第十二章 二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）

第十二章二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）復合二次根式化簡典例1閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內又帶根號的數(shù)．形如，如果你能找到兩個數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達到化去一層根號的目的．例如化簡，且，．(1)填上適當?shù)臄?shù)：______；(2)當時，化簡．典例2閱讀材料：小明在學習了二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．這樣就可以將進行化簡，即：．善于思考的小明進行了以下探索：對于，若能找到兩個數(shù)m和n，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．（其中a，b，m，n均為正整數(shù)）例如：∵，∴．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)化簡；(2)化簡；(3)若，求a的值．跟蹤訓練1先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考①，②，③，④，在上述化簡過程中，第___步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為___；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：① ②跟蹤訓練2閱讀材料：小李同學在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡：．二次根式應用問題典例3如圖，在長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片則圖中空白部分的面積為（

）．A． B． C． D．典例4【閱讀下列材料】：若，，則，，∴．（注：）∵，，∴．“”稱為“基本不等式”，利用它可求一些代數(shù)式的最值及解決一些實際問題．（a、b為正數(shù)；積定和最??；和定積最大；當時，取等號．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴時，的最小值為8．【解決問題】(1)用籬笆圍成一個面積為的長方形菜園，當這個長方形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長是多少；(2)用一段長為的籬笆圍成一個長方形菜園，當這個長方形的邊長是多少時，菜園面積最大？最大面積是多少；(3)如圖，四邊形的對角線相交于點O，、的面積分別為2和3，求四邊形面積的最小值．跟蹤訓練3如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形：正方形和正方形，面積分別為1和2，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．跟蹤訓練4閱讀理解：由得，；如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當且僅當時，取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當且僅當時，即正數(shù)時，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當，式子的最小值為_；(2)如圖1，用籬笆圍一個面積為50平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個長方形的長、寬各為多少米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

(3)如圖2，四邊形的對角線相交于點，的面積分別是6和12，求四邊形面積的最小值．

過關訓練1、如圖，將長、寬的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為___________．2．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．3、閱讀下列材料，解決問題：①∵∴∴②∵∴∴……由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運用以上方法進行化簡．(1)化簡：；(2)現(xiàn)有長度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長為邊能否構成三角形？請說明理由.4、先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．5、閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積S=．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術，故這個公式又被稱為“海倫—秦九韶公式”完成下列問題：如圖，在中，，，．(1)求的面積；(2)設邊上的高為，邊上的高為，求的值．6、閱讀材料：已知a，b為非負實數(shù)，，，當且僅當“”時，等號成立．這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應用．例：已知，求代數(shù)式最小值．解：令，，則由，得．當且僅當，即時，代數(shù)式取到最小值，最小值為4．根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)已知，則當______時，代數(shù)式到最小值，最小值為______；(2)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？(3)已知，則自變量x取何值時，代數(shù)式取到最大值？最大值為多少？(4)若x為任意實數(shù)，代數(shù)式的值為m，則m范圍為______．

第十二章二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）答案全解全析復合二次根式化簡典例1閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內又帶根號的數(shù)．形如，如果你能找到兩個數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達到化去一層根號的目的．例如化簡，且，．(1)填上適當?shù)臄?shù)：______；(2)當時，化簡．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確應用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解題的關鍵．（1）將8寫成，將寫成，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．（2）將x寫成，然后將被開方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．【詳解】（1）解：，故答案為：，，；（2），，，，，．典例2閱讀材料：小明在學習了二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．這樣就可以將進行化簡，即：．善于思考的小明進行了以下探索：對于，若能找到兩個數(shù)m和n，使且，則可變?yōu)椋醋兂?，從而使得．（其中a，b，m，n均為正整數(shù)）例如：∵，∴．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)化簡；(2)化簡；(3)若，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可；（2）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可；（3）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，∴，則．【點睛】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計算方法，利用類比思想求解是解答的關鍵．跟蹤訓練1先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考①，②，③，④，在上述化簡過程中，第_步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為_；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本題考查了二次根式的性質和化簡，掌握被開方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質進行化簡是解題的關鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質即可求解；（2）根據(jù)（1）中的材料化簡即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，在上述化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯誤，故答案為：④，；（2）解：①原式；②原式．跟蹤訓練2閱讀材料：小李同學在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式將展開即可求解；（2）由（1）中所得結論結合a、m、n均為正整數(shù)，即可求解；（3），據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵∴．故答案為：．（2）解：∵∴，由（1）中結論可知：，∴，∵m、n均為正整數(shù)，∴或，當時，；當時，；∴a的值為或．（3）解：，∴．【點睛】本題考查復合二次根式的化簡．正確理解題意是解題關鍵．二次根式應用問題典例3如圖，在長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片則圖中空白部分的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的應用，算術平方根的實際應用，根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長即可得出結果．【詳解】解：∵兩張正方形紙片面積分別為和，∴它們的邊長分別為，，∴，，∴空白部分的面積故選：A．典例4【閱讀下列材料】：若，，則，，∴．（注：）∵，，∴．“”稱為“基本不等式”，利用它可求一些代數(shù)式的最值及解決一些實際問題．（a、b為正數(shù)；積定和最?。缓投ǚe最大；當時，取等號．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴時，的最小值為8．【解決問題】(1)用籬笆圍成一個面積為的長方形菜園，當這個長方形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長是多少；(2)用一段長為的籬笆圍成一個長方形菜園，當這個長方形的邊長是多少時，菜園面積最大？最大面積是多少；(3)如圖，四邊形的對角線相交于點O，、的面積分別為2和3，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)這個長方形的長、寬分別為米，米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；(2)菜園的長為50m，寬為m時，面積最大為；(3)四邊形面積的最小值為．【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，二次根式的應用．（1）設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可；（2）設垂直于墻的一邊為xm，利用矩形的面積公式得到菜園的面積關于x的關系式，再利用非負數(shù)的性質求解即可；（3）設點B到的距離為，點D到的距離為，又、的面積分別是2和3，則，，，從而求得，然后根據(jù)材料提供的信息求出最小值即可．【詳解】（1）解：設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為米，則，∴，∴所用籬笆的長為米，，∵當且僅當時，的值最小，最小值為，∴或（舍去）．∴這個長方形的長、寬分別為米，米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；（2）解：設垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊長為m，∴菜園的面積，又∵，∴當時，菜園的面積有最大值為1250，答：菜園的長為50m，寬為m時，面積最大為；（3）解：設點B到的距離為，點D到的距離為，又∵、的面積分別是2和3，∴，，∴，∴∵．∴當且僅當時，取等號，即的最小值為，∴四邊形面積的最小值為．跟蹤訓練3如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形：正方形和正方形，面積分別為1和2，那么圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求陰影部分的面積，二次根式的混合運算．正確的識圖，確定長方形的長和寬，是解題的關鍵．分別求出兩個正方形的邊長，進而得到長方形的長和寬，利用長方形的面積減去兩個正方形的面積即可得解．【詳解】解：∵兩個正方形的面積分別為1和2，∴它們的邊長分別為：和，由圖可知，長方形的長為兩個正方形的邊長之和，即為，寬為大正方形的邊長，即為，∴陰影部分的面積為；故選：B．跟蹤訓練4閱讀理解：由得，；如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當且僅當時，取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當且僅當時，即正數(shù)時，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當，式子的最小值為_；(2)如圖1，用籬笆圍一個面積為50平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個長方形的長、寬各為多少米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

