第4章《三角形》（解析）

2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第4章《三角形》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?東坡區(qū)期末）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點(diǎn)M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長線于點(diǎn)N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如圖所示，∠NAC是三角形ABC的一個外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵M(jìn)N⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA與∠COM互為對頂角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故選：B．2．（2分）（2022春?通州區(qū)期末）如圖的網(wǎng)格線是由邊長為1的小正方形格子組成的，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形，小明研究發(fā)現(xiàn)，內(nèi)部含有3個格點(diǎn)的四邊形的面積與該四邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)有某種關(guān)系，請你觀察圖中的4個格點(diǎn)四邊形．設(shè)內(nèi)部含有3個格點(diǎn)的四邊形的面積為S，其各邊上格點(diǎn)的個數(shù)之和為n，則S與n的關(guān)系為（）A．S＝n B．S＝n﹣ C．S＝n+2 D．S＝n+1解：如圖：由題意得：第一個圖形：n＝5，S1＝3×3﹣×3×2﹣×3×1＝＝×5+2＝n+2，第二個圖形：n＝4，S2＝×4×2＝4＝×4+2＝n+2，第三個圖形：n＝5，S3＝×3×1+×3×2＝＝×5+2＝n+2，第四個圖形：n＝8，S4＝×3×1+×3×3＝6＝×8+2＝n+2，∴S與n的關(guān)系為S＝n+2，故選：C．3．（2分）（2021春?城陽區(qū)校級期中）下列結(jié)論正確的有（）①兩條直線相交，所得的四個角中有一個角是90°，這兩條直線一定互相垂直②三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心③直線AB⊥CD，也可以說成直線CD⊥AB④直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得相交的四個角都為90°，所以兩直線垂直，正確；②三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，三角形中線的交點(diǎn)為重心，錯誤；③直線AB⊥CD，也可以說成直線CD⊥AB，正確；④根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)可以判定，正確；所以，上列結(jié)論正確的有3個，故選：C．4．（2分）（2021春?丹東期中）如圖：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，則BC＝AB．正確結(jié)論的序號是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵∠EBC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠ACB，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，故①正確；∵BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正確；∵＝＝，∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，故③正確；∵△BDF≌△ADC，∴BF＝AC∵BF＝2EC，∴AC＝2EC，∴E為AC的中點(diǎn)，∵BE⊥AC，∴BE為線段AC的垂直平分線，∴BA＝BC，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號是：①③④，故選：A．5．（2分）（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE交于點(diǎn)F，若四邊形CDFE的面積為17，則△ABC的面積是（）A．54 B．51 C．42 D．41解：如圖所示，連接CF，∵△ABC的兩條中線AD、BE交于點(diǎn)F，∴S△BCE＝S△ABD，∴S四邊形CDFE＝S△ABF＝17，∵BE是△ABC的中線，F(xiàn)E是△ACF的中線，∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，∴S△BCF＝S△BAF＝17，同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，故選：B．6．（2分）（2021春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N，將紙片沿著BN對折一次使得點(diǎn)A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點(diǎn)C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°解：如圖，由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故選：A．7．（2分）（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，射線BD，AE分別是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分線，射線BD與直線AC交于點(diǎn)D，射線AE與直線BC交于點(diǎn)E，若∠BAC＝∠ABC+102°，∠D＝∠E+27°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．41° D．42°解：設(shè)∠ABC＝x，∠E＝y(tǒng)，則∠BAC＝x+102°，∠D＝y(tǒng)+27°．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝78°﹣2x°．∵AE平分∠CAG，∴∠GAE＝＝＝39°﹣．同理可得：∠DBF＝90°﹣．∵∠GAE＝∠ABC+∠E，∴39°﹣＝x+y．∵∠DBF＝∠D+∠ACB，∴90°﹣＝y(tǒng)+27°+78°﹣2x．∴x＝18°．∴∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．故選：D．8．（2分）（2022春?歷城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．9．（2分）（2022秋?廣州期中）如圖，△ABC的三邊長均為整數(shù)，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（）個．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三邊長均為整數(shù)，△ABM的周長比△ACM的周長大2，∴AC＝為整數(shù)，∴BC邊長為偶數(shù)，∴BC＝4，6，8，10，即BC的長可能值有4個，故選：A．10．（2分）（2022春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，2∠BAE＝∠CAD，連接DE，下列結(jié)論中正確的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，∴①是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正確的，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，若按此變化規(guī)律將△OAB進(jìn)行n次變換，得到△OAnBn，則＝2n+1．解：由題意得：△OAB的面積＝OB?2＝×2×2＝2，△OA1B1的面積＝OB1?2＝×4×2＝4＝22，△OA2B2的面積＝OB2?2＝×8×2＝8＝23，…∴△OAnBn的面積＝2n+1，故答案為：2n+1．12．（2分）（2022春?