2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試專題強(qiáng)化練十二微專題1概率與統(tǒng)計中的簡單計算

專題強(qiáng)化練（十二）微專題1概率與統(tǒng)計中的簡單計算[小題標(biāo)準(zhǔn)練]1．某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均相等，若在三次射擊中，至少有一次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(63,64)，則射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為(B)A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4) C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)解析：設(shè)該運(yùn)動員射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為p，則該運(yùn)動員三次射擊中，至少有一次擊中目標(biāo)的概率為1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，解得p＝eq\f(3,4).故選B.2．(2024·泰安二模)已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，且P(1.5≤X<2)＝0.36，則P(X>2.5)＝(A)A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86解析：由題意知，P(1.5≤X<2)＝0.36，所以P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝0.5－P(2<X≤2.5)＝0.14.3．(2024·德陽二模)某校秋季運(yùn)動會中A，B兩班的各個單項(xiàng)得分(滿分5分，分值高者為優(yōu))的雷達(dá)圖如圖所示，則下列說法錯誤的是(B)A.在200米項(xiàng)目中，A班的得分比B班的得分高B．在鉛球項(xiàng)目中，A班的得分比B班的得分高C．在跳高項(xiàng)目中，B班的得分比A班的得分高D．B班的總分比A班的總分高解析：對于A，在200米項(xiàng)目中，A班的得分為4分，B班的得分為3分，A班得分比B班高，A正確；對于B，在鉛球項(xiàng)目中，A班的得分為3分，B班的得分為4分，A班得分比B班低，B錯誤；對于C，在跳高項(xiàng)目中，B班的得分為4分，A班的得分為3分，B班得分比A班高，C正確；對于D，B班的總分為5＋3＋4＋5＋3＋4＝24(分)，A班的總分為4＋4＋3＋5＋4＋3＝23(分)，即B班的總分比A班的總分高，D正確．4．已知事件A，B滿足P(A|B)＝0.7，P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.3，則(C)A．P(A∩B)＝0.3B．P(B|A)＝0.3C．事件A，B相互獨(dú)立D．事件A，B互斥解析：由題知P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝0.7＝P(A|B)，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即事件A，B相互獨(dú)立，同一試驗(yàn)中不互斥，而P(B)未知，無法確定P(A∩B)，P(B|A).故選C.5．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)分布情況如圖1所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視情況，衛(wèi)生部門根據(jù)當(dāng)?shù)刂行W(xué)生人數(shù)，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如圖2所示，則估計該地區(qū)中小學(xué)生的平均近視率為(D)A．50% B．32%C．30% D．27%解析：根據(jù)題意，抽取的樣本容量為(3500＋4500＋2000)×10%＝1000，其中小學(xué)生、初中生、高中生抽取人數(shù)分別為350，450，200，根據(jù)題圖2知抽取的小學(xué)生、初中生、高中生中，近視的人數(shù)分別為35，135，100，所以該地區(qū)學(xué)生的平均近視率為eq\f(35＋135＋100,1000)×100%＝27%.故選D.6．先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A＝“x＋y為奇數(shù)”，事件B＝“x，y滿足x＋y<6”，則P(B|A)＝(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3) C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)解析：用(x，y)表示第1次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為x，第2次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為y，擲兩次骰子，樣本點(diǎn)的個數(shù)為6×6＝36，因?yàn)槭录嗀＝“x＋y為奇數(shù)”，事件B＝“x，y滿足x＋y<6”，記事件C＝“x＋y為奇數(shù)，且x＋y<6”，所以事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為3×3×2＝18，事件C包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為3×2＝6，根據(jù)古典概型概率公式，知P(A)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，P(C)＝P(AB)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由條件概率公式，知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3)，故選B.7．(2024·廣州模擬)已知一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同．