2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題33概率與統(tǒng)計綜合問題

專題33概率與統(tǒng)計綜合問題【典型例題】例1．（2024·全國·模擬預(yù)測）中央廣播電視總臺《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會》以“龍行龘龘，欣欣家國”為主題，創(chuàng)新“思想藝術(shù)技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴.2023年12月2日，中央廣播電視總臺發(fā)布了甲辰龍年春晚的主標識——龘．為了解大家對這一標識的看法，某網(wǎng)站進行了一次網(wǎng)絡(luò)調(diào)研，并將參與調(diào)查的網(wǎng)友對這一標識的打分情況（分數(shù)在50分到100分之間）繪制成頻率分布直方圖如下：

(1)求網(wǎng)友打分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）、中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)設(shè)網(wǎng)友打分的平均值為，若按打分是否在區(qū)間內(nèi)進行分層抽樣，抽取10人進行深度調(diào)研，打分在區(qū)間內(nèi)的至少抽取8人，試估計的最小值（保留兩位小數(shù)）．【解析】（1）網(wǎng)友打分的平均值為．分數(shù)在的頻率，分數(shù)在的頻率，設(shè)中位數(shù)為，則，，得，即中位數(shù)約為73.3．（2）由（1）可知．要使抽取的10人的打分在內(nèi)的人數(shù)不低于8人，則打分在區(qū)間內(nèi)的頻率不低于0.8．若，則，頻率；若，則，頻率．當(dāng)最小時，，且，解得，即的最小值約為13.95．例2．（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年11月10日，第六屆中國國際進口博覽會圓滿落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本屆進博會辦成了一屆高標準、高質(zhì)量、高水平的全球經(jīng)貿(mào)盛會，為世界經(jīng)濟復(fù)蘇和全球發(fā)展繁榮做出積極貢獻.本屆進博會優(yōu)化了志愿者服務(wù)，為參展商提供了更加準確、細致的服務(wù).為了解參展商對志愿者服務(wù)的滿意度，組委會組織了所有的參展商對志愿者服務(wù)進行評分（滿分100分），并從評分結(jié)果中隨機抽取100份進行統(tǒng)計，按照，，，，進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求出的值和參展商對志愿者服務(wù)評分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.(2)以頻率估計概率，樣本估計總體，從所有參展商的評分結(jié)果中隨機抽取3份，將記為評分不低于90分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）因為，所以評分結(jié)果在的頻率為0.2，所以，所以參展商對志愿者服務(wù)評分的平均數(shù)為；（2）由題意，評分不低于90分的概率為0.3，故，則，，，，所以的分布列為01230.3430.4410.1890.027所以.（或者）例3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）近年來，隨著國家對新能源汽車產(chǎn)業(yè)的支持，很多國產(chǎn)新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內(nèi)逐步增建充電樁．某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0.001）；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，預(yù)測當(dāng)該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【解析】（1）由題知，，又，，，所以，因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．當(dāng)時，，故當(dāng)充電樁數(shù)量為24萬臺時，該地區(qū)新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年11月10日，第六屆中國國際進口博覽會圓滿閉幕，在各方的共同努力和大力支持下，本屆進博會辦成了一屆高標準、高質(zhì)量、高水平的全球經(jīng)貿(mào)盛會，為世界經(jīng)濟復(fù)蘇和全球發(fā)展繁榮做出積極貢獻．本屆進博會優(yōu)化了志愿者服務(wù)，為展客商提供了更加準確、細致的服務(wù)．為了解參會的展客商對志愿者服務(wù)的滿意度，組委會組織了所有的展客商對志愿者服務(wù)進行評分（滿分100分），并從評分結(jié)果中隨機抽取100份進行統(tǒng)計，按照進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求的值，并以樣本估計總體，求所有展客商對志愿者服務(wù)評分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)在這100份評分結(jié)果中按照分層抽樣的方法隨機抽取20份，再從其中評分在和的評分結(jié)果中隨機抽取2份，求這2份評分結(jié)果均不低于90分的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖可得：，即評分在的頻率為0.2，故，故各組頻率依次為：，，，，。所以平均值為．（2）由題可知：抽取的20份評分結(jié)果中，評分在的份數(shù)為，分別記為，評分在的份數(shù)為，分別記為.則從這8份評分結(jié)果中任取2份，不同取法有：，，共28種，記“這2份評分結(jié)果均不低于90分”為事件，則事件包含的基本事件有：，，共15種，故所求概率．例5．（2024·全國·模擬預(yù)測）以“建設(shè)包容、普惠、有韌性的數(shù)字世界——攜手構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運共同體”為主題的2023年世界互聯(lián)網(wǎng)大會烏鎮(zhèn)峰會于11月8日至10日在中國浙江省烏鎮(zhèn)舉行．為保障大會順利進行，世界互聯(lián)網(wǎng)大會的秘書處從招募的志愿者中隨機抽取100名進行了一次互聯(lián)網(wǎng)知識競賽，所得成績（單位：分）均在內(nèi)，并制成如下頻數(shù)分布表：成績/分

