高考練習：參數(shù)方程

參數(shù)方程

1.參數(shù)方程和普通方程的互化

(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地，可以通過

消去參數(shù),從參數(shù)方程得到普通方程.

(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)/的關系，例如正曲，把它代入普

x=f(f),

通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系＞=儂，那么,、就是曲線的參

數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使X,y的參數(shù)方程中參數(shù)的取

值范圍保持一致.

2.直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程

名稱普通方程參數(shù)方程

x=xo+/cosa,

直線y—yo=k（x—xo）（/為參數(shù)）

y=vo+/sina

x=xo+rcos0,

圓（X—xo）2+（y—火）2二戶?.八（。為參數(shù)且OW*2TI）

y—vo+rsmu

?2x=acost,

橢圓'+方=1(。乂>())~~~。為參數(shù)且0《/<2兀）

y=bsint

[x=2pi2

拋物線y2=2px（P>0）\.f（/為參數(shù)）

[y=20

常用結(jié)論

x=M)+/cosa，

經(jīng)過點P(xo，yo),傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為彳.Q為參

+isma

數(shù)).若43為直線/上的兩點，其對應的參數(shù)分別為〃，亥，線段AB的中點為

M,點M所對應的參數(shù)為如則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：

力+亥

⑴Zo=-2-

力+上

（2）|尸M]=|fol=2

（3）|AB|=k2-ril;

（4）|B4|.|PB|=ki-t2\.

清易錯掃除盲點

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“V”，錯誤的打“X”)

x=f⑺,

(1)參數(shù)方程，、中的羽y都是參數(shù)，的函數(shù).()

b，=g(r)

JC=JCO+/COSa,

⑵過M)(xo,州)，傾斜角為。的直線/的參數(shù)方程為＜,.。為參

J=yo+/sina

數(shù)).參數(shù)i的幾何意義表示：直線I上以定點M)為起點，任一點M(x,y)為終

點的有向線段瘋■的數(shù)量.()

x=2cosa

(3)已知橢圓的參數(shù)方程彳..。為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)/

y=4smt

=小點0為原點，則直線OM的斜率為由.()

答案：(1”(2)V(3)X

二、易錯糾偏

常見誤區(qū)I(1)不注意互化的等價性致誤；

(2)直線參數(shù)方程中參數(shù)，的幾何意義不清致誤;

⑶交點坐標計算出錯致錯.

x=1+cos2仇

若曲線C的參數(shù)方程為,(。為參數(shù))，則曲線C上的點的

y=sin26>

軌跡是()

A.直線x+2y—2=0

B.以(2,0)為端點的射線

C.圓。-1)2+產(chǎn)1

D.以(2,0)和(0,1)為端點的線段

解析：選D.將曲線。的參數(shù)方程化為普通方程得x+2)，-2=0(0WxW2,0

WyWl).故選D.

x=x()-\-at

2.已知直線彳工，t[為參數(shù))上兩點A,8對應的參數(shù)值是力，團則H8|

[)'=州+初

=()

A.|力+力|B.\t\-t2\

C.。，+/土一亥|D.

受層+小

解析：選C.依題意，A（XQ+M,州+4I），3（沏+。亥，川+%），則|A3|=

q,o+。/］―（沏+勿2）］2+［），o+4］一（泗+62）］2=^/?2+/?2|/1―力|?故選C.

3.在平面直角坐標系xO），中，以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立

極坐標系.曲線Ci的極坐標方程為"（cosO+sin夕）=-2,曲線C2的參數(shù)方程為

尸尸，

‘尸2、②"為參數(shù)）’則?與。2交點的直角坐標為.

解析：由以cos。+sin6）=—2,得x+y=-2①.

=p

又｛x'廠消去f,得）?=8x②.

ly=25

x=2,

聯(lián)立①②得彳即交點坐標為Q,—4）.

bj=-4,

答案：（2,-4）

考點探究F題型突破

考點II

參數(shù)方程與普通方程的互化（師生共研）

屈m（D將下列參數(shù)方程化為普通方程.

①，____（t為參數(shù)）；

［k7正—1

x=2+sin2。，

②，尸T+8S2/為參如

（2）已知曲線。川尸x=-34+s+icno,st,”為參數(shù)）'曲線x=8cos仇

尸3疝。（°為參

數(shù)）.化G,。2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線.

【解】（1）①由尸一120今/21或fW—l=0<xWl或一lWx〈0.

p=7（*），

由j（*）式代入（**）式得f+,2=1.