現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個球，記事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k＝1，2，3，4，5，則下列結(jié)論錯誤的是(C)A．P(A1A2)＝eq\f(3,10) B．P(A1∪A2)＝eq\f(9,10)C．P(A2|A1)＝eq\f(1,3) D．P(A3)＝eq\f(3,5)解析：由題得，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個數(shù)是Aeq\o\al(5,5)，它們等可能，對于A，A1A2表示第1次、第2次取出的球都是黑球，P(A1A2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,10)，A正確；對于B，P(A1)＝P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,5)，P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝eq\f(9,10)，B正確；對于C，P(A2|A1)＝eq\f(P（A1A2）,P（A1）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，C錯誤；對于D，P(A3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(3,5)，D正確．8．(2024·重慶模擬)已知甲、乙、丙三個地區(qū)分別有x%，y%，z%的人患流感，且x，y，z構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5∶3∶2，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，在此人患流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則x的可能取值為(D)A．1.12 B．1.35C．1.48 D．2.58解析：設(shè)事件D1，D2，D3分別表示此人來自甲、乙、丙地區(qū)，事件F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3表示此人患流感，且分別來自甲、乙、丙地區(qū)，事件G表示此人患流感．由題可知，P(F1)＝eq\f(5x,1000)，P(F2)＝eq\f(3y,1000)＝eq\f(3x＋3,1000)，P(F3)＝eq\f(2z,1000)＝eq\f(2x＋4,1000)，P(G)＝P(F1)＋P(F2)＋P(F3)＝eq\f(10x＋7,1000)，由條件概率公式可得P(D1|G)＝eq\f(P（D1G）,P（G）)＝eq\f(P（F1）,P（G）)＝eq\f(5x,10x＋7)，P(D2|G)＝eq\f(P（D2G）,P（G）)＝eq\f(P（F2）,P（G）)＝eq\f(3x＋3,10x＋7)，P(D3|G)＝eq\f(P（D3G）,P（G）)＝eq\f(P（F3）,P（G）)＝eq\f(2x＋4,10x＋7)，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（D1|G）≥P（D2|G），,P（D1|G）≥P（D3|G），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x≥3x＋3，,5x≥2x＋4，))解得x≥eq\f(3,2).結(jié)合選項(xiàng)知，D符合題意．9．(多選)(2024·廣州調(diào)研)已知eq\o(A,\s\up10(－))，eq\o(B,\s\up10(－))分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論中正確的是(ABD)A．P(A)＋P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝1B．P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))|B)＝1C．若A，B互斥，則P(AB)＝P(A)P(B)D．若A，B獨(dú)立，則P(A|B)＝P(A)解析：對立事件的概率之和為1，故A選項(xiàng)正確；記Ω為樣本空間，則P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))|B)＝P(Ω|B)＝1，故B選項(xiàng)正確；由于A，B互斥，所以P(AB)＝0，故C選項(xiàng)錯誤；因?yàn)锳，B獨(dú)立，事件B的發(fā)生對事件A是否發(fā)生沒有影響，所以P(A|B)＝P(A)，故D選項(xiàng)正確．故選ABD.10．(多選)暑假期間，某學(xué)校發(fā)起了“暢讀經(jīng)典，浸潤書香”活動，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該校共有1200名學(xué)生，所有學(xué)生每天的讀書時間均在20分鐘到100分鐘之間，他們的日閱讀時間的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(ACD)A．該校學(xué)生日閱讀時間的眾數(shù)約為70B．該校學(xué)生日閱讀時間不低于60分鐘的人數(shù)約為360C．該校學(xué)生日閱讀時間的第50百分位數(shù)約為65D．該校學(xué)生日閱讀時間的平均數(shù)約為64解析：由題圖可知，[60，80)這一組的小矩形最高，所以眾數(shù)約為70，故A正確；日閱讀時間不低于60分鐘的頻率為(0.020＋0.010)×20＝0.6，所以該校學(xué)生日閱讀時間不低于60分鐘的人數(shù)約為1200×0.6＝720，故B錯誤；第50百分位數(shù)即中位數(shù)，前兩組的頻率分別為0.005×20＝0.1，0.015×20＝0.3，因?yàn)?.1＋0.3＝0.4<0.5，所以中位數(shù)在[60，80)這一組，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－60)×0.020＝0.5－0.4，解得x＝65，即第50百分位數(shù)約為65，故C正確；該校學(xué)生日閱讀時間的平均數(shù)約為(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，故D正確．故選ACD.11．(多選)(2024·江蘇一模)有n(n∈N*，n≥10)個編號分別為1，2，3，…，n的盒子，1號盒子中有2個白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球．