第五章 分式與分式方程（單元重點綜合測試）

第5章分式與分式方程（單元重點綜合測試）一、單選題1．分式有意義時的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．3．如果分式中的x，y都擴大到原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大到原來的6倍C．?dāng)U大到原來的3倍 D．縮小到原來的倍4．下列分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．5．若分式的值為0,則x的值為()A．1 B．0 C．-1 D．0或-16．下列計算結(jié)果正確的有（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．已知，，其中，下列說法正確的是（

）A． B．，互為倒數(shù)C．，互為相反數(shù) D．以上均不正確8．小華在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)弄臟了而看不清楚，被弄臟的方程是，這該怎么辦呢？他想了一想，然后看了一下書后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便補好了這個常數(shù)，并迅速地做完了作業(yè)．同學(xué)們，你能補出這個常數(shù)嗎？它應(yīng)該是（）A．2 B．3 C．4 D．59．、兩地相距160千米，甲車和乙車的平均速度之比為，兩車同時從地出發(fā)到地，乙車比甲車早到30分鐘，若求甲車的平均速度，設(shè)甲車平均速度為千米/小時，則所列方程是(

)A． B．C． D．10．觀察下列等式：第1個等式：；

第2個等式：；第3個等式：；……，按這樣的規(guī)律，第n個等式為（

）A． B．C． D．二、填空題11．約分：．12．，和的最簡公分母是．13．新型冠狀病毒（2019﹣nCoV）的平均直徑是100納米．1米＝109納米，100納米可以表示為米．（用科學(xué)記數(shù)法表示）14．計算：＝＝＝15．一項工作由甲單獨做，需天完成；如果由甲、乙兩人合作，則可提前2天完成，則乙單獨完成該項工作需要的天數(shù)為天．16．若關(guān)于x的方程無解，則．17．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且最多4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為.18．計算：.三、解答題19．（1）通分：和；（2）約分：．20．計算：(1) (2)(3) (4).(5) (6).(7) (8).(9)21．解方程(1) (2)22．先約分，再求值：

其中．23．求代數(shù)式的值，其中x=1．24．已知，求A、B的值.25．已知關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時，求這個分式方程的解．(2)小明認為當(dāng)時，原分式方程無解，你認為小明的結(jié)論正確嗎？請判斷并說明理由．26．從合肥火車站到合肥高鐵南站通常有兩種出行方式可以選擇．方式1：打車從南北一號高架，全程，交通比較擁堵；方式2：乘坐軌道交通1號線，路程，平均速度是方式1的倍，用時比方式1少2分鐘，求按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要多長時間？27．習(xí)近平總書記在全國教育大會上作出了優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)的重大部署，區(qū)委區(qū)政府積極相應(yīng)對通往某偏遠學(xué)校的一段全長為米的道路進行了改造，鋪設(shè)柏油路面．鋪設(shè)米后，為了盡快完成道路改造，后來每天的工作效率比原計劃提高，結(jié)果共用天完成道路改造任務(wù)．(1)求原計劃每天鋪設(shè)路面多少米？(2)若承包商原來每天支付工人工資為元，提高工作效率后每天支付給工人的工資增長了，完成整個工程后承包商共支付工人工資多少元？28．定義：如果一個分式能化成一個非零整式與一個分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．例如：，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中屬于“和諧分式”的是__________（填序號）；(2)分式是否為“和諧分式”，請說明理由；(3)當(dāng)整數(shù)取多少時，的值為整數(shù)？29．如果兩個分式與的和為常數(shù)，且為正整數(shù)，則稱與互為“完美分式”，常數(shù)稱為“完美值”，如分式，，，則與互為“完美分式”，“完美值”．(1)已知分式，，判斷A與B是否互為“完美分式”？若不是，請說明理由；若是，請求出“完美值”；(2)已知分式，，若與互為“完美分式”，且“完美值”，其中為正整數(shù)，分式的值為正整數(shù)．①求所代表的代數(shù)式；②求的值．30．閱讀理解：材料1：已知，求分式的值．解：活用倒數(shù)，∵．∴．材料2：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：由分母，可設(shè)，則．∵對于任意上述等式成立，∴解得∴．根據(jù)材料，解答下面問題：(1)已知，則分式的值為．(2)已知，求分式的值．(3)已知，則分式的值為．

