“收縮”，其圓弧半徑如圖3-28(c)所示。顯然，槽越寬，半徑越小；槽越窄，半徑越大。

(2)注意區(qū)分槽底的側(cè)面投影的可見性。圖3-28半球體開槽后截交線的畫法

【例3-9】畫出圖3-29(a)所示同軸回轉(zhuǎn)體的俯視圖。

分析該立體是由同軸線的圓錐和圓柱被水平面P、正垂面Q截切而成的。截平面P與圓錐表面的截交線為雙曲線；與圓柱表面的截交線為直線。截平面Q與圓柱表面的截交線為橢圓。由于正面和側(cè)面投影均有積聚性，只需求作它的水平投影。

作圖步驟如下：

(1)作出該立體截切前的三視圖。

(2)求作左端雙曲線的水平投影。

(3)求作中部兩平行直線的水平投影。

(4)求右端橢圓的水平投影。

(5)不要漏畫平面P與Q交線的水平投影；圓錐與圓柱交線的水平投影在2、3之間為虛線。圖3-29同軸回轉(zhuǎn)體截切(a)立體圖；(b)已知；(c)作圖

看圖提示：

(1)要注意分析截平面的位置。一是分析截平面與被切回轉(zhuǎn)體的相對位置，以確定截交線的形狀(如截平面與圓柱軸線傾斜，其截交線為橢圓；與圓錐軸線垂直，其截交線為圓等)；二是分析截平面與投影面的相對位置，以確定截交線的投影形狀(如球被垂直于投影面的截平面切割，截交線圓在另兩面上的投影則變成了橢圓等)。

(2)當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，應(yīng)先求特殊位置點的投影入手，以確定其投影范圍，再求一般位置點的投影以增加其投影連線的準(zhǔn)確度(除圓柱可利用其投影的積聚性求得外，圓錐和球等則必須用輔助素線法或輔助圓法求得)。

(3)要注意分析回轉(zhuǎn)體輪廓線投影的變化情況(存留輪廓線的投影不要漏畫，被切掉輪廓線的投影不要多畫)。此外，還要注意截交線投影的可見性問題。圖3-30回轉(zhuǎn)截切體的三視圖兩立體相交，其表面上產(chǎn)生的交線稱為相貫線，如圖3-31所示。3.5兩回轉(zhuǎn)體相交圖3-31相貫線實例3.5.1相貫線的幾何性質(zhì)

兩回轉(zhuǎn)體的相貫線有以下性質(zhì)：

(1)由于相交兩立體總有一定大小限制，因此相貫線一般為封閉的空間曲線，如圖3-32(a)所示。特殊情況下可能是不封閉的，如圖3-32(b)所示，也可能是平面曲線或直線，如圖3-32(c)、(d)所示。圖3-32兩回轉(zhuǎn)體的相貫線(a)封閉的空間曲線；(b)不封閉的空間曲線；(c)封閉的平面曲線；(d)直線段(2)由于相貫線是兩立體表面的交線，故相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是立體表面上的共有點。求畫相貫線的實質(zhì)就是要求出兩立體表面一系列的共有點。常采用以下方法：立體表面取點法、輔助平面法和輔助球面法，這里只介紹前兩種方法。3.5.2用表面取點法求相貫線

當(dāng)圓柱的軸線垂直于某一投影面時，圓柱面在這個投影面上的投影具有積聚性，因而相貫線的投影與其重合，根據(jù)這個投影，就可用表面取點法求出其他投影。

1．兩圓柱軸線垂直相交時的相貫線

【例3-10】求作兩圓柱正交(見圖3-33(a))的相貫線。圖3-33兩圓柱軸線正交相貫線的畫法

分析由圖3-33(a)可知，這是兩個直徑不同，軸線垂直的圓柱相交，相貫線為一封閉的空間曲線。大圓柱的軸線垂直于水平面，小圓柱的軸線垂直于側(cè)面，所以相貫線的水平投影和大圓柱面的水平投影重合，為一段圓?。幌嘭灳€的側(cè)面投影和小圓柱面的側(cè)面投影重合，為一個圓，求作的是相貫線的正面投影。

作圖步驟如下：

(1)求特殊點。相貫線上的特殊點主要是轉(zhuǎn)向輪廓線上的共有點和極限位置點。如圖3-33(b)所示，小圓柱與大圓柱的正面輪廓線交點1‘、3’?是相貫線上的最高、最低(也是最左)點，其投影可直接定出；小圓柱的水平輪廓線與大圓柱面的交點2、4是相貫線上的最前、最后(也是最右)點。由已知投影1、2、(3)、4和1″、2″、3“、4”，求得1′、2‘、3’、(4')。

(2)求一般點。在小圓柱的側(cè)面投影中取5″、6″，根據(jù)“寬相等”求出水平投影5、(6)，然后作出5′、6′。

(3)順次光滑連接，判別可見性。根據(jù)具有積聚性投影的順序，依次光滑連接各點的正面投影，即完成作圖。由于相貫線前后對稱，因而其正面投影虛實線重合(見圖3-33(c))。

2．兩圓柱垂直相交，當(dāng)其直徑大小變化時對相貫線的影響

兩圓柱垂直相交時，相貫線的形狀取決于它們直徑的相對大小和軸線的相對位置。圖3-34表示相交兩圓柱的直徑相對變化，相貫線的形狀和位置也隨之變化。圖3-34