［尸yx/1-i（**）,

0<xWl,(―1

箕中V或V

'〔OWy<l[―lvy<().

②由工=2+sin?。，OWsi/OWl

=>2<2+sin20<3=>2Wx<3,

x=2+sin2^,[x—2=sin2^,fx-2=sin2^,

=>=>02x+y—4=

y=-14-cos20[y=—1+1—2sin2^[y=-2sin2^

0(2?).

92

(2)曲線G：(x+4)2+(y-3)2=l,曲線。2：^+]=L

所以曲線Ci是以(一4,3)為圓心，1為半徑的圓；

曲線。2是中心為坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8,短半軸長是3

的橢圓.

惻倒用陽

將參數(shù)方程化為普通方程的方法及注意點

(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)?/p>

消參方法.常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等.對于

含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2^+cos2^=l

等.

(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解.

跟蹤訓練

x=2+f,|x=3cosa,

1.求直線11(，為參數(shù))與曲線1(。為參數(shù))的交點個數(shù).

y=-1~ty=3sina

x=2+r,

解：將[=_[_，消去參數(shù)f得直線x+y—l=0;

x=3cosa,

將，,消去參數(shù)a得圓片+產(chǎn)=9.

j=3sina

又圓心(0,0)到直線x+)—1=0的距離〃=乎＜3.

因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點.

2.如圖，以過原點的直線的傾斜角。為參數(shù)，求圓/+產(chǎn)一了=0的參數(shù)方

程.

解：圓的半徑為宏記圓心為戲，0）,設直線與圓的交點分別為O,P,連

接CP（圖略），則ZPCx=23,故xp=T+；cos20=coC。,

yp=1sin20=s\nOcos0（0為參數(shù)）.

x=cos2^,

所以圓的參數(shù)方程為4.八式。為參數(shù)）.

j=smGeos0

考點2

參數(shù)方程的應用（師生共研）

畫②（2021?沈陽市數(shù)學質(zhì)量監(jiān)測（一））在平面直角坐標系白，以坐標原點為極

點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，己知曲線C的極坐標方程為/）=4cos/

x=3+2r,

直線/的參數(shù)方程為一（，為參數(shù)），直線/與曲線。交于M,N兩點.

（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線/的普通方程；

（2）若點尸（3，-1）,求.|PN|的值.

仿cos6=x,

【解】（1）由/=4pcos仇\得?+丁=4心

2sin0=y

所以曲線。的直角坐標方程為2）2+/=4.

x=3+2f,

由直線/的參數(shù)方程為彳,。為參數(shù)），

ly=-i+/

消參得直線/的普通方程為x-2y-5=0.

[—2小

（2）直線，的標準參數(shù)方程為〈r（〃為參數(shù)），

"1+電

代入曲線。的方程（X—Zp+Vn%得〃2+*^〃-2=0,則有/=g>0,設

M,N兩點對應的參數(shù)分別為〃],〃2,

2/s

則〃l+〃2=一―^一，W|M2=—2<0,可知〃1與〃2異號，

1_1〃l+〃2V5

所以

兩一兩MilMlll\U25,

畫倒罰用

（1）解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與

參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上和動點有關的問題,

如最值、范圍等.

（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中，的幾何意義，有以下常用結(jié)論：過定點

Mo的直線與圓錐曲線相交，交點為Mi,M2,所對應的參數(shù)分別為?、佗傧?/p>

長/=|力一百；②M為弦MM2的中點合力+尬=0;③IMoMil?|赫此|="同

跟蹤訓練;

1.（2020?四省八校第二次質(zhì)量檢測）在平面直角坐標系X。），中，己知直線/：

x=l+；r,

x=\/2cos9,?,“

小”為參數(shù)），曲線G：?c（。為參數(shù)）.

j=sm6

y=2f

⑴設/與G相交于A,B兩點,求|A8|；

x=cosa,

（2）若。是曲線C2：“.（。為參數(shù)）上的一個動點，設點尸是曲線G

十sma

上的一個動點，求IPQ的最大值.

解：（1）曲線G的普通方程為曰+產(chǎn)=1.

將直線/的參數(shù)方程代入曲線Ci的普通方程中得7/+41—4=0.

設A,3兩點對應的參數(shù)分別為以，為，

44

則〃+力=_'，..=一亍,

所以|4陰=|〃—加|=,（〃+加）2—4以?加=^^.