頻數(shù)8282012(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，在下圖中作出頻率分布直方圖；

(2)以樣本估計總體，記競賽成績不低于86分的志愿者為優(yōu)秀志愿者，則優(yōu)秀志愿者的占比能否達到20%？【解析】（1），不同成績對應(yīng)的頻率如下表：成績/分

頻數(shù)828322012頻率0.080.280.320.200.12作出頻率分布直方圖如圖所示：

（2）在隨機抽取的100名志愿者中，不低于86分的志愿者的頻率為，故優(yōu)秀志愿者的占比能達到20%．例6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）刷臉時代來了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔(dān)憂.某調(diào)查機構(gòu)為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調(diào)查（問卷得分在40~100分之間），并從參與者中隨機抽取200人.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.如圖有兩個數(shù)據(jù)沒有標注清晰（即圖中），但已知此直方圖的滿意度的中位數(shù)為68.(1)求的值；并據(jù)此估計這200人滿意度的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動.活動方案為：從裝有8個形狀?大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球5個）的抽獎盒中，一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，返消費金額的；若摸到2個紅球，返消費金額的，除此之外不返現(xiàn)金.方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受95折優(yōu)惠.現(xiàn)小張在該超市購買了總價為1000元的商品.①求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？（注：結(jié)果精確到0.1）【解析】（1）由題意可得，中位數(shù)為68，說明，所以，那么滿意度在內(nèi)的頻率為，即.因為，所以對“刷臉支付”安全滿意度的平均數(shù)為68.（2）①選擇方案一，若摸到3個紅球，返消費金額的，即消費了元，若摸到了2個紅球，返消費金額的，即消費了元，則可能的取值為，則，，，所以的分布列如下表所示：8009001000所以.②若選擇方案二，記實際付款額為元，8折優(yōu)惠，則，9折優(yōu)惠，則，95折優(yōu)惠，則，則的可能取值為，由題意可知，的分布列如下表所示：800900950，由①知，故選擇方案二付款更劃算.【過關(guān)測試】1．（2024·廣東佛山·二模）聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位留學(xué)生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品．②對抗賽規(guī)則：兩位留學(xué)生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，累計得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．(1)留學(xué)生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，留學(xué)生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學(xué)生甲答對了所選試題的概率．(2)留學(xué)生乙和留學(xué)生丙參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對的概率分別為，，求留學(xué)生乙獲得獎品的概率．【解析】（1）設(shè)留學(xué)生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，則，，，，所以.（2）每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎品的概率為．2．（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）人工智能（英語：Artificialintelligence，縮寫為）亦稱智械、機器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機器．通常人工智能是指通過普通計算機程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機械的能力等．當(dāng)前有大量的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現(xiàn)，而思維又是對所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對人工智能是否感興趣，隨機從該校高一年級學(xué)生中抽取了400人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？(2)從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行采訪，記隨機變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假設(shè)為：學(xué)生對人工筸能是否感興趣與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表計算可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為學(xué)生對人工筸能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，其中抽取男生人，抽取女生人；根據(jù)已知條件的可能取值為：；，，，；.3．（2024·安徽蕪湖·二模）據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預(yù)計實施100次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務(wù)，多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國航天科技集團有限公司計劃安排近70次宇航發(fā)射任務(wù)，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務(wù).