(3)如圖2，四邊形的對角線相交于點，的面積分別是6和12，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1)6(2)20米(3)【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，二次根式的應用，閱讀材料，材料閱讀題是中學階段所學習的重要內容，體會材料中的數(shù)學思想與方法，學會用新方法去解決數(shù)學中的問題，對學生的要求較高，是一道拔高型的綜合題目．（1）根據(jù)材料提供的信息解答即可．（2）設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可．（3）設點B到的距離為，點D到的距離為，又、的面積分別是6和12，則，，，從而求得，然后根據(jù)材料提供的信息求出最小值即可．【詳解】（1）解：令，，則由，得，當且僅當時，即正數(shù)時，式子有最小值，最小值為6．（2）解：設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為米，則，∴，∴所用籬笆的長為米，∵當且僅當時，的值最小，最小值為20，∴或（舍去）．∴這個長方形的長、寬分別為10米，5米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米．（3）解：設點B到的距離為，點D到的距離為，又∵、的面積分別是6和12，∴，，∴，∴∵．∴當且僅當時，取等號，即的最小值為，∴四邊形面積的最小值為．過關訓練1、如圖，將長、寬的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為___________．【答案】【分析】本題主要考查圖形的拼接，根據(jù)正方形的面積等于長方形的面積進行計算即可．【詳解】解：∵長方形的長、寬∴長方形的面積為：，∵正方形是由這樣的長方形拼接面成的，∴正方形的面積為，因此正方形的邊長為，故答案為：．2．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的應用，根據(jù)三角形的面積公式可求得結果，準確化簡二次根式是解題的關鍵．【詳解】解：∵的三邊長分別為，∴，故選：C．3、閱讀下列材料，解決問題：①∵∴∴②∵∴∴……由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運用以上方法進行化簡．(1)化簡：；(2)現(xiàn)有長度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長為邊能否構成三角形？請說明理由.【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)例題以及二次根式的性質，進行計算即可求解；（2）先化簡雙重二次根式，然后根據(jù)三角形三邊關系即可求解．【詳解】（1）解：∵∴；（2）能，理由如下，∵∴∵，∵∴∵∴即∴長度分別為，，的三條線段，以這三條線段的長為邊能構成三角形【點睛】本題考查了二次根式的應用，三角形三邊關系定理，掌握二次根式的運算法則、完全平方公式以及三角形三邊關系定理是解題的關鍵．4、先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，；（2）類比例題，將9分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值即可；（3）類比例題，將8分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值即可．【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，正確解答如下：；（2）；（3）．【點睛】本題考查了二次根式的化簡和完全平方公式的運用，能夠將數(shù)據(jù)拆為正確的完全平方公式是解題的關鍵．5、閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積S=．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術，故這個公式又被稱為“海倫—秦九韶公式”完成下列問題：如圖，在中，，，．(1)求的面積；(2)設邊上的高為，邊上的高為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查三角形面積的計算，二次根式的運算，解題的關鍵是根據(jù)題意及所學的三角形的面積公式進行求解．（1）先計算，再代入海倫公式即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積求法即可求出，，即可計算2的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，所以，∴的面積為；（2）∵，∴∴，；∴．6、閱讀材料：已知a，b為非負實數(shù)，，，當且僅當“”時，等號成立．這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應用．例：已知，求代數(shù)式最小值．解：令，，則由，得．當且僅當，即時，代數(shù)式取到最小值，最小值