第一講-代數(shù)系統(tǒng)

離散數(shù)學(xué)（二）李翠敏cmli@1代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）抽象代數(shù)（abstractalgebra

）在抽象代數(shù)學(xué)中，由對(duì)象集合及運(yùn)算組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)（algebrastructures），或代數(shù)系統(tǒng)不管對(duì)象集合的具體特性和對(duì)象集合上運(yùn)算的具體意義，抽象的研究這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一般特性，及運(yùn)算所遵循的一般定律（如結(jié)合律、交換律、分配律等）、對(duì)這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類研究。2代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)的定義一個(gè)非空集合A，連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算f1,f2,…,fn，所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)常用一個(gè)多元序組<A，D，*，…>來(lái)表示，其中A是載體，D，*，…為各種運(yùn)算。代數(shù)系統(tǒng)的組成載體(非空集合A)定義在載體A上的若干運(yùn)算(f1,f2,…,fn)代數(shù)常元第一講6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)36.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題1】(a)整數(shù)集合I，以及定義在該集合上的普通加法運(yùn)算“+”組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，可記作<I,+,0>載體I定義在I上的運(yùn)算+常數(shù)0(b)一個(gè)有限集合S，由S的冪集ρ(S)，及定義在ρ(S)上的交、并、補(bǔ)運(yùn)算組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。46.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究對(duì)象：不是單個(gè)具體的代數(shù)，而是一種類。那么，什么樣的兩個(gè)代數(shù)是同一種類的？1.要有相同的構(gòu)成成分2.要有一組相同的稱為公理的規(guī)則【例題2】考慮<I,·,1>、<ρ(S),∪,Φ>是否與<N,+,0>具有相同形式的構(gòu)成成分且也具有下述公理？a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a

56.1代數(shù)結(jié)構(gòu)n元代數(shù)運(yùn)算

設(shè)A1,A2,…,An,A是非空集合，

f是從A1×A2×…×An

到A的一個(gè)映射，則稱f為從集合A1×A2×…×An到A的一個(gè)n元代數(shù)運(yùn)算，簡(jiǎn)稱運(yùn)算，n稱為代數(shù)運(yùn)算的階。xnx3fx2x1y…66.1代數(shù)結(jié)構(gòu) n元代數(shù)運(yùn)算的封閉性設(shè)f是從An到B的一個(gè)映射，f被稱為集合An上的一個(gè)n元代數(shù)運(yùn)算。若B?A，則稱該n元運(yùn)算在集合A上是封閉的。

特別地，設(shè)f是從A到A的映射，則稱f是一個(gè)在A上封閉的一元運(yùn)算。設(shè)f是從A2到A的映射，則稱f是一個(gè)在A上的封閉的二元運(yùn)算。76.1代數(shù)結(jié)構(gòu) 定義：運(yùn)算表

當(dāng)集合A是有限集時(shí)，例如A={a1,a2,…,an}，則A上一元代數(shù)運(yùn)算和二元代數(shù)運(yùn)算分別用如表(a)和(b)所示的運(yùn)算表來(lái)表示。

a1a2…ana1a2…an

a1a1

a1

a2…

a1ana2a1a2

a2

…

a2an………ana1ana2…

an

an△△(ai)a1a2…an△(a1)△(a2)…△(an)(a)(b)運(yùn)算符集合A運(yùn)算結(jié)果86.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題3】

一臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)能接受五角和一元的硬幣。當(dāng)人們投入任意兩枚上述硬幣時(shí)，自動(dòng)售貨機(jī)將供應(yīng)出相應(yīng)的飲料，如下表設(shè)集合A＝{5角，1元}，集合B＝{雪碧，可樂(lè)，酷兒}，則上表其實(shí)是一個(gè)從A×A到B的一個(gè)映射，也即一個(gè)從A2到B的一個(gè)二元運(yùn)算。問(wèn)運(yùn)算☆在A上是否封閉？答：不封閉☆5角1元5角雪碧可樂(lè)1元可樂(lè)酷兒96.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題4】

設(shè)有正整數(shù)集I+，“+”是I+上的普通加法運(yùn)算。在I+上定義二元運(yùn)算*為：任取x,y∈I+,x*y=x+y。令

S={2k|k∈I+}={2,4,6,8,…}

T={n|n

∈I+,n能整30}={1,2,3,5,6,10,15,30}問(wèn)運(yùn)算*在S和T上是否封閉?解：在S上封閉，在T上不封閉。

106.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)一交換律設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果任取x,y∈A，都有

x*y=y*x，則稱該二元運(yùn)算是可交換的?！纠}5】

設(shè)Q是有理數(shù)集合，☆是Q上的二元運(yùn)算，對(duì)任意a,b∈Q,a☆b=a+b-a﹡b,其中+和﹡是普通的加法、乘法運(yùn)算，問(wèn)☆是否是可交換的？116.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)二結(jié)合律設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意x,y,z∈A