由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：飛行距離x（kkm）5663717990102110117損壞零件數(shù)y（個）617390105119136149163參考數(shù)據(jù)：，，，(1)建立y關(guān)于x的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1，精確到1）；(2)該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢20未報廢合計60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828【解析】（1）由題意得，則，所以.（2）設(shè)零假設(shè)為：是否報廢與是否保養(yǎng)無關(guān)，由題意，報廢推進器中保養(yǎng)過的共臺，未保養(yǎng)的推進器共臺，補充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢61420未報廢542680合計6040100則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯誤概率不大于0.01.4．（2024·山西朔州·一模）甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，每次由一人隨機傳給另外三人中的一人稱為一次傳球，已知甲首先發(fā)球，連續(xù)傳球次后，記事件“乙、丙、丁三人均被傳到球”的概率為．(1)當(dāng)時，求球又回到甲手中的概率；(2)當(dāng)時，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)記，求證：數(shù)列從第3項起構(gòu)成等比數(shù)列，并求．【解析】（1）傳球的過程中，不考慮第四次傳給誰，有種；傳球的過程中不傳給甲，第四次傳給甲，有種，傳球的過程中傳給甲，有種；故傳球次，球又回到甲手中的概率為.（2）根據(jù)題意可得，，，，故的分布列如下所示：則.（3）次傳球后，乙、丙、丁三人中被傳到球，有兩種情況：第一種，時，次傳球后，此人均接過他人傳球，則其概率為；第二種，時，次傳球后，此人中只有人接過他人傳球，則第次傳球時將球傳給剩余的1人，其概率為：；所以當(dāng)時，，故，因為，.所以數(shù)列從第3項起構(gòu)成等比數(shù)列，，則.5．（2024·浙江·二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）【解析】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.6．（23-24高三下·廣東汕尾·階段練習(xí)）秋空晴澈，微風(fēng)送爽，綠茵場上，喧騰鼎沸.為吸引同學(xué)們積極參與運動，鼓勵同學(xué)們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，2023年11月我校舉辦了第十四屆田徑運動會.來自高三的某學(xué)生為了在此次運動會中取得優(yōu)秀成績，決定每天在跳遠，800m跑和三級蛙跳中選擇一個項目訓(xùn)練.第一天在3個項目中任意選一項開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的2個項目中任意選一項訓(xùn)練.(1)若該學(xué)生進行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“三級蛙跳”的概率；(2)設(shè)該學(xué)生在賽前最后6天訓(xùn)練中選擇“跳遠”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的是“三級蛙跳”且第三天也是訓(xùn)練“三級蛙跳”為事件；當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的不是“三級蛙跳”且第三天是訓(xùn)練“三級蛙跳”為事件；由題知，三天的訓(xùn)練過程中，總共的可能情況為種，所以，，，所以，第三天訓(xùn)練的是“三級蛙跳”的概率．（2）由題知，的可能取值為，所以，考前最后6天訓(xùn)練中，所有可能的結(jié)果有種，所以，當(dāng)時，第一天有兩種選擇，之后每天都有1種選擇，故；當(dāng)時，第一天選擇“跳遠”，則第二天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共2種選擇；第二天選擇“跳遠”，則第一天有2種選擇，第三天2種，后每天只有1種選擇，共4種選擇；第三天選擇“跳遠”，則第一天有2種選擇，第二天有1種選擇，第三天1種，第四天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共4種選擇；第四天選擇“跳遠”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第六天有1種，第五天有2種選擇，共4種選擇；第五天選擇“跳遠”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天有1種，第六天有2種選擇，共4種選擇；第六天選擇“跳遠”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1種選擇，共2種選擇；綜上，當(dāng)時，共有種選擇，所以，；當(dāng)時，第一天，第三天，第五天，選擇“跳遠”，有種選擇；第一天，第三天，第六天，選擇“跳遠”，有種選擇第一天，第四天，第六天，選擇“跳遠”，有種選擇；第二天，第四天，第六天，選擇“跳遠”，有種選擇；所以，當(dāng)時，共有種選擇，所以，；所以，當(dāng)，所以，的分布列為：0123所以，．7．（2024·甘肅蘭州·三模）某中學(xué)體育組對高三的800名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（引體向上個數(shù)只記整數(shù)）．體育組為進一步了解情況，組織了兩個研究小組．(1)第一小組決定從單次完成1~15個引體向上的男生中，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取22人進行全面的體能測試．①在單次完成6~10個引體向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？②該小組又從這22人中抽取3人進行個別訪談，記抽到“單次完成引體向上1~5個”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列；(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進行研究，得到了這800人的學(xué)業(yè)成績與體育成績之間的列聯(lián)表．