現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子……以此類推，記“從i號盒子取出的球是白球”為事件Ai(i＝1，2，3，…，n)，則(BC)A．P(A1A2)＝eq\f(1,3) B．P(A1|A2)＝eq\f(4,5)C．P(A1∪A2)＝eq\f(7,9) D．P(A10)＝eq\f(1,2)解析：對于A，P(A1A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，所以A錯誤；對于B，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，故P(A1|A2)＝eq\f(P（A1A2）,P（A2）)＝eq\f(4,5)，所以B正確；對于C，P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(5,9)－eq\f(4,9)＝eq\f(7,9)，所以C正確；對于D，由題意，P(An)＝eq\f(2,3)P(An－1)＋eq\f(1,3)(1－P(An－1))，n≥2且n∈N*，所以P(An)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)(P(An－1)－eq\f(1,2))，又P(A1)＝eq\f(2,3)，P(A1)－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以P(An)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,3))n－1＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,3))n，所以P(An)＝eq\f(1,2)·(1＋eq\f(1,3n))，則P(A10)＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,310))，所以D錯誤．12．如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的80%分位數(shù)為________．解析：因?yàn)?0.016＋0.030)×10＝0.460<0.8，(0.016＋0.030＋0.040)×10＝0.860>0.8，所以80%分位數(shù)位于[70，80)中，設(shè)80%分位數(shù)為x，則0.460＋(x－70)×0.040＝0.8，解得x＝78.5.答案：78.513．已知一個數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生，3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會，在已選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為________．解析：設(shè)事件A表示“已選出的2名中至少有1名男生”，事件B表示“已選出的2名中有1名女生”，所以在已選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，而P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，所以P(B|A)＝eq\f(6,7).答案：eq\f(6,7)14．某品牌手機(jī)的電池使用壽命X(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命多于9年的概率為0.1，則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．解析：由題意知P(X≥1)＝0.9，P(X>9)＝0.1，所以P(X<1)＝1－0.9＝0.1＝P(X>9)，所以正態(tài)曲線的對稱軸為直線x＝eq\f(1＋9,2)＝5.因?yàn)镻(1≤X≤9)＝0.9－0.1＝0.8，所以P(5≤X≤9)＝eq\f(0.8,2)＝0.4，即該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4.答案：0.4[小題提升練]15．(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)(ABD)A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率解析：由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1－α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1－β.對于A，發(fā)1收1的概率為1－β，發(fā)0收0的概率為1－α，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A正確；對于B，相當(dāng)于發(fā)了1，1，1，收到1，0，1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確；對于C，相當(dāng)于發(fā)了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，則概率為Ceq\o\al(2,3)β(1－β)2＋Ceq\o\al(3,3)(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正確；對于D，發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當(dāng)于發(fā)0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，則此方案的概率為P1＝Ceq\o\al(2,3)α(1－α)2＋Ceq\o\al(3,3)(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為P2＝1－α.當(dāng)0＜α＜0.5時，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)＞0，故D正確．故選ABD.16．(2024·全國甲卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個球，設(shè)m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于eq\f(1,2)的概率為________．解析：設(shè)3次取出的球上的數(shù)字依次為a，b，c，則無放回地隨機(jī)取3次球的取法有Aeq\o\al(3,6