（2）設尸（x,y）.曲線C2的普通方程為/+。-3）2=1,

所以曲線Q是以。2（0，3）為圓心，1為半徑的圓，

所以|PC2|=??+（廠3）2=yf—0+3）2+20,

因為一11,

所以IPC2I的最大值為4,

所以|PQ|的最大值為5.

x=fcosa,

2.（2020?廣州市階段訓練）已知曲線G的參數(shù)方程為J-.（f為參數(shù)）,

y=i-rts\na

x=sin0,

曲線Ci的參數(shù)方程為《i------------（0為參數(shù)）.

、y=W+cos20

（1）求。與C2的普通方程；

（2）（一題多解）若Ci與C2相交于A,B兩點,且N陰=也，求sina的值.

fx=rcosa,

解：（1）由J。為參數(shù)），得xsina—ycosa+cosa=0,

y=1+fsina,

所以曲線Ci的普通方程為“sina-ycosa4-cosa=0.

x=sin仇

由彳i------------（0為參數(shù)），

j=q14-cos20

得2x2+y2=2（y^0）.

所以曲線。2的普通方程為2x2+y2=2（y^0）.

x=tcosa,

（2）方法一：把j代入2^+）2=2,

y=l十fsina,

得Qcos^a+si/Gy+Zrsina—1=0?

由于J=（2sina）2+4（2cos2a+sin2a）=8>0,

設4,8兩點對應的參數(shù)分別為力，d

.,2sina1

則"十f2=一五嬴壽豆，Z,Z2="2cos2a+sin2a

則.B|=|〃一，2|=Y（〃+，2）2-4,也=2cos密sin2a.

由于陰=的則2cos2aL產(chǎn)］近解得疝。=0?

經(jīng)檢驗，sina=0符合題意，所以sina=0.

方法二：由（1）可知G是直線，且過點（0,1）,

。2是橢圓2?+尸=2在J軸上方（包括與x軸的兩個交點）的部分，

如圖，若G與。2有兩個交點，

y

i\o

則G的斜率1],

設G：y=kx+1,A(xi,yi),B(xz>”),

\y=kx+1,

由彳°,9得(爐+2)f+2區(qū)一1=0,

,2JT+/=2,

由于/=(2k)2+4(F+2)=8d+8>0,

.2k1

則Xl+X2=一百工，X1X2=一百zy

\AB\=y](1+Zr)[(xi+x2)2—4xi%2]

7(1+-卜差)+&=2皿*7)

?廠2y[2(F+l)

由H5|=也，得Ya?—=也r，

解得2=0.則tana=0,得sina=0.

考點3

極坐標與參數(shù)方程的綜合問題（師生共研）

畫⑶（一題多解）（2020-貴州省適應性考試）曲線Ci的參數(shù)方程為

x=2+2cosa,

c.（a為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐

j—2sina

標系中，曲線。2的極坐標方程為pcos2j=sin。.

（1）求曲線Ci的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；

（2）過原點且傾斜角為磷3的射線/與曲線。2分別相交于A,B兩

點（A,8異于原點），求|。4卜|0周的取值范圍.

【解】（1）曲線Ci的普通方程為。-2）2+9=4,

即f+y2—4冗=0,

故曲線Ci的極坐標方程為p2=4pcos即p=4cos0.

由曲線C2的極坐標方程為pcos2^=sin仇兩邊同乘以p,得p2cos2?=psin仇

故曲線Ci的直角坐標方程為r=y.

TT7T

(2)方法一：射線/的極生標方程為6=(z,

把射線/的極坐標方程代入曲線Ci的極坐標方程得|OA|=p=4cosa,

把射線/的極坐標方程代入曲線C2的極坐標方程得|08|=p=黑/，

所以|OAHO8|=4cosa?^^=4tana,

因為T所以|。4|?|。5|的取值范圍是仲手，4.

X=tCOS?,兀7T

方法二：射線/的參數(shù)方程為〈“為參數(shù)，7<a^7)?把射線/的

y=ts\na04

參數(shù)方程代入曲線Ci的普通方程得產(chǎn)一4/cosa=0.

解得/i=0,/2=4COSa.故|OA|=|0=4COSa.

同理可得|08|=吃卷，所以|OAHO8|=4COSa?朋=4tana,

wvzoCXwvzoCX

因為*所以|OAHO用的取值范圍是呼，4.

惻倒用陽

處理極坐標、參數(shù)方程綜合問題的方法

(1)涉及參數(shù)方程和極坐標的綜合問題時，求解的一般方法是分別化為普通

方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.

