第26講 二元一次不定方程

第26講二元一次不定方程一、第26講二元=次不定方程（練習(xí)題部分）1.判斷下列二元一次方程有無(wú)整數(shù)解，并說(shuō)明理由．（1）2x+6y=5；（2）4x+6y=8；（3）3x+5=6y+11；（4）．2.求下列二元一次方程的解．（1）2x+6y=7；（2）-3x-3=4y+6．3.求下列二元一次方程的整數(shù)解．（1）5x+10y=20；（2）3x-4y=7；（3）4x+7y=8；（4）13x+30y=4．4.求下列方程的正整數(shù)解．（1）11x+15y=20：（2）2x+5y=21；（3）5x-2y=3：（4）5x+8y=32．5.試將100分成兩個(gè)正整數(shù)之和，其中一個(gè)為11的倍數(shù)，另一個(gè)為17的倍數(shù)．6.小明在甲公司打工．幾個(gè)月后同時(shí)又在乙公司打工．甲公司每月付給他薪金470元，乙公司每月付給他薪金350元．年終小明從這兩家公司共獲得薪金7620元．問(wèn)他在甲、乙兩公司分別打工幾個(gè)月?

答案解析部分一、第26講二元=次不定方程（練習(xí)題部分）1.【答案】（1）解：∵2和6的最大公約數(shù)為2，25，

∴原方程無(wú)整數(shù)解.

（2）解：∵2和6的最大公約數(shù)為2，而2|8，

∴原方程有整數(shù)解.

（3）解：∵3x+5=6y+11；

∴3x-6y=6；

∵3和6的最大公約數(shù)為3，而3|6，

∴原方程有整數(shù)解.

（4）解：變形為：3x+2y=11，

∵3和2的最大公約數(shù)為1，而1|11，

∴原方程有整數(shù)解.【解析】【分析】對(duì)于整系數(shù)方程ax+by=c，a與b的最大公約數(shù)為d，由定理1可知：若d|c，則原方程有整數(shù)解；若dc,則原方程沒(méi)有整數(shù)解．2.【答案】（1）解：∵2x+6y=7，

∴x=，

∴原方程的解為：，（k為任意數(shù)）.

（2）解：∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9，

∴x=-=-3-，

∴原方程的解為：，（k為任意數(shù)）.【解析】【分析】將其中的一個(gè)未知數(shù)看作常數(shù)，解出另一個(gè)未知數(shù)，看作常數(shù)的未知數(shù)取為任意數(shù)，從而可得原方程的解.3.【答案】（1）解：由5x+10y=20得x+2y=4，

∴x=4-2y，

∴x=0，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)）.

（2）解：∵3x-4y=7，

∴x==2+y+，

∵x為整數(shù)，

∴3|1+y，

∴y=2，x=5，

∴x=5，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)）.

（3）解：∵4x+7y=8，

∴x==2-，

∵x為整數(shù)，

∴4|7y，

∴y=4，x=-5，

∴x=-5，y=4是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)）.

（4）解：∵13x+30y=4，

∴x==1-2y-，

∵x為整數(shù)，

∴13|9+4y，

∴y=1，x=-2，

∴x=-2，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)）.【解析】【分析】由定理1整系數(shù)方程ax+by=c有整數(shù)解的充分且必要條件是a與b的最大公約數(shù)d能整除c，我們知道，若ax+by=c有解，則a與b的最大公約數(shù)d|c．這時(shí)，我們可以在原方程的兩邊同時(shí)約去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一個(gè)同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．這時(shí)a1與b1的最大公約數(shù)為1．因此，只要討論d=1的情況即可．我們有如下的定理：

定理2若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱(chēng)為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱(chēng)通解)為(k為任意整數(shù))．因此，當(dāng)d=1時(shí)，ax+by=c有解，并且解這個(gè)二元一次方程的關(guān)鍵在于找它的一組特解x0、y0.4.【答案】（1）解：∵11x+15y=20，

∴x==2-y-，

∵x是整數(shù)，

∴11|2+4y，

∴y=5，x=-5，

∴x=-5，y=5是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：＜k＜，

∴不存在整數(shù)k，

∴原方程無(wú)正整數(shù)解.

（2）解：∵2x+5y=21，

∴x==10-3y+，

∵x是整數(shù)，

∴2|1+y，

∴y=1，x=8，

∴x=8，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=-1，或k=0，

∴原方程正整數(shù)解為：或.

（3）解：解：∵5x-2y=3，

∴x=，

∵x是整數(shù)，

∴5|3+2y，

∴y=1，x=1，

∴x=1，y=1是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：k＜，

∴原方程正整數(shù)解為：（k=0，1，2，3……）.

（4）解：∵5x+8y=32，

∴x==6-2y+（1+y），

∵x是整數(shù)，

∴1+y是5的倍數(shù)，

∴y=4，x=0，

∴x=0，y=4是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：，（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：0＜k＜，

∴不存在整數(shù)k，

∴原方程無(wú)正整數(shù)解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整數(shù)解時(shí)，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式組．由不等式組解得k的范圍．在這范圍內(nèi)取k的整數(shù)值，代人通解，即得這個(gè)不定方程的所有正整數(shù)解．5.【答案】解：依題可設(shè)：

100=11x+17y，

原題轉(zhuǎn)換成求這個(gè)方程的正整數(shù)解，

∴x==9-2y+，

∵x是整數(shù)，

∴11|1+5y，

∴y=2，x=6，

∴x=6，y=2是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

∴k=0，

∴原方程正整數(shù)解為：.

∴100=66+34.

【解析】【分析】根據(jù)題意可得：100=11x+17y，從而將原題轉(zhuǎn)換成求這個(gè)方程的正整數(shù)解；求二元一次不定方程的正整數(shù)解時(shí)，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式組．由不等式組解得k的范圍．在這范圍內(nèi)取k的整數(shù)值，代人通解，即得這個(gè)不定方程的所有正整數(shù)解．6.【答案】解：設(shè)他在甲公司打工x個(gè)月，在乙公司打工y個(gè)月，依題可得：

470x+350y=7620，

化簡(jiǎn)為：47x+35y=762，

∴x==16-y+，

∵x是整數(shù)，

∴47|10+12y，

∴y=7，x=11，

∴x=11，y=7是原方程的一組解，

∴原方程的整數(shù)解為：（k為任意整數(shù)），

又∵x＞0，y＞0，

∴，

解得：-＜k＜，

k=0，

∴原方程正整數(shù)解為：.

答：他在甲公司打工11個(gè)月，在乙公司打工7個(gè)月.

【解析】【分析】設(shè)他在甲公司打工x個(gè)月，在乙公司打