第5章分式與分式方程（單元重點綜合測試）一、單選題1．分式有意義時的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求解即可．【解析】解：x-1≠0，解得x≠1，故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握知識點是解題關(guān)鍵．2．下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可．【解析】解：A，B，D選項中的方程，分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故不符合題意；C選項方程中的分母中含未知數(shù)，是分式方程，故符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．3．如果分式中的x，y都擴大到原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大到原來的6倍C．?dāng)U大到原來的3倍 D．縮小到原來的倍【答案】D【分析】先求出變形后的分式，再化簡即可．【解析】變形后的分式為=3×3x+3×3y3x×3y故選D【點睛】本題考查了對分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，注意：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于0的整式，分式值不變．4．下列分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可求出答案．【解析】解：（A）原式=，故A不是最簡分式；（B）原式==x-y，故B不是最簡分式；（C）原式==x-y，故C不是最簡分式；(D)的分子分母都不能再進行因式分解、也沒有公因式.故選D．【點睛】本題考查最簡分式，解題關(guān)鍵是正確理解最簡分式的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．若分式的值為0,則x的值為()A．1 B．0 C．-1 D．0或-1【答案】A【分析】根據(jù)分式等于零的條件“分子為零，分母不為零”，進行計算即可.【解析】∵=0，∴x2﹣1=0，解得：x=±1，又∵當(dāng)x=﹣1時，x2+x=0，∴x=1.故選A.【點睛】本題考查分式的值為零需要滿足的條件：（1）分子的值為零；（2）分母的值不為零；兩個條件必須同時具備，缺一不可.6．下列計算結(jié)果正確的有（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】求出每個式子的值，再進行判斷即可．【解析】解：①，正確；②，正確；③，正確；④，錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了分式的混合運算等的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力，掌握分式的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．已知，，其中，下列說法正確的是（

）A． B．，互為倒數(shù)C．，互為相反數(shù) D．以上均不正確【答案】C【分析】把A、B先分別化簡，然后觀察比較．【解析】∵B=，且A=，∴A、B互為相反數(shù)，故選C．【點睛】本題考查分式的加減運算，這類題通常的解題思路是將A、B兩個式子分別先化簡，然后再根據(jù)化簡的結(jié)果進行分析判斷，得出結(jié)論.8．小華在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)弄臟了而看不清楚，被弄臟的方程是，這該怎么辦呢？他想了一想，然后看了一下書后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便補好了這個常數(shù)，并迅速地做完了作業(yè)．同學(xué)們，你能補出這個常數(shù)嗎？它應(yīng)該是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】設(shè)這個數(shù)是a，把x=5代入方程得出一個關(guān)于a的方程，求出方程的解即可．【解析】設(shè)這個數(shù)是a，把x=5代入得：（-2+5）=1-，∴1=1-，解得：a=5．故選D．【點睛】本題主要考查對解一元一次方程，等式的性質(zhì)，一元一次方程的解等知識點的理解和掌握，能得出一個關(guān)于a的方程是解此題的關(guān)鍵．9．、兩地相距160千米，甲車和乙車的平均速度之比為，兩車同時從地出發(fā)到地，乙車比甲車早到30分鐘，若求甲車的平均速度，設(shè)甲車平均速度為千米/小時，則所列方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】甲車平均速度為4x千米/小時，則乙車平均速度為5x千米/小時，根據(jù)兩車同時從A地出發(fā)到B地，乙車比甲車早到30分鐘，列出方程即可得.【解析】甲車平均速度為4x千米/小時，則乙車平均速度為5x千米/小時，由題意得－＝，故選B.【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.10．觀察下列等式：第1個等式：；

第2個等式：；第3個等式：；……，按這樣的規(guī)律，第n個等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所給的等式，分析數(shù)字變化的規(guī)律，再進行總結(jié)即可．【解析】解：∵第1個等式：；