新都區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AC上，AE⊥BD，若AE＝BD，CE：BE＝4：5，S△AEB＝65，則S△DCE＝20．解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如圖所示：則∠BMD＝∠CMD＝∠ANE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CDM、△CAN是等腰直角三角形，∴CM＝DM，CN＝AN，∵AE⊥BD，∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DBM＝90°，∴∠EAN＝∠DBM，∴△AEN≌△BDM（AAS），∴AN＝BM，EN＝DM，∴CN＝BM，∴CM＝BN，∴CM＝DM＝BN＝EN，設(shè)BE＝5a，則CE＝4a，BC＝BE+CE＝9a，CM＝DM＝BN＝EN＝BE＝a，AN＝BM＝BC﹣CM＝a，∴S△AEB＝BE×AN＝?5a?a＝65，∴a2＝4，∴S△DCE＝CE×DM＝?4a?a＝5a2＝20；故答案為：20．13．（2分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖，AE是∠BAD的平分線，CE是∠BCD的平分線，且AE與CE相交于點(diǎn)E．若∠D＝40°，∠B＝30°，則∠E的度數(shù)為35°．解：∵AE是∠BAD的平分線，CE是∠BCD的平分線，∴∠DAE＝∠DAB，∠DAE＝∠DAB，∵∠D+∠DCB＝∠B+∠BAD①，∠D＝40°，∠B＝30°，∴∠BAD﹣∠DCB＝10°，∴∠DAE﹣∠DCE＝5°，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE②，①+②，得80°+3∠DCE＝30°+∠E+3∠DAE，∴50°﹣3（∠DAE﹣∠DCE）＝∠E，∴∠E＝35°，故答案為：35°．14．（2分）（2022秋?張店區(qū)校級期末）已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．15．（2分）（2021春?海州區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝52°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F＝16°．解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A＝52°，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣52°）＝64°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣64°＝296°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6＝∠MBC，∠1＝∠NCB，∴∠5+∠6+∠1＝（∠NCB+∠NCB）＝148°，∴∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝180°﹣148°＝32°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，∵∠3+∠4＝∠5+∠F，∠2+∠3+∠4＝∠5+∠6+∠E，即∠2＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，∴2∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝×32°＝16°．故答案為：16°．16．（2分）（2021春?沭陽縣期中）如圖，在△ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，若△ABC的面積為16cm2，則△BEF（陰影部分）的面積等于4cm2．解：如圖所示：∵點(diǎn)D是BC的中心，∴BD＝CD，∴，又∵S△ABC＝16，∴，同理可得：SBDE＝4，S△CDE＝4，又∵S△BCE＝S△BDE+SCDE，∴S△BCE＝4+4＝8，又∵F是EC的中點(diǎn)，∵＝，故答案為4．17．（2分）（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖點(diǎn)B在線段AC上（BC＞AB），在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB＝1時，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB＝2時，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB＝3時，△AME的面積記為S3……S101﹣S100＝．解：連接BE，∵在正方形ABMN正方形BCEF中，∠NAB＝∠CBF＝90°，AM平分∠NAB，BE平分∠FBC，∴∠EBC＝∠MAB＝45°，∴AM∥BE，∴△ABM與△AME同底等高，∴△ABM與△AME面積相等，∴AB＝101時，S△AME＝×1012，AB＝100時，S△AME＝，∴S101﹣S100＝＝；故答案為：．18．（2分）（2021春?青羊區(qū)校級期中）△ABC中，∠A＝90°．現(xiàn)進(jìn)行第一次操作：如圖1作射線BA1，使得∠ABA1＝∠ABC，作射線CA1，使得∠ACA1＝∠ACD．再進(jìn)行第二次操作：如圖2作射線BA2，使得∠A1BA2＝∠A1BC，作射線CA2，使得∠A1CA2＝∠A1CD．再進(jìn)行第三次操作：如圖3作射線BA3使得∠A2BA3＝∠A2BC，作射線CA3，使得∠A2CA3＝∠A2CD．則∠A3＝20°．解：第一次操作：∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ABA1＝∠ABC，∠ACA1＝∠ACD，∴∠DCA1＝（90°+∠ABC）＝45°+，∠CBA1＝∠ABC，第二次操作：∵∠A1BA2＝∠A1BC，∠A1CA2＝∠A1CD，∴A2BC＝∠A1BC＝∠ACB，∠A2CD＝∠A1CD＝（90°﹣∠ABC）＝60°﹣∠ABC，第三次操作：∵∠A2BA3＝∠A2BC，∠A2CA3＝∠A2CD，∴∠A3BC＝∠ACB，∠A3CD＝40°﹣∠ABC，∴∠A3＝∠A3CD﹣∠A3BC＝40°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；故答案為：20°．19．（2分）（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為或3或或cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等．解：設(shè)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動的時間為ts，①點(diǎn)P由B向C運(yùn)動時，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3÷1＝3（cm/s）；②點(diǎn)P由B向C運(yùn)動時，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t＝，此時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為：5÷＝（cm/s）；③點(diǎn)P由C向B運(yùn)動時，CP＝3t﹣8，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t＝，∴BP＝CQ＝3，此時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3÷＝（cm/s）；④點(diǎn)P由C向B運(yùn)動時，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此時，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為5÷4＝（cm/s）；綜上所述：點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；故答案為：或3或或．20．（2分）（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，且AE：EB＝2：3，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，且BD：DC＝1：2，AD與CE相交于點(diǎn)F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為60．