體育成績學(xué)業(yè)成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀不優(yōu)秀200400600優(yōu)秀100100200合計300500800根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析體育鍛煉是否與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．臨界值表：α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）如圖，，即從個中選4個，個中選6個，個中選12個，故男生甲被抽到的概率為所以的所有可能取值有0、1、2，3且，，．所以的分布列為：0123（2）零假設(shè)為：體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績獨立，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，可推斷零假設(shè)不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過0.005．所以有的把握認為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)．8．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；(1)從盒子中隨機抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨機取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機取出2個球，設(shè)2個球中紅球的個數(shù)為，求的分布、期望與方差；【解析】（1）第一次取出紅球的概率為，取出白球的概率為，第一次取出紅球，第二次取出紅球的概率為，第一次取出白球，第二次取出紅球的概率為，所有第二次取出的球是紅球的概率為；（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布為，它的期望為，它的方差為.9．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分的頻率分布直方圖如圖所示：

減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品(1)若從這100件甲型號減排器中按等級用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一級品的概率；(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：①若從乙型號減排器中隨機抽取4件，記為其中二級品的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從數(shù)學(xué)期望來看，投資哪種型號的減排器利潤率較大？【解析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的頻率為，按等級用分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級品為（件），記“抽取的5件中至少有3件一級品”為事件，則．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率為，三級品的概率為，由題意，的所有可能的取值為，所以，，，，分布列如下表：01234所以；②由題意知，甲型號減排器的利潤率的平均值：；乙型號減排器的利潤率的平均值：；，又，則，所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大．10．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機．若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于A型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于B型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時，將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機、B型手機各1萬部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標檢測，Ⅰ級品直接應(yīng)用于A型手機，Ⅱ級品直接應(yīng)用于B型手機；方案二：重新檢測該芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品的該項指標，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．【解析】（1）當(dāng)臨界值時，Ⅰ級品中該指標小于或等于的頻率為，所以將個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于型手機，每部手機損失元的概率為，所以芯片生產(chǎn)商的損失的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為：所以.（2）當(dāng)臨界值且時，若采用方案一：Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值的頻率為，所以可以估計部型手機中有部手機芯片應(yīng)用錯誤；Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值的頻率為，所以可以估計部型手機中有部手機芯片應(yīng)用錯誤；所以可以估計芯片生產(chǎn)商的損失費用，即，，因為，所以，又采用方案二需要檢測費用共萬元，故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二.11．（2023·山東·模擬預(yù)測）某汽車文化自媒體公司主打?qū)υ揭败囋揭澳芰Φ臏y評，為調(diào)查車友們對越野車的了解程度，隨機抽取了200名車友進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：女性男性總計比較了解78不太了解38總計140200(1)完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為車友對越野車的了解程度與性別有關(guān)？(2)該公司組織5名駕駛水平相當(dāng)?shù)膯T工在戶外場地進行汽車越野活動，他們需要合作闖關(guān)，一共有兩關(guān)，每次由一名員工上場，闖過第一關(guān)才能闖第二關(guān)，若闖某一關(guān)失敗，則換下一名員工從失敗的這一關(guān)開始闖，同一員工不重復(fù)上場，當(dāng)有人闖過第二關(guān)時或者5名員工都闖關(guān)失敗時活動結(jié)束．