第2個等式：；第3個等式：；……，可以看出：等式的左邊是兩個連續(xù)整數(shù)的倒數(shù)和與它們積的倒數(shù)的差，等式右邊分母與左邊較大整數(shù)相同，分子是2，按這樣的規(guī)律，第n個等式為：故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式分析清楚存在的規(guī)律．二、填空題11．約分：．【答案】【分析】根據(jù)分式的約分解答即可．【解析】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．，和的最簡公分母是．【答案】【分析】根據(jù)求最簡公分母的方法求解即可，確定最簡公分母的一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各項系數(shù)的最小公倍數(shù)和所有字母的最高次冪的積，②如果各分母都是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當(dāng)做一個字母，再從系數(shù)、相同字母求最簡公分母．【解析】解：三個分式的分母分別為、、，且3、1、2的最小公倍數(shù)為6，三個分式的最簡公分母為．故答案為：．【點睛】本題考查了求最簡公分母，掌握確定最簡公分母的方法是解題的關(guān)鍵．13．新型冠狀病毒（2019﹣nCoV）的平均直徑是100納米．1米＝109納米，100納米可以表示為米．（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】1×10-7【分析】小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解析】∵1米＝109納米，∴100納米＝100÷109米＝1×10-7米，故答案為：1×10-7【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．14．計算：＝＝＝【答案】【分析】①根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可；②根據(jù)分式的加法運算法則和平方差公式計算即可；③根據(jù)分式的四則混合運算法則計算即可；④根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可．【解析】解：①．②．③．④．【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的四則混合運算，平方差公式，負整數(shù)指數(shù)冪等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡計算．15．一項工作由甲單獨做，需天完成；如果由甲、乙兩人合作，則可提前2天完成，則乙單獨完成該項工作需要的天數(shù)為天．【答案】【分析】設(shè)總工作量為單位“1”，由工作效率=工作總量÷工作時間可求得甲乙兩人的合作效率，然后求得乙的工作效率，從而求解．【解析】∵一項工作由甲單獨做，需a天完成，∴甲的工作效率為，又∵由甲、乙兩人合作，則可提前2天完成，∴甲、乙的合作效率為，∴乙的工作效率為，∴乙單獨完成該項工作需要的天數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題考查列分式以及分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算的計算法則及工程問題中“工作效率×工作時間=工作總量”的等量關(guān)系．16．若關(guān)于x的方程無解，則．【答案】【分析】先去分母得到整式方程，由于關(guān)于x的方程無解，則x-3=0，即x=3，然后把x=3代入即可求出m的值．【解析】解：去分母得，解得，∵關(guān)于x的方程無解.∴x=3，∴∴m=.故答案為.【點睛】此題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵在于利用方程無解進行解答.17．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且最多4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為.【答案】【分析】本題考查了根據(jù)不等式解的情況確定字母的取值范圍，解含參數(shù)的分數(shù)方程等知識，綜合性強，難度較大．先求出一元一次不等式組的解集，根據(jù)它有解且最多4個整數(shù)解，求得的取值范圍；解分式方程得，根據(jù)其解為整數(shù)，結(jié)合求得所有符合條件的的值，將這些值相加即可．【解析】解：由題意得關(guān)于x的一元一次不等式組得，∵原不等式組有解且最多4個整數(shù)解，．解分式方程得解為，∵當(dāng)是原分式方程無解，．，且，∵為整數(shù)，或4，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴．故答案為：18．計算：.【答案】【分析】利用裂項法先將每個分式化簡，再將結(jié)果相加即可.【解析】∵，……∴原式===.【點睛】此題考查分式的混合運算，運用裂項法將每個分式化簡是解題的關(guān)鍵.三、解答題19．（1）通分：和；（2）約分：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）找出兩分母的最簡公分母，通分即可；（2）原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【解析】解：（1），；（2）．【點睛】此題考查了通分及約分，通分的關(guān)鍵是找出各分母的最簡公分母，約分的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式．20．計算：(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)；(7)；(8)；(9)【分析】（1）根據(jù)積的乘方法則、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則把原式變形，再根據(jù)分式的乘除法法則計算，得到答案；（2）先因式分解再根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可；（3）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用分式乘法法則進行計算即可；（4）先尋找2個分式分母的最小公倍式，將最小公倍式作為的公分母；然后在進行減法計算，最后進行化簡；（5）找出最簡公分母，先通分，再相加減，最后化簡即可；（6）有分式的加減乘除運算進行化簡，即可得到答案；（7）先通分，然后根據(jù)分式除法的運算法則計算即可；（8）先分別對所有分子、分母因式分解，然后再化除為乘，最后約分計算即可；（9）先將減號后面兩個分式的分子和分母因式分解，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算乘法，繼而通分、計算減法即可．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式===；（4）原式=====；（5）=====；（6）原式；（7），，，，，；（8）原式；（9）原式，，，，，．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，屬于基礎(chǔ)題型，掌握分式的混合運算法則以及因式分解的知識是解答本題的關(guān)鍵．21．解方程(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可．【解析】（1）解：，去分母，得，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的根，；（2），去分母，得，解得，經(jīng)檢驗，是增根，分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．22．先約分，再求值：