解：連接FB，如圖所示：設(shè)S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵，∴S△AEF＝b，∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD＝S△ACD＝（16+b），S△ACE＝（16+2a），∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+b﹣2a＝（16+2a）﹣b，∴10a﹣6b＝64，∵a+b＝16，，解得，∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四邊形BDFE＝（32+b）+b+16＝40+20＝60．故答案為：60．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2022春?鄄城縣期末）已知如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D、E在BC上，點(diǎn)G在CA的延長線上，EG交AB于點(diǎn)F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG與∠G相等嗎？為什么？解：∠AFG＝∠G，證明如下：∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），∠BEF+∠GED＝180°（平角的定義），∴∠GED＝∠ADC（同角的補(bǔ)角相等）．∴AD∥GE（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFG＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠G＝∠CAD（兩直線平行，同位角相等），∵AD是∠BAC的平分線（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分線的定義），∴∠AFG＝∠G（等量代換）．22．（8分）（2022春?侯馬市期末）綜合與探究小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖1，∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合）．探究與發(fā)現(xiàn)：若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．（1）①若∠BAO＝60°，則∠D＝45°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的運(yùn)動而發(fā)生變化？并說明理由；（2）拓展延伸：如圖2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度數(shù)．解：（1）①∵∠ABN是△AOB的一個外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一個外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，故答案為：45°；②∠D的度數(shù)不會隨A，B的運(yùn)動而發(fā)生變化，理由：∵∠ABN是△AOB的一個外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一個外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，∴∠D的度數(shù)不會隨A，B的運(yùn)動而發(fā)生變化；（2）∵∠ABN是△AOB的一個外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵∠ABC是△ABD的一個外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝30°，∴∠D的度數(shù)為30°．23．（8分）（2022春?綠園區(qū)期末）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動，點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合．【探究】如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，則∠ABI＝25°．②在點(diǎn)A、B的運(yùn)動過程中，∠AIB的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出∠AIB的度數(shù)；若變化，請說明理由．【拓展】如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長線交AI的延長線于點(diǎn)D．在點(diǎn)A、B的運(yùn)動過程中，∠ADB的大小是否會發(fā)生變化？若不變，直接寫出∠ADB的度數(shù)；若變化，直接寫出∠ADB的度數(shù)的變化范圍．解：【探究】①∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案為：25；②不變，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不變，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴點(diǎn)A、B在運(yùn)動的過程中，∠ADB＝45°．24．（8分）（2022春?欽北區(qū)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過點(diǎn)P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）問題思考：按小明的思路，請你求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，請你判斷∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；（3）問題解決：我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以解決許多問題，隨著以后的學(xué)習(xí)你還會發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途．請你試試構(gòu)造平行線解決以下問題．已知：如圖3，三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．解：（1）如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；（2）∠APC＝α+β，理由如下：如圖2，過P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，（3）證明：如圖3，過點(diǎn)A作MN∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．25．（8分）（2022春?平潭縣期末）已知直線a∥b，直角三角形ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB＝90°．（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG＝56°，則∠CEF＝146°；（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF＝180°，請寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝135°，延長AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動點(diǎn)，請用平行的相關(guān)知識，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．解：（1）如圖，作CP∥a，∵a∥b，CP∥a，∴CP∥a∥b，∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．故答案為：146°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：如圖，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∵∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時，作PN∥a，連接PQ，OP，則PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，∴∠OPQ＝