北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

高二數(shù)學(xué)2025．1本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若直線l過，兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率，即可得到直線的傾斜角.【詳解】由題意得，直線的斜率，∴直線l的傾斜角為.故選：A.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】因，，所以，所以，.故選：D3.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，解得.故選：C.4.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則p的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程為可得結(jié)果.【詳解】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴，解得.故選：B.5.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機(jī)從觀眾中抽出10人擔(dān)任評(píng)委．下面是他們給某位選手的打分情況：43444545464849495051設(shè)這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，再從中去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，設(shè)剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，則（）A. B.且C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，，∴.故選：A6.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離為（）A.5 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由條件可知，平面，平面，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，所以，解得：.故選：D7.做一個(gè)木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，現(xiàn)有長為的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁，長為的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁的長度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，利用可得結(jié)果.【詳解】記7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，由題意得，，，∴，，故，，∵，∴，即正中間的一根橫梁的長度是.故選：B.8.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線的焦點(diǎn)為F，M為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與拋物線C的一個(gè)公共點(diǎn)為D，若的周長為8，則p的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的方程及已知條件可以求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為及，再利用拋物線的定義，得到的長度，最后利用的周長列出關(guān)于的方程，從而求解.【詳解】拋物線的方程為，，，M為線段的中點(diǎn)，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，由題意可知，，的周長為8，，即，.故選：B.9.已知點(diǎn)，，直線，記點(diǎn)A到直線l的距離為，點(diǎn)B到直線l的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式表示，通過舉反例可確定答案.【詳解】由題意得，.由得，，令，則，滿足，但，故充分性不成立；令，滿足，但，，，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截x軸所得弦長為1，截y軸所得弦長為2，則這樣的圓C的面積（）A.有最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.無最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)半徑相等建立等量關(guān)系可得，則圓C半徑為，根據(jù)范圍可得結(jié)果.【詳解】如圖，圓C與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），設(shè)，則線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圓的半徑，即圓的半徑無最大值，有最小值1，∴圓C的面積無最大值，有最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用半徑相等分析出圓心橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合范圍即可得到答案.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.11.等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和是____________．【答案】11【解析】【分析】代入等比數(shù)列的基本量，即可求首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，所以，，所以.故答案為：12.雙曲線的離心率為____________，漸近線方程為____________．【答案】①.##；②.；【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先確定的值，再利用離心率和漸近線的定義求出即可.【詳解】由題可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以雙曲線的離心率為，漸近線方程為.故答案為：；.13.已知均為空間向量，其中，，，若從這4個(gè)向量中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量的坐標(biāo)可以為____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意得可以構(gòu)成空間的單位正交基底，設(shè)，則，根據(jù)空間向量基本定理及平面向量基本定理可得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴，∴，∴可以構(gòu)成空間的單位正交基底，設(shè)，則，∵從這4個(gè)向量中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，∴與中的任意兩個(gè)向量均不共面，根據(jù)平面向量基本定理可得均不為零，∴向量的坐標(biāo)可以為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.14.某景觀亭（如圖1）的上部可視為正四棱錐（如圖2）．已知長為4米，且平面平面，則頂點(diǎn)S到直線的距離為____________米；正四棱錐的側(cè)面積為____________平方米．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系，構(gòu)造直二面角的平面角，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)平面和平面交于過點(diǎn)的直線，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，即，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，且，，所以，所以點(diǎn)到的距離為；正四棱錐的側(cè)面積為.故答案為：；15.關(guān)于曲線，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意，曲線與直線沒有公共點(diǎn)；②對(duì)任意，曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為R；③對(duì)任意，曲線為軸對(duì)稱圖形；④當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，曲線與軸、軸所圍成區(qū)域的面積為，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．【答案】①③④【解析】【分析】對(duì)①：將代入曲線，可得該方程無解；對(duì)②：舉出反例即可得；對(duì)③：分對(duì)為奇數(shù)與為偶數(shù)進(jìn)行討論，分別驗(yàn)證當(dāng)在曲線上時(shí)，與是否在曲線上即可得；④：分別令、求出對(duì)應(yīng)、的值即可得曲線與軸、軸所圍成區(qū)域，再通過計(jì)算曲線與上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的大小關(guān)系及其與的關(guān)系即可得其面積關(guān)系.