(2)數(shù)形結(jié)合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用一

和。的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的.

Sfci七到EA(2020?六校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C

x=3cosa，

的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，在以原點為極點，x粕正半軸為極軸的極

j=sina

坐標系中，直線/的極坐標方程為psin(j-?=，i

(1)求曲線C的普通方程和直線I的傾斜角；

(2)設點P(點2),直線/和曲線C交于A,B兩點,求解|十|「風

x=3cosa,r2

消去參數(shù)a,得d+V=l，

{產(chǎn)sina,v

即C的普通方程為§+)2=1.

由psin(。一：)=啦，得psin9—pcos6=2,(*)

(x=pcos6

將1八，代入(*)，化簡得y=x+2,

ly=psin0

所以直線/的傾斜角為今

(2)由(1)知，點P(0,2)在直線/上，

71

x=tcos不

可設直線/的參數(shù)方程為彳（t為參數(shù)）,

兀

y=2+/sin

(t為參數(shù)),

[y=2十2t

代入方"+9=1并化簡，得5?+18啦/+27=0,

J=（18V2）2-4X5X27=108>0,

設A,B兩點對應的參數(shù)分別為A,d

則，|+/2=一噌<0,32=￥>0，

所以EiVO,r2<0,所以附|+|PB|=|川+同=一（力+/2）=粵3

知能提升?分層演練

[A級基礎練]

1.(2020?高考全國卷I)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為

。為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸正半軸為極粕建立極坐標系，曲

線。2的極坐標方程為4pcos16psin0+3=0.

(1)當2=1時，G是什么曲線？

(2)當左=4時，求G與C2的公共點的直角坐標.

x=cosr,

解：（1）當k=l時，Ci：消去參數(shù)/得f+V=l,故曲線G是圓

y=sint,

心為坐標原點，半徑為1的圓.

Y=COS"P,

(2)當&=4時，G:*消去參數(shù)，得G的直角坐標方程為小+6=

、y=s】n力

1.C2的直角坐標方程為4x—16y+3=0.

1

X=4J

田=1，

由'G+;.解得

[4x-16y+3=01

4,

故G與。2的公共點的直角坐標為（"，1）.

2.（2020?開封市第一次模擬考試）在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)

x=y]2cos3，

方程為"為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，x粕的正半軸為極軸建

y=sin（p

立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為°=啦.

（1）求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程；

⑵設P是曲線Cl上一點，此時參數(shù)3=；,將射線OP繞坐標原點O逆時針

旋轉(zhuǎn)5交曲線C2于點。記曲線G的上頂點為點。求△07。的面積.

2

解：⑴由已知可得G：—+j2=l,

由x=pcos/y=psin仇

可得Ci的極坐標方程為p2（l+sin20=2.

由p2=f+）2可得曲線Ci的直角坐標方程為f+9=2.

（2）設點。的橫坐標為出，

則由已知可得S?OTQ=^On\XQ\，

且點尸的直角坐標為（1,乎），

點尸的極坐標為（半，0）,

其中sin。=看，cos0=3，

點。的極坐標為俄伊局，

則有k而。s(6+*吟唔

所以S^OTQ=^\OT]-\XQ\

_lv.、/3啦一2小3啦一2小

-2X1X6-12-

3.(2020?南充市第一次適應性考試)在極坐標系中，己知曲線G：p=2cos。

和曲線C2：pcos6=3,以極點0為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角

坐標系.

(1)求曲線Ci和曲線。2的直角坐標方程；

(2)若點P是曲線G上一動點，過點P作線段0P的垂線交曲線C2于點Q，

求線段尸。長度的最小值.

112

解：(1)因為X=QCOS。，x+y=pf所以曲線G的直角坐標方程為(x—1產(chǎn)

+/=1,

曲線。2的直角坐標方程為x=3.

(2)設曲線G與x軸異于原點的交點為A,

因為PQLOP,所以P0過點A(2,0),

x=2+rcosa,

設直線尸。的參數(shù)方程為彳。為參數(shù))，

,y=/sina

代入Ci的直角坐標方程可得產(chǎn)+2fcosa=0,解得力=0,亥=-2cosa,由

題意可知HP|=|3=|2cosa\t

代入C2的直角坐標方程可得2+fcosa=3,解得尸」一.

cosa

由題意知|AQ|=M=—，

所以「Q=l”l+gQ=|2cosa|+±22啦，

當且僅當|2cosa|=-^―時取等號.

Wlo(A

所以線段PQ長度的最小值為2a.