其中．【答案】【分析】先把分式的分子分母分解因式，約分后把a、b的值代入即可求出答案．【解析】解：原式===當(dāng)時原式==．【點睛】本題考查了分式的約分，解題的關(guān)鍵是熟練進行分式的約分，本題屬于基礎(chǔ)題型．23．求代數(shù)式的值，其中x=1．【答案】，0【分析】運用分式的混合運算法則先行化簡，再代入求解即可．【解析】解：原式=====，當(dāng)時，原式=．【點睛】本題考查分式的化簡求值，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．24．已知，求A、B的值.【答案】A=，B=【分析】先對等式右邊通分，再利用分式相等的條件列出關(guān)于A、B的方程組，解之即可求出A、B的值.【解析】解：∵,又∵，∴，∴，解得.∴A=，B=.【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì).利用分式的基本性質(zhì)進行通分，再利用系數(shù)對應(yīng)法列出方程組是解題的關(guān)鍵.25．已知關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時，求這個分式方程的解．(2)小明認為當(dāng)時，原分式方程無解，你認為小明的結(jié)論正確嗎？請判斷并說明理由．【答案】(1)；(2)小明的結(jié)論正確，理由見解析．【分析】（1）按照解分式方程的步驟求解即可；（2）按照解分式方程的步驟求解即可．【解析】（1）解：去分母，得，當(dāng)時，得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的根；（2）解：小明的結(jié)論正確，理由如下：去分母，得，當(dāng)時，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的增根，原方程無解，∴小明的結(jié)論正確．【點睛】此題考查了分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解步驟與方法．26．從合肥火車站到合肥高鐵南站通常有兩種出行方式可以選擇．方式1：打車從南北一號高架，全程，交通比較擁堵；方式2：乘坐軌道交通1號線，路程，平均速度是方式1的倍，用時比方式1少2分鐘，求按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要多長時間？【答案】32分鐘【分析】設(shè)方式1的用時為x分鐘，根據(jù)方式2的平均速度是方式1的倍，列出方程，解之即可．【解析】解：設(shè)方式1的用時為x分鐘，由題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，∴按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要32分鐘．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握路程，速度與時間的關(guān)系．27．習(xí)近平總書記在全國教育大會上作出了優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)的重大部署，區(qū)委區(qū)政府積極相應(yīng)對通往某偏遠學(xué)校的一段全長為米的道路進行了改造，鋪設(shè)柏油路面．鋪設(shè)米后，為了盡快完成道路改造，后來每天的工作效率比原計劃提高，結(jié)果共用天完成道路改造任務(wù)．(1)求原計劃每天鋪設(shè)路面多少米？(2)若承包商原來每天支付工人工資為元，提高工作效率后每天支付給工人的工資增長了，完成整個工程后承包商共支付工人工資多少元？【答案】(1)原計劃每天鋪設(shè)路面80米；(2)完成整個工程后承包商共支付工人工資元．【分析】（1）設(shè)原計劃每天鋪設(shè)路面x米，根據(jù)工作總量=工作效率時間結(jié)合共用列方程即可得到答案；（2）根據(jù)（1）求出時間，再根據(jù)金額=單價時間即可得到答案．【解析】（1）解：設(shè)原計劃每天鋪設(shè)路面x米，由題意可得，，解得：，經(jīng)檢驗：是方程的解，答：原計劃每天鋪設(shè)路面80米；（2）解：由（1）得，（天），（天），∴總費用為：，答：完成整個工程后承包商共支付工人工資元．【點睛】本題考查分式方程解決實際應(yīng)用中的工程問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．28．定義：如果一個分式能化成一個非零整式與一個分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．例如：，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中屬于“和諧分式”的是__________（填序號）；(2)分式是否為“和諧分式”，請說明理由；(3)當(dāng)整數(shù)取多少時，的值為整數(shù)？【答案】(1)①③(2)是，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題干“和諧分式”定義，逐個化簡變形即可得到答案；（2）將式子化簡變形即可得到答案；（3）將式子化簡，根據(jù)值為整數(shù)及分式的分子是分母的整數(shù)倍得到相關(guān)數(shù)值，再根據(jù)分式有意義取舍即可得到答案；【解析】（1）解：∵①，是“和諧分式”；②不能化成一個非零整式與一個分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，所以不是“和諧分式”；③，是“和諧分式”，故答案為①③；