，都有

x*(y*z)=(x*y)*z

則稱該二元運(yùn)算是可結(jié)合的?！纠}6】

設(shè)A是一個(gè)非空集合，*是A上的一個(gè)二元運(yùn)算，對(duì)于任意a,b∈A,有a*b=b,證明運(yùn)算*是可結(jié)合的。

證明思路：任取a,b,c∈A,證明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c

所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*運(yùn)算是可結(jié)合的。126.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)三分配律設(shè)*和○是定義在集合A上的二元運(yùn)算，如果對(duì)任意的a,b,c∈A，都有

*對(duì)○左可分配

*對(duì)○右可分配則稱*對(duì)○是可分配的。136.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)【例題7】

設(shè)集合A={α,β},在A上定義兩個(gè)二元運(yùn)算*和○，如下表(a)和(b)所示。運(yùn)算○對(duì)運(yùn)算*可分配嗎？運(yùn)算*對(duì)運(yùn)算○呢？只能用窮舉的方法來(lái)計(jì)算：左右都可分配才是可分配；答：○對(duì)*是可分配的；*對(duì)○不可分配：β*(α○

β)*α

βαβα

ββ

α○α

βα

βα

αα

β(a)(b)146.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)四吸收律設(shè)*和○是定義在集合A上的兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y∈A,都有

x*(x○

y)=x,x○(x*y)=x

則稱運(yùn)算*和○滿足吸收律。156.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)【例題8】

設(shè)集合N是自然數(shù)全體，在N上定義兩個(gè)二元運(yùn)算*與○，對(duì)于任意x,y∈N，有

x*y=max(x,y),x○y=min(x,y)

驗(yàn)證運(yùn)算*與○滿足吸收律。解：對(duì)于任意a,b∈N，

a*(a○b)=max(a,min(a,b))=a

a○(a*b)=min(a,max(a,b))=a

因此，*與○滿足吸收律。161/22/20256.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)五等冪律設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意x∈A,都有

x*x=x,

則稱運(yùn)算*滿足等冪律。176.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)【例題9】

設(shè)ρ(S)是集合S上的冪集，在ρ(S)上定義兩個(gè)二元運(yùn)算：集合的并運(yùn)算∪和集合的交運(yùn)算∩，驗(yàn)證∪和∩滿足吸收律和等冪律。解答：∪和∩運(yùn)算是可交換的。A,B∈ρ(S),有

A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A所以∪和∩滿足吸收律。又有

A∩A=AA∪A=A所以∪和∩滿足等冪律。181/22/20256.1代數(shù)結(jié)構(gòu)—代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)六可約律(消去律)

設(shè)*是定義在集合上的一個(gè)二元運(yùn)算，元素a∈A,如果對(duì)于任意x,y∈A,都有

a*x=a*yx=y

a是左可約的

x*a=y*ax=ya是右可約的則稱a關(guān)于運(yùn)算*是可約的。若A中的所有元素都是可約的，則稱運(yùn)算*滿足可約律。196.1代數(shù)結(jié)構(gòu)---代數(shù)常元代數(shù)常元代數(shù)系統(tǒng)中，針對(duì)某一代數(shù)運(yùn)算表現(xiàn)出具有某些特殊性質(zhì)的元素稱為代數(shù)常元，常見(jiàn)的有：幺元、零元、逆元、等冪元等。206.1代數(shù)結(jié)構(gòu)幺元左幺元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，若存在元素el，對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，都有

el*x=x

則稱el為A中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元。右幺元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，若存在元素er，對(duì)于A中每一個(gè)元素x,都有

x*er=x

則稱er為A中關(guān)于運(yùn)算*的右幺元。幺元：設(shè)*是定義在集合A上一個(gè)二元運(yùn)算，若A中有一個(gè)運(yùn)算e,它既是左幺元，又是右幺元，則稱e為A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元，亦稱作單位元。

e*x=x*e=x216.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題9】

設(shè)集合S={a,b,c,d},

S上定義的兩個(gè)二元運(yùn)算*和★的運(yùn)算表如下表所示，試求出其中的左幺元和右幺元。

解：b,d都是S中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元，a是S中關(guān)于★運(yùn)算的右幺元。*abcdabcddabcabcdabccabcd★abcdabcdabdcbacdcdabddbc(a)(b)226.1代數(shù)結(jié)構(gòu)『定理1』設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在A中有關(guān)于運(yùn)算*的左幺元el和右幺元er,則el=er=e,且A中的幺元是唯一的。

