2019-2020學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE江蘇省揚(yáng)州市邗江中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知直線的斜率求傾斜角，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力以及對(duì)基本概念的理解，是一道容易題.2.在中，已知，那么最大內(nèi)角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，設(shè)的三邊分別為，利用余弦定理求得的值，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ?，可得設(shè)的三邊分別為，（其中），因?yàn)?，所以角為三角形的最大角，又由余弦定理可得，又因?yàn)椋?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力.3.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a–1）x–y+2a+1=0恒過(guò)的定點(diǎn)是A.（2，3） B.（–2，3） C.（1，–） D.（–2，0）【答案】B【解析】試題分析：直線方程可化為，故選B.考點(diǎn)：直線方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線方程，涉及方程的恒成立問(wèn)題，對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生思維跨越較大，屬中等難題．解決本題時(shí)，先將直線方程按照的降冪排列得，該方程要恒成立需，從而解得，求得定點(diǎn)．本題還可以通過(guò)特值法取得方程組，再解方程組即可得定點(diǎn)．4.設(shè)是三個(gè)互不重合的平面，是兩條互不重合的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直線，平面直線平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】A.同時(shí)平行于一條直線的兩個(gè)平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A錯(cuò)誤，B.若，則關(guān)系不確定，可能平行也可能相交，也可能異面，故B錯(cuò)誤，C.若，則，C成立，D.若，則或與相交，故D錯(cuò)誤，故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、面面位置關(guān)系命題的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5.若點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）．A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】C【解析】【詳解】由題知，圓心到直線的距離，故選．6.已知圓錐的表面積為9π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積列方程，解方程求得圓錐的底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，故其母線長(zhǎng)為，所以圓錐的表面積為，解得.故選：B點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐表面積有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出A的值，進(jìn)一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．【詳解】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．8.如果圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則a的取值范圍（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由可得P，Q兩點(diǎn)在圓上，然后條件可轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，然后建立不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋∣為坐標(biāo)原點(diǎn)）所以P，Q兩點(diǎn)在圓上所以條件可轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1所以，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的定義、圓與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題..9.第41屆世界博覽會(huì)于2010年5月1日至10月31日，在中國(guó)上海舉行，氣勢(shì)磅礴的中國(guó)館——“東方之冠”令人印象深刻，該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”為設(shè)計(jì)理念，代表中國(guó)文化的精神與氣質(zhì)．其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗狀的主體建筑，總高度為60.3米，上方的“斗冠”類似一個(gè)倒置的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)是139.4米，下底面邊長(zhǎng)是69.9米，則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到和的長(zhǎng)度，從而得到的值，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，得到，從而得到答案.【詳解】依題意得“斗冠”的高為米，如圖，，，為“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角，，而，，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考立體幾何中求線段的長(zhǎng)度和正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.10.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，為圓心，則四邊形面積的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】圓即,表示以C(0,-1)為圓心，以1為半徑的圓．由于四邊形PACB面積等于，而.故當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB面積最小.又PC的最小值等于圓心C到直線的距離d,而，故四邊形PACB面積的最小的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過(guò)圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最?。?1.在長(zhǎng)方體中，為上任意一點(diǎn)，則一定有（）A.與異面 B.與垂直C.與平面相交 D.與平面平行【答案】D【解析】【分析】取為的中點(diǎn)可判斷A、B、C選項(xiàng)的正誤；證明平面平面，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，則直線與相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，為銳角，與不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，連接、交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在長(zhǎng)方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可證平面，，平面平面，平面，平面.D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由得，根據(jù)向量的運(yùn)算和兩點(diǎn)間的距離公式，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設(shè)，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M(jìn)在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，以及點(diǎn)圓的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓的圓心到直線的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先得到圓的圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】圓的圓心為：，所以圓心到直線的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程以及點(diǎn)到直線的距離，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.