初升高數(shù)學最值垂線段最值 +三邊關系最值【學生版】

單一線段最值

目標層級圖

一,“垂線段最短問題”

模型(一)模型(-)

例1.如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P為直線AB上一動點，連

接PC,則線段PC的最小值是

例2.如圖，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一點P在AC上移動，則AP+BP+CP

的最小值為.

例3.如圖，0C平分NA08,點P是0C上一點，PMJ_08于點M,點N是射線0A上的

一個動點若0M=4,OP=5,則PN的最小值為

0VB

2

例4.在銳角三角形ABC中，BC=3>/2,ZABC=45°,BD平分NABC,M、N分別是BD、

BC上的動點，則CM十MN最小值是

過關檢測

1.如圖，RSABC中，AC=3,AB=5,D為直線AB（與A、B可重合）上一動點，連接

CD,則線段CD的最小值是,線段CD取值范圍。

2.如圖，在AACB中，有一點P在AC上移動，若AB=AC=5,BC=6,則AP+BP+CP的最

小值為.

3.如圖，在RSA5C中，AB=6,ZBAC=30%N84C的平分線交8c于點O,E,尸分別

是線段AD和AB上的動點，則BE+EF的最小值是,

C

3

其他“垂線段最短問題”

例1.如圖，直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點。是AB上的一個動點,

過點。作DE±AC于七點,DFLBC于F點，連接E凡則線段EF長的最小值為

例2.如圖，矩形ABCD中，BC=IO,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、

N,使BM+MN的值最小，求這個最小值

過關檢測

1.如圖，在RS4BC中，ZBAC=90°,且BA=3,AC=4,點O是斜邊BC上的一個動點，

過點D分別作OM_LA8于點M.OML4C于點N,連接MN,則線段MN的最小值為

2.如圖，矩形ABCD中，ZBAC=30\BC=12,若在AB、AC上各取一點N、M,使得

BM+MN的值最小，這個最小值為.

4

3.在已知等腰△ABC,AB=AC,BC=4,BC邊上高為3,作內(nèi)接矩形DEFG,使一邊EF在邊

BC上，另外兩個頂點D,G分別在邊AB,AC上，則對角線EG長最小值為

二.三邊關系解決最值問題

1.三角形的三邊關系:兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.|a?b&工a+b,當A,B,C三點

共線時,c最小值=|a?b|,c最大值=a+b.利用三角形的三邊關系可以巧解幾何最值問題.

例1.閱讀與理解：圖1是邊長分別為6和2的兩個等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C

與C重合）的圖形.

旋轉(zhuǎn)aCDE,請你猜想當a為多少度時，線段AD的長度最大是多少？當a為多少度時，線段

AD的長度最小是多少？

例2.如圖，在邊長為2的正方形中，?是的中點，F(xiàn)是4）邊上的一個動點，將

沿所所在直線折疊得到AGE/L連接GC,則GC長度的最小值是.

5

例3.如圖，NMON=90,矩形A8CD的頂點AB分別在邊QW,QV上，當B在邊ON上

運動時，A隨之在OM上運動，矩形45C3的形狀保持不變，其中AB=4,BC=2,運動

過程中點D到點。的最大距離是.

過關檢測

1.如圖(1),已知是等腰直角三角形，NB4C=90。，點。是3c的中點.作正方形

DEFG,使點4、C分別在OG和上，連接AE、BG.

(1)若BC=DE=m,正方形DEFG繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<360°)過程

中，當AE為最大值時，求A/為值.

6

2.如圖，△"（：、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點。是邊8C、EF的中點，直線AG、

FC相交于點M.當AEFG繞點。旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最大值是

3.如圖，在邊長為2的菱形43。中，ZA=60°,M是4力邊的中點，N是AB邊上一

動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到ZVlMN,連接AC,則4C長度的最小值是

4.如圖，NMON=90,邊長為2的等邊三角形A8C的頂點A8分別在邊上當5在

邊OV上運動時，A隨之在邊0M上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C

到點。的最大距離為.

5.如圖，AABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動點，BE_LAD于E,則CE的

最小值為___________

7

學習任務

1.如圖，矩形ABCD中，N84C=30'，BC=8,若在AB、AC上各取一點N、M,使得BM+MN

的值最小，這個最小值為.

2.如圖，AABC中，AC=3>/2,BC=5,AB=7,有一點P在AC上移動，則AP+BP+CP的

最小值為.

3.（2020?成都模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=3,8c=4,點E是A邊上一點，且AE=G,

點尸是邊8c上的任意一點，把ME廠沿所翻折，點8的對應點為G,連接AG,CG,

則四邊形AGCD的面積的最小值為

4.如圖，AABC中，AB=BC=AC=10,D是AB邊上的動點，E是AC邊的中點，將AADE

沿DE翻折得到△ADE,連接BA',則BA，的最小值是.

8

5.如圖E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE二DF,連接CF交BD于G,

連接BE交AG于點H,若正方形的邊長為2,則線段DH的最小值是.

6.如圖，在△ABC中，ZACB=9C°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點（不與點B重合）,

將4BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B9P,連接B，A,則B，A長度的最小值

是.

7.如圖，在矩形A