2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專項練-小題滿分練1-專項訓(xùn)練【含答案】

小題滿分練1一、單項選擇題1．(2023·永州模擬)已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，則集合B等于()A．{0,1} B．{0,2}C．{1,2} D．{1}答案A解析已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，∴1∈B,0∈B,2?B，則集合B＝{0,1}．2．“a＝0且b＝1”是“復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若a＝0且b＝1，則復(fù)數(shù)z＝a＋bi＝i是純虛數(shù)，故充分性成立；若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)，則a＝0且b≠0，故必要性不成立，故“a＝0且b＝1”是“復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的充分不必要條件．3．(2023·山東省實驗中學(xué)模擬)某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如圖所示的等高條形圖．根據(jù)圖中(35歲以上含35歲)的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是()A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多D．35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高答案C解析由等高條形圖可得，對于A，由圖1知，樣本中男性人數(shù)多于女性人數(shù)，從而男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；對于B，由圖2知，女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；對于C，由圖1知，男性人數(shù)多于女性人數(shù)，由圖2知，35歲以下的男性占男性人數(shù)的比例比35歲以上的女性占女性人數(shù)的比例少，無法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；對于D，由圖2知，樣本中35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確．4．(2023·南昌模擬)將函數(shù)f(x)＝2sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到偶函數(shù)g(x)的圖象，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．2D．－2答案A解析將f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)＋φ))的圖象，因為g(x)為偶函數(shù)，且0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sin

eq\f(π,3)＝eq\r(3).5．(2023·阜陽模擬)從裝有6個白球、2個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球．若每取出1個紅球得2分，每取出1個白球得1分．按照規(guī)則從容器中任意抽取2個球，所得分數(shù)的均值為()A.eq\f(5,2)B．3C.eq\f(10,3)D.eq\f(7,2)答案A解析設(shè)得分為X，根據(jù)題意知X的所有可能取值為4,3,2.則P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(1,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6),C\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，則X的分布列為X432Peq\f(1,28)eq\f(3,7)eq\f(15,28)故所得分數(shù)的均值為E(X)＝4×eq\f(1,28)＋3×eq\f(3,7)＋2×eq\f(15,28)＝eq\f(5,2).6.某學(xué)校手工興趣小組制作一個陀螺，如圖，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱．已知總高度為10cm，圓柱與圓錐的高之比為黃金比(黃金比又稱黃金律，即較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1∶0.618)，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其圓柱底面的面積最大處為15cm2，則此陀螺總質(zhì)量約為()A．111.8g B．110gC．90g D．88g答案D解析設(shè)圓柱部分的高為hcm，則圓錐部分的高約為0.618hcm，依題意，1.618h＝10，解得h＝eq\f(10,1.618)，設(shè)陀螺的體積為Vcm3，因為圓柱底面的面積最大處為15cm2，則陀螺的質(zhì)量為0.8V，而0.8V<0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15h＋\f(1,3)×15×0.618h))＝0.8×18.09×eq\f(10,1.618)≈89.444，則陀螺質(zhì)量應(yīng)小于89.444g.7．已知雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，且|F2A|＝|F2B|，則|F1A|等于()A.eq\r(14)－eq\r(3) B.eq\r(14)＋eq\r(3)C.eq\r(14)－2eq\r(3) D.eq\r(14)＋2eq\r(3)答案C解析因為雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，則a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，過F2作F2C⊥AB交AB于點C(圖略)，因為|F2A|＝|F2B|，所以C為AB中點，設(shè)|F2A|＝|F2B|＝t，由雙曲線的定義可得|F1A|＝t－2eq\r(3)，|F1B|＝t＋2eq\r(3)，所以|AB|＝|F1B|－|F1A|＝4eq\r(3)，故cos∠F1BF2＝eq\f(|CB|,|F2B|)＝eq\f(2\r(3),t)＝eq\f(t＋2\r(3)2＋t2－16,2tt＋2\r(3))，解得t＝eq\r(14)，所以|F1A|＝eq\r(14)－2eq\r(3).8．已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則eq\i\su(k＝1,22,)f(k)等于()A．－21B．－22C．－23D．－24答案D解析因為y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋fx－2]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因為f(x)＋g(2－x)＝5，聯(lián)立得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關(guān)于點(3,6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)的定義域為R，所以g(3)＝6，因為f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以eq\i\su(k＝1,22,)f(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.二、多項選擇題9．(2023·山東省實驗中學(xué)模擬)下列說法正確的是()A．(a＋b)·c＝a·c＋b·cB．非零向量a和b，滿足|a|<|b|且a和b同向，則a<bC．非零向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a⊥bD．已知a＝(2，eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，則a在b上的投影向量的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5\r(3),2)))答案AC解析對于A，根據(jù)數(shù)量積的運算律可知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故A正確；對于B，向量不可以比較大小，故B錯誤；對于C，非零向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，則a⊥b，故C正確；對于D，因為a＝(2，eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，所以a·b＝1×2＋eq\r(3)×eq\r(3)＝5，|b|＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以a在b上的投影向量的坐標為|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝eq\f(a·b,|b|)×eq\f(b,|b|)＝eq\f(5,2)×eq\f(1,2)(1，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5\r(3),4)))，故D錯誤．