直線與平行，則的值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得出實(shí)數(shù)滿足的等式與不等式，解出即可.【詳解】由于直線與平行，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.2019年10月1日，在慶祝新中國(guó)成立70周年閱兵中，由我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員高超的飛行技術(shù)離不開(kāi)艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測(cè)站觀測(cè)到一架參閱直升飛機(jī)以千米/小時(shí)的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東的方向上，仰角為，則直升機(jī)飛行的高度為_(kāi)_______千米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】根據(jù)飛行時(shí)間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次觀察的方位角及三角形知識(shí)可得.【詳解】如圖，根據(jù)已知可得設(shè)飛行高度為千米，即，則;在直角三角形中，,所以，；在直角三角形中，同理可求；因?yàn)轱w行速度為千米/小時(shí)，飛行時(shí)間是1分鐘，所以,所以，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為背景的解三角形問(wèn)題，準(zhǔn)確理解方位角是求解本題的關(guān)鍵，融合了簡(jiǎn)單的物理知識(shí)，側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).16.在正三棱錐中，M、N分別是棱、的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是______.【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可確定兩兩互相垂直，由此可將所求的外接球轉(zhuǎn)化為以為棱的正方體的外接球的求解問(wèn)題，根據(jù)正方體外接球的半徑可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接.三棱錐為正三棱錐，，，又為中點(diǎn)，，，平面，，平面，又平面，，又分別為中點(diǎn)，，，又，，平面，平面，平面，又平面，，，由正三棱錐特點(diǎn)知：兩兩互相垂直，三棱錐的外接球即為以為棱的正方體的外接球，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理得到三條側(cè)棱兩兩互相垂直，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方體外接球表面積的求解問(wèn)題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求外接圓的方程；（2）求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可由方程組解得參數(shù)，求得圓的方程.（2）利用點(diǎn)到直線距離公式先求得弦心距，再根據(jù)勾股定理即可求得弦長(zhǎng)一半，進(jìn)而得弦長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)所求圓的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在所求的圓上，故有解得故所求圓的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得.（2）圓，圓心，半徑，直線，所以圓心到直線的距離為，故由勾股定理可得弦長(zhǎng)一半為，所以截得的弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了由三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求圓的一般方程的方法，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，它的面積為S且滿足，.（1）求角B的大?。唬?）當(dāng)時(shí)，求S.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，，結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求角B；（2）由，結(jié)合余弦定理求出，則S可求.【詳解】解：（1）根據(jù)余弦定理，所以由，得，∵，∴，∵，∴.又，∴.（2）由（1）及余弦定理得：，∴，又，∴，，故.【點(diǎn)睛】考查余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用以及恒等變形，中檔題.19.如圖，三棱柱中，平面平面，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可知，進(jìn)而由線面平行的判定定理可證明平面；（2）在中，利用余弦定理可求得，進(jìn)而可知，即，再結(jié)合平面平面，可知平面，進(jìn)而求出，從而由可求出答案.【詳解】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2），，，，，，．又平面平面，平面平面，平面，平面．，，∴四邊形為菱形，為正三角形，.．．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7nmile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55nmile處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40nmile的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東(其中，)且與點(diǎn)A相距10nmile的位置C．（I）求該船的行駛速度（單位：nmile/h）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.【答案】（I）船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（II）船會(huì)進(jìn)入警戒水域.【解析】試題分析：(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，從而可求出船的行駛速度.(II)判斷船是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，關(guān)鍵是看點(diǎn)E到直線l的距離與半徑7的關(guān)系，因而可求出直線l的方程，以及E點(diǎn)坐標(biāo)，然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論.（I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（II）解法一如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法二:如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過(guò)點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.考點(diǎn)：正余弦定理在解三角形當(dāng)中的應(yīng)用，直線方程，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系.點(diǎn)評(píng)：掌握正余弦定理及能解決的三角形類型是解三角形的前提.第（II）問(wèn)關(guān)鍵是知道如何判斷船是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,實(shí)質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.21.已知圓M的方程為，直線l的方程為，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線，，切點(diǎn)為A，B.（1）若，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求證：經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程.【答案】（1）或（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)和（3）【解析】（1）設(shè)，由題可知，代入兩點(diǎn)間的距離公式可得，求解可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）的中點(diǎn)，因?yàn)镻A是圓M的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到結(jié)果；（3）結(jié)合（2）將