證明思路：先證el=er=e，再證e的唯一性。證明：設(shè)el和er分別是A中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元和右幺元，則有

el=el

*er=er=e

假設(shè)另有幺元e’∈A,則有e’=e’*e=e,結(jié)論得證。236.1代數(shù)結(jié)構(gòu)零元左零元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果有一個(gè)元素θl∈A,對(duì)于任意的元素x∈A都有θl*x=θl，則稱θl為A中關(guān)于運(yùn)算*的左零元。右零元：如果有一個(gè)元素θr∈A,對(duì)于任意的元素x∈A都有x*θr=θr，則稱θr為A中關(guān)于運(yùn)算*的右零元。零元：如果A中的一個(gè)元素θ，它既是左零元，又是右零元，則稱θ為A中關(guān)于運(yùn)算*的零元。

θ*x=x*θ=θ246.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題10】

設(shè)“淺”表示不易褪色的淺色衣服，“深”表示易褪色的深色衣服，集合S={淺，深}，定義S的一個(gè)二元運(yùn)算“混洗”，記為“*”，則*的運(yùn)算表如下表所示。求S中關(guān)于*運(yùn)算的幺元和零元。

解：淺色是S中關(guān)于*運(yùn)算的么元；深色是S中關(guān)于*運(yùn)算的零元。*

淺色

深色淺色深色

淺色深色深色深色256.1代數(shù)結(jié)構(gòu)『定理2』設(shè)*是定義在集合A上一個(gè)二元運(yùn)算，且在A中有關(guān)于運(yùn)算*的左零元θl和右零元θr,那么θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。

證明：設(shè)θl和θr分別是A中關(guān)于運(yùn)算*的左零元和右零元，則有θl=θl*θr=θr=θ

假設(shè)另有零元θ’∈A,則有θ’=θ’*θ=θ,結(jié)論得證。『定理3』設(shè)<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，且|A|>1。如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ，則e≠θ。

證明：|A|>1時(shí)，假設(shè)e=θ，則A中必存在元素a，滿足

a≠e，a≠θ--------------(1)

且有

a*e=a，a*θ=θ--------------(2)

由假設(shè)e=θ，(2)可得a=θ，這與(1)矛盾，所以假設(shè)不成立，結(jié)論得證。266.1代數(shù)結(jié)構(gòu)逆元設(shè)<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，e是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元。x,y∈A，如果x*y=e，那么關(guān)于運(yùn)算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。如果一個(gè)元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么稱b是a的一個(gè)逆元。如果x*y=y*x=e，那么關(guān)于運(yùn)算*，x與y互為逆元。運(yùn)算x的逆元記為x-1。

※

一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一個(gè)元素可以有左逆元而沒(méi)有右逆元，甚至左(右)逆元可以不唯一。276.1代數(shù)結(jié)構(gòu)【例題11】

設(shè)集合S=｛a,b,c,d,e｝，定義在S上的二元運(yùn)算*如表所示，指出代數(shù)系統(tǒng)<S,*>中各元素的左、右逆元情況。解：a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c，即b和c互為逆元；d的左逆元是c而右逆元是b；b有兩個(gè)左逆元c和d；e的右逆元是c，但e沒(méi)有左逆元。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace286.1代數(shù)結(jié)構(gòu)『定理4』設(shè)<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，e是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元。若運(yùn)算*是可結(jié)合的，且元素x有左逆元l和右逆元r，則l=r。

證明：因?yàn)閑是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元且x有左逆元l和右逆元r,則有

l*x=x*r=e又運(yùn)算是可結(jié)合的，所以

l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r296.1代數(shù)結(jié)構(gòu)等冪元等冪元：設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>,*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果存在元素a∈A,

且有a*a=a，則稱a為A中關(guān)于運(yùn)算*的等冪元。306.1習(xí)題【習(xí)題12】

設(shè)<A,*>為代數(shù)系統(tǒng)，其中A={1,2,3,4},“*”定義如下表所示：

(a)運(yùn)算*是可交換的嗎？為什么？

(b)運(yùn)算*是可結(jié)合的嗎？為什么？

(c)求A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元，并給出每個(gè)元素的逆元。

(d)A中有關(guān)于運(yùn)算*的零元嗎？*12341234123423413