2025年新高考藝術生數學突破講義專題05一元二次不等式與其他常見不等式的解法

專題05一元二次不等式與其他常見不等式的解法【知識點梳理】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當時，二次函數圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【方法技巧與總結】1、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．2、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．3、已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【典型例題】例1．（2024·全國·高三專題練習）若實數滿足不等式，則的取值范圍是.【答案】【解析】不等式，即，解得，則的取值范圍是.故答案為：.例2．（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為．【答案】或【解析】根據分式不等式解法可知等價于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故答案為：或例3．（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以轉化為：，當時，可知，對應的方程的兩根為1，，根據一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.故選：A.例4．（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.例5．（2024·廣東·高三學業(yè)考試）若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，是方程的兩個根，且，則，解得，所以.故選：D.例6．（2024·全國·高三專題練習）關于的一元二次方程有兩個不相等的正實數根，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．且【答案】B【解析】根據題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B例7．（2024·全國·高三專題練習）已知一元二次方程的兩根都在內，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，由題意可得，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：B.例8．（2024·全國·高三專題練習）已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】結合圖像易知，不等式的解集，故選：A.例9．（2024·吉林通化·高三?？茧A段練習）若不等式對任意實數x均成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，不等式對任意實數x均成立，即不等式恒成立，當時，不等式可化為恒成立，當時，，解得，綜上所述，的取值范圍是.故選：B例10．（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）若不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式對任意恒成立，則，成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以實數的取值范圍是.故選：B例11．（2024·全國·高三期末）若命題“，”為真命題，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因為命題“，”為真命題，若，即，則，；若，即，要使得命題為真命題，則，即，解得或，又因為，所以此時；若，即，則滿足命題“，”為真命題；綜上，，故選:D.例12．（2024·全國·高三專題練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于的內接矩形花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長（單位：m）的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，過作于，交于，易知，即，則，．所以矩形花園的面積，解得．故選:C．【過關測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習）若集合，集合，滿足的實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得：，解得：，即；由得：，，，，解得：.故選：D.2．（2024·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為不等式的解集為，所以和為方程的兩根且，，解得，則不等式可化為，因為，所以，解得，所以不等式的解集為：.故選：A3．（2024·全國·高三專題練習）關于x的方程至少有一個負根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】當方程沒有根時，，即，解得；當方程有根，且根都不為負根時，，解得，綜上，，即關于x的方程沒有一個負根時，，所以關于x的方程至少有一個負根的充要條件是，故選:B.4．（2024·全國·高三專題練習）一元二次方程有一個正根和一個負根的一個充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為一元二次方程有一個正根和一負根，設兩根為和，所以，解得，故.故選：A.5．（2024·全國·高三專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數根且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，解得：，即的取值范圍為.故選：D.6．（2024·全國·高三專題練習）某文具店購進一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，得，即，∴，解得．又每盞的最低售價為15元，∴．故選：B．7．（2024·全國·高三專題練習）某城市對一種每件售價為160元的商品征收附加稅，稅率為（即每銷售100元征稅元），若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意，要使附加稅不少于128萬元，則，整理得：，解得：.所以的取值范圍是，故選：A.二、多選題8．（2024·廣東廣州·仲元中學?？家荒＃┮阎P于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【解析】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，A：由以上可知，故A正確；B：當時，代入方程可得，故B正確；C：因為，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯誤；D：原不等式可變?yōu)?，且，約分可得，解集為或，故D正確；故選：ABD9．（2024·吉林通化·高三校考階段練習）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．的解集為或【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的實數根為或，那么，所以，所以，且，故ABC正確；不等式，即，解得:,所以不等式的解集為，故D錯誤.故選：ABC10．（2024·全國·高三專題練習）對于給定實數，關于的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由，分類討論如下：當時，；當時，；當時，或；當時，；當時，或.故選：AB.11．（2024·廣東廣州·廣州市培正中學?？级＃┮阎坏仁降慕饧癁?，不等式的解集為，不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由不等式，即，解得，即，又由，解得，即，，A正確，B錯誤；，則是的兩根，則，，C錯誤，D正確.故選：AD12．（2024·江西南昌·南昌二中校聯考模擬預測）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，則對都成立，又，所以，觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.故選：BCD.三、填空題13．（2024·全國·高三對口高考）已知集合，則．【答案】【解析】原不等式等價于，化簡得，所以，又等價于，解得：所以，故答案為：．14．（2024·上?！じ呷虾Ｊ羞M才中學校考期末）不等式的解集是．【答案】【解析】不等式等價于，解得.故解集為：.故答案為：15．（2024·上?！じ呷_學考試）不等式的解集是．【答案】或【解析】由,可得，即，解得或．故答案為：或．16．（2024·吉林通化·高三?？茧A段練習）不等式的解集是.【答案】【解析】由得，故答案為：.17．（2024·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】原不等式可化為對恒成立．（1）當時，若不等式對恒成立，只需，解得；（2）當時，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：18．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實根，且．則實數a的取值范圍為．【答案】【解析】令函數，依題意，的兩個不等實根滿足，而函數圖象開口向上，因此，則，解得，所以實數a的取值范圍為.故答案為：19．（2024·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內，則實數的取值范圍為．【答案】.【解析】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.20．（2024·廣東·珠海市第一中學校聯考模擬預測）若命題“”為假命題，則實數m的取值范圍是．【答案】【解析】命題“”的否定為：“”命題“”為假命題等價于命題“”為真命題；當時，，成立；當時，結合一元二次函數的圖象可得：，解得，綜上，實數m的取值范圍是.故答案為：.21．（2024·全國·高三專題練習）若命題，是真命題，則實數a的取值范圍為.【答案】【解析】已知命題，是真命題，則二次函數圖像與軸有交點，所以，解得或.所以實數a的取值范圍為.故答案為：.22．（2024·全國·高三專題練習）若關于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數a的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以由得，因為關于的不等式在區(qū)