廣西桂林市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

桂林市2023～2024學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.把弧度化成角度是（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，則（）A2 B. C. D.4.已知平面，和直線，，且，，，則與的位置關(guān)系是（）A.平行或異面 B.平行 C.異面 D.相交5.已知，且為第二象限角，則（）A. B. C. D.6.已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為4，頂點(diǎn)與底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.7.“桂林山水甲天下”，如圖，為測(cè)量桂林市某公園內(nèi)一山的高，選擇公園內(nèi)某點(diǎn)和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得的仰角，點(diǎn)的仰角以及，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高（）．A. B. C. D.8.已知圓心角為的扇形的半徑為1，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)、是線段上的兩點(diǎn)，且四邊形為矩形，則該矩形的最大面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的有（）A B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱10.函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（）AB.C.D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變）得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱11.如圖，向透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水是定量的（定體積為）．固定容器底面一邊于地面上，，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.水面所在四邊形的面積為定值B.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形C.棱一定與平面平行D當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，（定值）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.計(jì)算_________（其中為虛數(shù)單位）．13.在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為_________．14.已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知向量，.（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求的值.16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求的最大值以及取得最大值時(shí)的集合．（3）求的單調(diào)遞減區(qū)間．17.已知正方體的棱長(zhǎng)為2．（1）證明：．（2）求三棱錐的體積．18.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．19.如圖，已知直線，是，之間的一點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，，（，為常數(shù)），點(diǎn)、分別為直線、上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè).（1）若，求的面積；（2）當(dāng)恰好中點(diǎn)時(shí)，求的周長(zhǎng)的最小值.桂林市2023～2024學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由坐標(biāo)判斷象限即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限.故選：B2.把弧度化成角度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.3.已知向量，，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將向量坐標(biāo)代入等式，列出方程，求解即得.【詳解】由可得，解得，.故選：B.4.已知平面，和直線，，且，，，則與的位置關(guān)系是（）A.平行或異面 B.平行 C.異面 D.相交【答案】A【解析】【分析】結(jié)合兩平面平行的位置關(guān)系，判斷兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)即得.【詳解】因，，，則與沒(méi)有公共點(diǎn)，即與平行或異面.故選：A.5.已知，且為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?又因?yàn)?所以.故選：C.6.已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為4，頂點(diǎn)與底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得球的半徑，再由球的表面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的表面積為，故選：A.7.“桂林山水甲天下”，如圖，為測(cè)量桂林市某公園內(nèi)一山的高，選擇公園內(nèi)某點(diǎn)和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得的仰角，點(diǎn)的仰角以及，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由條件求得長(zhǎng)，再利用正弦定理求得長(zhǎng)，最后在中求得.【詳解】在中，由可得；在中，由正弦定理，,即得，中，,則.故選：B.8.已知圓心角為的扇形的半徑為1，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)、是線段上的兩點(diǎn)，且四邊形為矩形，則該矩形的最大面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形，設(shè)，將，用的三角函數(shù)式表示，利用三角恒等變換將矩形面積化成，利用的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可求得其最大值.【詳解】如圖，設(shè)，則，，由正弦定理，，解得，故矩形的面積為：，因，則得，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱【答案】AB【解析】【分析】分別應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法法則和復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（）AB.C.D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變）得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由圖易得；對(duì)于B，利用周期公式即可求得；對(duì)于C，代入特殊點(diǎn)計(jì)算即得；對(duì)于D，利用平移變換求得函數(shù)式，再利用函數(shù)奇偶性即可判定.【詳解】對(duì)于A，因，由圖知，故A正確；對(duì)于B，設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由圖知,解得,則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則得，解得，因，故得，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)為:，不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，向透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水是定量的（定體積為）．固定容器底面一邊于地面上，，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.水面所在四邊形面積為定值B.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形C.棱一定與平面平行D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，（定值）【答案】BCD【解析】【分析】畫出隨著傾斜度得到的圖形，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及棱柱的定義判斷A，B，C，再根據(jù)柱體的體積公式判斷D.【詳解】依題意將容器傾斜，隨著傾斜度的不同可得如下三種情形，對(duì)于A：水面是矩形，線段的長(zhǎng)一定，從圖1到圖2，再到圖3的過(guò)程中，線段長(zhǎng)逐漸增大，則水面所在四邊形的面積逐漸增大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：依題意，水面，而平面平面，平面，則，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的幾何體是直棱柱，長(zhǎng)方體去掉有水部分的棱柱，沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋矫?，平面，因此平面，即棱一定與平面平行，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)容器傾斜如圖3所示時(shí)，有水部分的幾何體是直三棱柱，其高為，體積為，又，，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.計(jì)算_________（其中為虛數(shù)單位）．【答案】##【解析】【分析】把復(fù)數(shù)應(yīng)用乘法化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為：13.在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為_________．【答案】##【解析】【分析】利用平移得到異面直線所成角，借助于直角三角形求解即得.【詳解】在正方體中，因,故直線與所成角即直線與所成角，即.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，于是,即直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得，設(shè)，且，整理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，即，可得，因?yàn)椋?，整理可得，且不共線，則，解得，即，，又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），設(shè)，且，可得，則，可得，可得，且，可得，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得；2.根據(jù)三角形可設(shè)，且，用表示，即可得結(jié)果.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知向量，.（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積即可求得結(jié)果.（2）利用兩向量垂直的條件即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，，所以，，，設(shè)向量與的夾角為，則.【小問(wèn)2詳解】若向量與互相垂直，則，所以.16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求的最大值以及取得最大值時(shí)的集合．（3）求的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）；（2）最大值為3，；（3），.【解析】【分析】（1）利用周期公式計(jì)算即得；（2）將看成整體角，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求得；（3）將看成整體角，結(jié)合余弦函數(shù)的遞減區(qū)間，計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】，故的最小正周期為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，，得，即最大值為3．則的最大值為，取得最大值時(shí)的集合為；【小問(wèn)3詳解】由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.17.已知正方體的棱長(zhǎng)為2．（1）證明：．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證平面，則可得；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化即可求得.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，，平面，平面，．又，、平面，平面．又平面，．【小問(wèn)2詳解】正方體中，平面，.18.在中，角對(duì)邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊化角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，即．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】．因?yàn)?，所以①．因?yàn)?，所以②．?lián)立①②可得，解得（負(fù)根舍去）