4.(2020?福建省質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為

x=cosa,

3為參數(shù))，以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，

j=sma

12

曲線。2的極坐標方程為"2=3+；器20.

(1)求曲線C|的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線Cl相切于第二象限的點尸，與曲線。2交于4,B兩點,

7

且照WB|巧，求直線I的傾斜角.

x=cosa,

解：(1)因為曲線Ci的參數(shù)方程為J.(a為參數(shù))，

y=sina

所以曲線G的普通方程為^+/=1.

2=22

因為曲線。2的極坐標方程為p2=3+:；2。'p^+y?psin6=yf

所以曲線C2的直角坐標方程為，+三=1.

(2)如圖，設直線/的傾斜角為夕,

7[

則P在曲線Cl中的參數(shù)a=S+5,

故P(—sin￡,cos6),

x=-sinB+icosB，

所以可設直線/的參數(shù)方程為1nl.z>。為參數(shù)).

j=cos夕-Hsinp

把直線/的參數(shù)方程代入今+5=1,

得(sii?￡+3片+2(sin伙os￡?+cos2^-9=0,

設A,8對應的參數(shù)分別為h，d

COS勿一9

則t\t2=

sii?/?+3'

cos2s-99—cos2^

則解|儼5|=|m2|=

sin2/?4-3siM夕+3'

又引=4

..9—cos2^7

所以sin2s+3=?

所以sinp=

2，

故￡=$

即直線1的傾斜角為爭

[B級綜合練]

5.(2020?湖北八校弟一次聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為a的直

x=2+rcosat

線/的參數(shù)方程為r-.(f為參數(shù)).以坐標原點為極點，X軸正半軸為

y=Q3+，sina

極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2=2〃cos?+8.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線C交于4,B兩點，且-陰=4啦，求直線/的傾斜角.

x=24-rcosa,

解：(1)因為直線/的參數(shù)方程為，【產(chǎn)3+協(xié)/,為參數(shù)）'

所以當時,

直線I的普通方程為x=2,

當aw]時，直線/的普通方程為y-V3=tana(x—2).

將p?=f+產(chǎn)，pcos0=x代入p?=20cosJ+8,

得f+_/=2x+8,

所以曲線C的直角坐標方程為f+產(chǎn)-2x-8=0.

(2)由(1)知曲線。的直角坐標方程為f+)2一統(tǒng)-8=0,

將直線/的參數(shù)方程代入曲線。的直角坐標方程整理，

得i2+(2y[3s\na+2cosay_5=0.

易知/=(2，§sina+2cosa)2+20>0,

設該方程的兩個根分別為小力，

則/i+/?=-(2Ssina+2cos?)?t\b=-5.

所以=|/|-/2|=\(/|+Z2)2—4/1/2

=4［一(2V§sina+2cosa)f+20=4啦,

整理得(，5sina+cosa>=3.

故2sin(a+5)=±\/§.

因為0Wa〈兀，所以

o66

所以0+聿=胃或。+5=與，

解得a=奈或a=2r

所以直線1的傾斜角為笈片.

02

6.(2020?昆明市三診一模)已知極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點，

極軸與x軸的正半軸重合.曲線C的極坐標方程是l+2si/0=提，直線/的極坐

標方程是pcos(。-3一6=0.

(1)求曲線C和直線/的直角坐標方程；

(2)設點P(2,0),直線/與曲線C相交于點M,N,求一祈+高的值.

解：(1)曲線C可化為02+2儲5吊2。=6,

將1122代入上式，得《+3爐=6,

iy+y=p/

22

整理，得曲線C的直角坐標方程為*+5=1.

由Acos。一；)一正=0,得坐?cos。+坐psin9一啦=0,

x=pcos仇

八代人上式，化簡得x+y—2=0,所以直線/的直角坐標方程

{y=psin0

為x+y—2=0.

(2)由⑴知，點P(2,0)在直線I上，故可設直線I的參數(shù)方程為

f3K

Ix—2?fcos4,

”.371（f為參數(shù)），即（f為參數(shù)）,

y=tsm

代入曲線。的直角坐標方程，得52—2啦f+d+BX/AnG,

整理，得』一也/一1=0,

所以/=（一啦）2+4Xl=6>0,/ir2=-1<0,

由題意知，焉+看=]^+力

lx=/cosa,

7.在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為.

ly=/sma

「為參數(shù)且分0,aefo,磯，曲線C'2的參數(shù)方程為廠一：°：，

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