【詳解】對(duì)①：令，則，故曲線與直線沒有公共點(diǎn)，故①正確；對(duì)②：當(dāng)時(shí)，有，則，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：若為奇數(shù)，則對(duì)點(diǎn)，有，故對(duì)任意點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)也在曲線上，此時(shí)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若為偶數(shù)，則對(duì)點(diǎn)，有，故對(duì)任意點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)也在曲線上，此時(shí)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故③正確；對(duì)④：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，則，令，則，故曲線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，故即為曲線在的部分與軸、軸所圍成圖形面積，對(duì)曲線與上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，有，則，有，則，則，即當(dāng)時(shí)，，即，即在，曲線與曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值都小于曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，且兩者的絕對(duì)值都小于，則，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)定睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于得到曲線與軸、軸所圍成區(qū)域?yàn)榍€在的部分與軸、軸所圍成圖形，則可通過比較曲線與曲線相同橫坐標(biāo)情況下的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，得到其面積關(guān)系.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從某小區(qū)隨機(jī)抽取了100戶居民進(jìn)行了網(wǎng)費(fèi)調(diào)查，將他們的網(wǎng)費(fèi)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)該頻率分布直方圖，求x的值；（2）已知該小區(qū)共2000戶，估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi)．【答案】（1）0.0044；（2）960戶；（3）189元.【解析】【分析】（1）利用頻率和為1列方程求參數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率直方圖求出區(qū)間的頻率，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)戶數(shù)；（3）根據(jù)直方圖確定各區(qū)間的頻率，結(jié)合已知求該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi)．【小問1詳解】由該頻率分布直方圖，得．【小問2詳解】在樣本中，網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為戶．【小問3詳解】由（1）可知，這六個(gè)組頻率分別為0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．因?yàn)橥M中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該樣本的平均值約為．所以估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi)為189元．17.已知圓與x軸相切．（1）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長．【答案】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑長為2（2）【解析】【分析】（1）首先化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)半徑與圓心坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解；（2）首先計(jì)算圓心到直線的距離，再代入弦長公式，即可求解.【小問1詳解】配方得，由此可得圓心坐標(biāo)為．因?yàn)閳AC與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為．所以半徑長為2．【小問2詳解】因?yàn)橹本€與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以圓心C到直線l距離為．由（Ⅰ）可知，所以．18.如圖，在長方體中，，．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正方形及長方體的幾何特征可證線線垂直，由此可得線面垂直.（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用兩平面夾角的向量公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，四邊形為正方形，∴．∵平面，平面，∴，∵，平面，，∴平面．【小問2詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∴，，．由（1）得，是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，得，，故．設(shè)平面與平面的夾角為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知數(shù)列滿足：，．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式求首項(xiàng)和公差，即可求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的公式和性質(zhì)求首項(xiàng)和公比，即可求通項(xiàng)公式.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以．所以．所以，即，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，即，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，即．【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以．由，得，即，解得．所以．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．20.已知橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)M，且與直線l垂直．記直線與y軸的交點(diǎn)為N．請(qǐng)問：是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）首先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦長，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線的方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，表示，根據(jù)，求直線的方程，即可求解.【小問1詳解】由題意橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn),可知，，所以．所以．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，，．聯(lián)立，整理得，，．從而，．．，因?yàn)镸是線段的中點(diǎn)，所以，則，故．直線的方程為，即．令，得，則，所以．欲使，只需，，解得，滿足要求．所以，故存在滿足要求的直線l，其方程為，即或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)表示弦長，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦長.21.設(shè)n為正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素和，記．設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，，都有，則稱集合具有性質(zhì)．（1）當(dāng)時(shí)，若，，求，的值；（2）已知正整數(shù)，集合為的子集．求證：“集合具有性質(zhì)”的充要條件為“對(duì)中任意兩個(gè)不同的元素，都有，且”；（3）給定不小于2的偶數(shù)n，設(shè)具有性質(zhì)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】(1)利用的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算即可；(2)利用已知條件中的的運(yùn)算規(guī)則從充分性與必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明；(3)設(shè)具有性質(zhì)的集合的元素個(gè)數(shù)最大值為，先求當(dāng)時(shí)元素個(gè)數(shù)的最大值，再從兩方面去求解得到及，從而得到，進(jìn)而求得.【小問1詳解】因?yàn)?，，由定義可知：，．【小問2詳解】①若集合具有性質(zhì)，任