2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷二-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【含答案】_第1頁(yè)
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2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷二-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1.已知,函數(shù)若,則a的值為()A.3 B.1 C.-4 D.22.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若,則滿足的x的取值范圍是()A. B. C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將函數(shù),的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得新函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)()A. B. C. D.4.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系為().A. B. C. D.5.我國(guó)的5G通信技術(shù)領(lǐng)先世界,技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)(Shannon)公式,香農(nóng)提出并嚴(yán)格證明了在被高斯白噪聲干擾的信道中,計(jì)算最大信息傳送速率C的公式,其中W是信道帶寬,S是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率(W),N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率(W),其中叫做信噪比.根據(jù)此公式,在不改變W的前提下,將信噪比從99提升至,使得C大約增加了,則的值大約為(參考數(shù)據(jù):)()A.1559 B.3943 C.1579 D.25126.已知函數(shù)函數(shù).若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,則不等式的解集為()A. B. C. D.8.若對(duì)任意的,且,,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在上的最小值為0D.若對(duì)任意,恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是10.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽(yáng)魚,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義:圓O的圓心在原點(diǎn),若函數(shù)的圖象將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分,則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列說(shuō)法正確的有()A.對(duì)于圓O,其“太極函數(shù)”只有1個(gè)B.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”C.函數(shù)是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”11.設(shè)函數(shù),則()A.當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí),是的極大值點(diǎn)C.存在a,b,使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a,使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心三、填空題12.設(shè),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,記,若至少有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,在上單調(diào)遞減,則在上的所有整數(shù)解的和為___________.14.已知?jiǎng)t使恒成立的m的范圍是______.四、解答題15.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的,都有.當(dāng)時(shí),,且.(1)求的值,并證明:當(dāng)時(shí),.(2)判斷并證明的單調(diào)性.(3)若,求不等式的解集.16.已知冪函數(shù)在上為減函數(shù).(1)試求函數(shù)解析式;(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫出其單調(diào)區(qū)間.17.已知函數(shù),.(1)若是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的值域;(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知函數(shù).(1)若,且,求a的最小值;(2)證明:曲線是中心對(duì)稱圖形;(3)若當(dāng)且僅當(dāng),求b的取值范圍.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題1.答案:D解析:由題意,可得,則,解得.2.答案:D解析:因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以.由,得.又函數(shù)在R上單調(diào)遞減,所以,解得.3.答案:A解析:方法一:將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,即.令,得,,故的圖象恒過(guò)定點(diǎn).方法二:因?yàn)椋?,),令,得,,所以的圖象過(guò)定點(diǎn).將點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn),所以的圖象恒過(guò)定點(diǎn).4.答案:D解析:因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?因?yàn)椋?,所?5.答案:C解析:由題意得,則,,.故選C.6.答案:B解析:如圖,當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn).要使有3個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)時(shí),與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可,若,則當(dāng)時(shí),,兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn),所以.畫出,的大致圖象,如圖所示,由圖象可知,函數(shù),的圖象在內(nèi)至多有一個(gè)交點(diǎn).若函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),則在上沒有交點(diǎn),即直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn),且函數(shù),的圖象在上沒有交點(diǎn),即方程在上有兩個(gè)解,且在上沒有解.設(shè),需滿足且,解得;若在上函數(shù)與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn),則在上函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn),即在上只有1個(gè)解,且在上只有1個(gè)解,又,則且,此時(shí)無(wú)解.綜上,要使函數(shù)與圖象在上只有兩個(gè)交點(diǎn),則.7.答案:A解析:令,則,所以在R上單調(diào)遞增.由,得,即,又在R上單調(diào)遞增,所以,解得,即不等式的解集為.故選A.8.答案:D解析:由題可知,,因?yàn)椋?,所以,兩邊同時(shí)除以得,即.設(shè)函數(shù),其中,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,令,得,?dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,所以.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9.答案:ACD解析:A√,所以的圖象恒過(guò)定點(diǎn).B×當(dāng)時(shí),,又,所以,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,時(shí),單調(diào)遞增.C√當(dāng)時(shí),,所以.D√因?yàn)閷?duì)任意,恒成立,且,所以,得.10.答案:BD解析:對(duì)于A選項(xiàng),圓O的“太極函數(shù)”不止1個(gè),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故為奇函數(shù),畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示,可知函數(shù)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,,也是奇函數(shù),畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示,當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖象與圓O只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,,故為奇函數(shù),,,在上均單調(diào)遞增,所以在R上單調(diào)遞增,畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示,可知函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”,故D正確.故選BD.11.答案:AD解析:由題可知,.對(duì)于A,當(dāng)時(shí),由得,由得或,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,,,當(dāng)時(shí),,故有三個(gè)零點(diǎn),A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),由得,由得或,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故是的極小值點(diǎn),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故曲線必不存在對(duì)稱軸,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,解法一:,令,則可轉(zhuǎn)化為,由為奇函數(shù),且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故存在,使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心,D正確.故選AD.解法二:任意三次函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,D正確.故選AD.三、填空題12.答案:解析:令,則關(guān)于x的方程的判別式.(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn),從而不可能有3個(gè)及以上的零點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí),或,①當(dāng)時(shí),,如圖1,有2個(gè)零點(diǎn),不符合要求;②當(dāng)時(shí),有3個(gè)零點(diǎn),如圖2,符合要求.(3)當(dāng)時(shí),或,①當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線,函數(shù)和的圖象如圖3,若至少有3個(gè)零點(diǎn),則,即,所以;②當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線,此時(shí)只有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.13.答案:6解析:因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,且,所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且.由在上單調(diào)遞減,且的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱,可畫出在上的大致圖象,如圖所示,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.由對(duì)稱性可得,所以在上的所有整數(shù)解為1,2,3,其和為.14.答案:解析:因,令,,依題意,,,當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),取得極大值;當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)得,在上單調(diào)遞減,,于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減,,因此,則,所以m的取值范圍是.故答案為:.四、解答題15.答案:(1),證明見解析(2)在R上單調(diào)遞減.證明見解析(3)解析:(1)令,則,又,所以.當(dāng)時(shí),,所以.又,所以,即.(2)在R上單調(diào)遞減.證明如下:設(shè),則.又,所以,所以.又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以恒成立,即,所以,即,所以在R上單調(diào)遞減.(3)因?yàn)?,所以,所以,?又在R上單調(diào)遞減,所以,解得,所以不等式的解集為.16.答案:(1)(2)奇函數(shù),其單調(diào)減區(qū)間為,解析:(1)由題意得,,解得或,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上無(wú)意義,所以,則.(2),要使函數(shù)有意義,則,即定義域?yàn)?,其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,該冪函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時(shí),根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為減函數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),在上也為減函數(shù),故其單調(diào)減區(qū)間為,.17.答案:(1);函數(shù)的值域是(2)解析:(1)若是偶函數(shù),則,即,則,即恒成立,所以.經(jīng)驗(yàn)證,時(shí),為R上的偶函數(shù),符合題意.因?yàn)?,所以,故函?shù)的值域是.(2)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且為定義域上的增函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,且時(shí),,所以解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.答案:(1)-2(2)證明見解析(3)解析:(1)的定義域?yàn)?,若,則,,當(dāng)時(shí),,,則,故a的最小值為-2.(2),故曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.(3)由題知,此時(shí),.記,,易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞增,又,故符合題意.當(dāng)時(shí),,,令,得,因?yàn)椋?,故,,所以?dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞減,故,不符合題意.綜上,b的取值范圍為.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.19.答案:(1)(2)解析:(1

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