若無論前面的闖關(guān)結(jié)果如何，每名員工闖過第一關(guān)的概率都為，闖過第二關(guān)的概率都為，求第三名員工闖關(guān)后活動恰好結(jié)束的概率．附：．0.050.0250.0053.8415.0247.879【解析】（1）填表如下：女性男性總計比較了解2278100不太了解3862100總計60140200由卡方公式得，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為車友對越野車的了解程度與性別有關(guān)；（2）第三人闖關(guān)后活動結(jié)束分以下幾種情況：①前兩人未過第一關(guān)，第三人闖過第一、二關(guān)，其概率為，②第一人未過第一關(guān)，第二人過第一關(guān)未過第二關(guān)，第三人過第二關(guān)，其概率為，③第一人過第一關(guān)未過第二關(guān)，第二人未過第二關(guān)，第三人過第二關(guān)，其概率為，所以第三人闖關(guān)后活動結(jié)束的概率為.12．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎游．戲規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時學(xué)生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失?。?1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第級臺階，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)①求一位同學(xué)參加游戲，他不能獲得獎品的概率；②若甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率；【解析】（1）由題意可知：每次擲骰子上兩級臺階的概率為，上三級臺階的概率為，且的可能取值為6，7，8，9，設(shè)，則，則有：，，，，所以的分布列為：6789的數(shù)學(xué)期望．（2）①因為位于第10級臺階則認定游戲失敗，無法獲得獎品，結(jié)合題意可知：若學(xué)員位于第10級臺階，則投擲3次后，學(xué)員位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階，所以不能獲得獎品的概率為，②甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，恰有一人獲得獎品的概率．13．（2024·四川綿陽·一模）某縣電視臺決定于2023年國慶前夕舉辦“弘揚核心價值觀，激情唱響中國夢”全縣歌手大獎賽，比賽分初賽演唱部分和決賽問答題部分，各位選手的演唱部分成績頻率分布直方圖（1）如下：已知某工廠的6名參賽人員的演唱成績得分（滿分10分）如莖葉圖（2）（莖上的數(shù)字為整數(shù)部分，葉上的數(shù)字為小數(shù)部分）．(1)根據(jù)頻率分布直方分布圖和莖葉圖評估某工廠6名參賽人員的演唱部分的平均水平是否高于全部參賽人員的平均水平？（計算數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點后三位數(shù)）(2)已知初賽9.0分以上的選手才有資格參加決賽，問答題部分為5組題，選手對其依次回答．累計答對3題或答錯3題即結(jié)束比賽，答對3題者直接獲獎，已知該工廠參賽人員甲進入了決賽且答對每道題的概率為這6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各題對錯互不影響，設(shè)甲答題的個數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積和為得，解得，所以全部參賽人員的整體水平為，根據(jù)莖葉圖可知某工廠6名參賽人員的演唱部分的平均水平為，所以某工廠的參賽6名人員的演唱水平高于全部參賽人員的平均水平．（2）從這6位抽取2位的基本事件總數(shù)為，分差大于0.5的基本事件為除數(shù)據(jù)，外的9個基本事件，故概率為依題意的取值為3，4，5，則；；,所以的分布列為345所以．14．（2024·廣西·二模）某高科技企業(yè)為提高研發(fā)成果的保密等級，設(shè)置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密碼保存相關(guān)資料，每周使用其中的一套密碼，且每周使用的密碼都是從上周未使用的三套密碼中等可能地隨機選用一種．已知第1周選擇使用甲密碼．(1)分別求第3周和第4周使用甲密碼的概率；(2)記前n周中使用了乙密碼的次數(shù)為Y，求．【解析】（1）設(shè)第k周使用甲密碼的概率為，因為，，所以，，所以第3周和第4周使用甲密碼的概率分別為和．（2）因為第k周使用甲密碼的概率為，則第周使用甲密碼的概率為，整理得，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即．設(shè)第k周使用甲密碼的次數(shù)為，則服從分布，所以．所以前n周中使用甲密碼次數(shù)的均值，又因為乙、丙、丁地位相同，所以．15．（2024·湖北·二模）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得16．（2024·河北唐山·一模）某項測試共有8道題，每道題答對5分，不答或答錯得0分．某人答對每道題的概率都是，每道試題答對或答錯互不影響，設(shè)某人答對題目的個數(shù)為X．(1)求此人得分的期望；(2)指出此人答對幾道題的可能性最大，并說明理由．【解析】（1）某人答對每道題的概率都是，則答對題目的個數(shù)服從二項分布，即，，由于每道題答對得分，所以此人答題得分為，因此，在此項測試中，此人答題得分的期望為.（2）設(shè)此人答對道題的可能性為，，記，則，，當(dāng)時，，隨的增加而增加，即；當(dāng)時，，隨的增加而減小，即；所以當(dāng)時，最大，因此此人答對道題的可能性最大.17．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.【解析】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對；猜對，這兩種情況不會同時發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分18．（2024·北京海淀·一模）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302(1)當(dāng)時，（i）從該校隨機抽取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計X的數(shù)學(xué)期望；(2)從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.