10．(2023·六盤水模擬)現(xiàn)有來自某校高三年級的3袋專項計劃審查表，第1袋有4個男生和2名女生的高校專項審查表，第2袋有5名男生和3名女生的國家專項審查表，第3袋有3名男生和2名女生的地方專項審查表．現(xiàn)從3袋中隨機選擇1袋，再從中隨機抽取1份審查表，設(shè)Ai＝“抽到第i袋(i＝1,2,3)”，B＝“隨機抽取1份，抽到女生的審查表”，則()A．P(A1)＝P(A2)＝P(A3)B．P(B|A1)＝eq\f(2,3)C．P(A2B)＝eq\f(1,8)D．P(B)＝eq\f(133,360)答案ACD解析選項A，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝eq\f(1,3)，故A正確；選項B，因為P(B|A1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，故B錯誤；選項C，因為P(B|A2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))＝eq\f(3,8)，所以P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,8)＝eq\f(1,8)，故C正確；選項D，因為P(B|A1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，P(B|A2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,8))＝eq\f(3,8)，P(B|A3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(3,8)＋\f(2,5)))＝eq\f(133,360)，故D正確．11．(2023·武漢模擬)如圖，在四邊形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1.下面有兩種折疊方法將四邊形ABCD折成三棱錐．折法①：將△ACD沿著AC折起，得到三棱錐D1－ABC，如圖1.折法②：將△ABD沿著BD折起，得到三棱錐A1－BCD，如圖2.下列說法正確的是()A．按照折法①，三棱錐D1－ABC的外接球表面積恒為4πB．按照折法①，存在D1滿足AB⊥CD1C．按照折法②，三棱錐A1－BCD體積的最大值為eq\f(\r(3),8)D．按照折法②，存在A1滿足A1C⊥平面A1BD，且此時BC與平面A1BD所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3)答案ACD解析由題意知AC＝2，BC＝eq\r(3)，如圖1，取AC的中點O，連接OB，OD1，由于△ACD和△ABC是全等的直角三角形，故OA＝OC＝OD1＝OB，故在折法①的折疊過程中，三棱錐D1－ABC的外接球的球心為O，半徑為1，故該球的表面積恒為4π，故A正確；按照折法①，在折起過程中，點D1在平面ABC內(nèi)的投影D′1在線段BD(不包括端點)上，而線段BD(不包括端點)上不存在D′1使得CD′1⊥AB，故不存在D1滿足AB⊥CD1，故B錯誤；按照折法②，如圖2，取BD的中點H，連接A1H，A1H＝eq\f(1,2)，當平面A1BD⊥平面BCD時，三棱錐A1－BCD體積取得最大值，此時體積V＝eq\f(1,3)A1H·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)，故C正確；當A1C＝eq\r(2)時，A1C2＋A1B2＝BC2，A1C2＋A1D2＝CD2，故此時A1C⊥A1B，A1C⊥A1D，又因為A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D?平面A1BD，故A1C⊥平面A1BD，故∠A1BC為BC與平面A1BD所成的角，則sin∠A1BC＝eq\f(A1C,BC)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故D正確．12．(2023·長沙模擬)數(shù)列{an}滿足，a1＝a,2an＋1－anan＋1＝1，則()A．數(shù)列{an}可能為常數(shù)列B．當a＝0時，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))的前10項和為－55C．當a＝eq\f(13,11)時，數(shù)列{an}的最小值為eq\f(1,3)D．若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則a<1答案ABD解析由2an＋1－anan＋1＝1，得an＋1(2－an)＝1，當a1＝a＝1時，an＝1，為常數(shù)列，故A正確；eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(1,2－an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(2－an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝－1，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))為等差數(shù)列，當a＝0時，eq\f(1,an－1)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))的前10項和為－1－2－3－…－10＝－55，故B正確；由B知，當a＝eq\f(13,11)時，eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(13,11)－1)＋(n－1)×(－1)＝eq\f(13,2)－n，故an＝1＋eq\f(1,\f(13,2)－n)，數(shù)列{an}的最小值為a7＝－1，故C錯誤；eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,a－1)＋(n－1)×(－1)＝eq\f(a,a－1)－n，故an＝1＋eq\f(1,\f(a,a－1)－n)＝1－eq\f(1,n－\f(a,a－1))，當{an}為遞增數(shù)列時，有eq\f(a,a－1)<1，∴a<1，故D正確．三、填空題13．(2023·廣東省大灣區(qū)模擬)若數(shù)列{an}滿足an＋1>an且Sn＋1<Sn，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和．請寫出一個滿足上述條件的數(shù)列的通項公式an＝________.答案(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1(答案不唯一)解析根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足Sn＋1<Sn，則有an＋1＝Sn＋1－Sn<0，又由數(shù)列{an}滿足an＋1>an，故數(shù)列{an}是各項為負的遞增數(shù)列，其通項公式可以為an＝(－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.14．(2023·唐山模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為eq\r(3)的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為________．答案eq\f(4\r(3),3)解析由拋物線方程知焦點F(1,0)，則直線l：y＝eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，又坐標原點O到直線l的距離d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).15．(2023·鹽城中學(xué)模擬)某校組織羽毛球比賽，每場比賽采用五局三勝制(每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽)，兩人第一局獲勝的概率均為eq\f(1,2)，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為eq\f(1＋p,2)，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為eq\f(1－p,2)，且一方第一局、第二局連勝的概率為eq\f(5,16)，則p＝________；打完4場結(jié)束比賽的概率為________．答案eq\f(1,4)eq\f(165,512)解析令事件Ai為一方在第i局獲勝，i＝1,2,3，則連勝兩局的概率P(A1A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1＋p,2)＝eq\f(5,16)，解得p＝eq\f(1,4)，若打完4場結(jié)束比賽，則需一方以3∶1獲勝，因此第4場必須是勝，前3場勝2場即可，其中一方在第1,2,4場獲勝的概率P1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(3,8)×eq\f(3,8)＝eq\f(45,1024)，其中一方在第1,3,4場獲勝的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,8)×eq\f(3,8)×eq\f(5,8)＝eq\f(45,102