【解析】（1）當(dāng)時，（i）由表知，科普過程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為，則從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為.（ⅱ）依題意，從樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的頻率為，所以從該校學(xué)生科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的概率估計為，同理，從該校學(xué)生科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為4分的概率估計為，的所有可能值為6，7，8，，，，所以的數(shù)學(xué)期望.（2）由表知，，則，從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，則的最大值為69，100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為，要恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，顯然的最小值為各分數(shù)段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.19．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）高三學(xué)生參加高考體檢，一班共有50人，分成A，B，C三個小組，分別有15，15，20人.(1)若體檢一切正常每組需要二十分鐘，若有異常所在組需延長十分鐘，每位同學(xué)正常的概率為p，求七十分鐘內(nèi)能完成班級檢測的概率；(2)若三組同學(xué)在一起排序進行，求最后一位同學(xué)來自A組且B組比C組結(jié)束的早的概率；(3)若每位同學(xué)的體檢時間都是兩分鐘，三組同學(xué)在一起排序進行，求A組同學(xué)全部結(jié)束所需時間的期望.【解析】（1）設(shè)事件“組正常”;“組正?！?“組正?！?“七十分鐘完成體檢”則.（2）設(shè)“最后是組同學(xué)，且比先完成”，由古典概型得.（3）設(shè)所需時間為，則可取

，則，，因為，所以.20．（2024·全國·模擬預(yù)測）某市物理教研員在一次高二全市統(tǒng)考后為了了解本市物理考試情況，從全市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生對其物理成績（單位：分，成績都在內(nèi)）進行統(tǒng)計，制成頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值，并以樣本估計總體，求本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取3人，記這3人中物理考試成績在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題知，解得，因為，，所以可設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)為68.（2）從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取1人，其物理考試成績在內(nèi)的概率為.由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望.（另，）21．（2024·湖南岳陽·二模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則(1)在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；(2)對于這個六位數(shù)，記夾在三個偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個數(shù)為，求的分布列與期望.【解析】（1）設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，則數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)有個，數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為，則；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，因為3個偶數(shù)中間共有2個空隙．由題意知“”表示3個偶數(shù)相鄰，則，“”表示3個偶數(shù)中間只插入了1個奇數(shù)，則，“”表示3個偶數(shù)中間共插入了2個奇數(shù)，可分為兩種情形：和類型，則；“”表示3個偶數(shù)中間共插入了3個奇數(shù)，可分為兩種情形：和類型，則，所以的分布列為0123的期望為.22．（2024·湖南·二模）現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達到優(yōu)秀等級的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對該產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機選擇一個工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進行檢測.(1)若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；(2)因為三個工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個工廠進入市場的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進入市場的產(chǎn)品中隨機抽取10件產(chǎn)品進行檢測，求能達到優(yōu)秀等級的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，“產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從丙工廠生產(chǎn)”，則，，則，則.所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為.（2）依題意，設(shè)從市場中任抽一件產(chǎn)品達到優(yōu)秀等級的概率為，則，由題意可知，則，則的分布列為：012345678910故.23．（2024·全國·模擬預(yù)測）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進行作物栽培試驗