第16講 代數(shù)式的化簡與求值（教師版）

第16講代數(shù)式的化簡與求值（教師版）一、第16講代數(shù)式的化簡與求值1.已知x是最大的負(fù)整數(shù)，y是絕對值最小的有理數(shù)，求代數(shù)式3x3-10x2y+5xy2-13y3的值．【答案】解：因?yàn)閤是最大的負(fù)整數(shù)，

所以x=-1．

因?yàn)閥是絕對值最小的有理數(shù)，

所以y=0．

因此3x3-10x2y+5xy2-13y3

=3×(-1)3-10×(-1)2×0+5×(-1)×02-13×03

=-3.

即所求的代數(shù)式的值為-3．【解析】【分析】對于比較簡單的代數(shù)式求值，只要將字母的取值代入計(jì)算，就可以解決問題，當(dāng)然，有時(shí)還需要知道一些常用的知識(shí)，如本例中最大的負(fù)整數(shù)，絕對值最小的有理數(shù)等．2.已知x=5時(shí)，代數(shù)式ax2+bx-5的值是10．求x=5時(shí)，代數(shù)式ax2+bx+5的值．【答案】解:對于相同的x值，ax2+bx+5-(ax2+bx-5)=10，

當(dāng)x=5時(shí)，

ax2+bx+5

=（ax2+bx-5）+10

=10+10

=20.【解析】【分析】應(yīng)注意觀察兩個(gè)代數(shù)式之間的關(guān)系：ax2+bx+5-(ax2+bx-5)=10，在本題中系數(shù)a、b不必求出也無法求出；將x=5分別代入即可求得.3.已知a+b=1，求代數(shù)式a3+3ab+b3的值．【答案】解:用代入法．

由a+b=1知b=1-a，故

a3+3ab+b3

=a3+3a(1-a)+(1-a)3

=a3+3a-3a2+1-3a+3a2-a3

=1．【解析】【分析】由某個(gè)條件求一個(gè)代數(shù)式的值，這類問題常常變更條件，用代入的方法求得．

此外，也常將要求值的代數(shù)式變形，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)l件代入求值。如本題可用下面的解法．

a3+3ab+b3

=(a3+b3)+3ab

=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab

=(a2-ab+b2)+3ab

=a2+2ab+b2

=(a+b)2

=1．

或a3+3ab+b3

=a3+3ab(a+b)+b3

=(a+b)3

=1．4.已知代數(shù)式，當(dāng)x=0時(shí)，值為2；當(dāng)x=3時(shí)值為1．求x=-3時(shí)，代數(shù)式的值．【答案】解:因?yàn)閤=0時(shí)，代數(shù)式的值為2，所以有

，

即c=2．

當(dāng)x=3時(shí)，a×33+b×3+2=1．

注意x=-3時(shí)，的值與x=3時(shí)，的值互為相反數(shù)．

所以x=-3時(shí)，

=

=-

=-1+4

=3．【解析】【分析】將x=0代入代數(shù)式求得c=2，當(dāng)x=-3時(shí)，ax3+bx的值與x=3時(shí)，ax3+bx的值互為相反數(shù)；將x=-3代入代數(shù)式化簡將x=3時(shí)值代入即可求得.5.若，求的值．【答案】解:∵x3?3x?1=0，

∴2x3-3x2-11x+8

=2x(x2-3x-1)+3(x2-3x-1)+11

=2x×0+3×0+11

=11．【解析】【分析】在代數(shù)式求值時(shí)，如果字母所取的值沒有明確給出或比較難求，無法直接代入計(jì)算．這時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)，將需求值的代數(shù)式作適當(dāng)變形，再將已知條件(如一個(gè)代數(shù)式的值)整體代入，往往能得到簡捷的解答.本題亦可視為作除法，2x3?3x2?11x+8除以x3?3x?1，余式為11。6.已知a-b=2，b-c=1，求代數(shù)式a2+b2+c2?ab?bc?ca的值．【答案】解：由已知可得，

a=b+2，c=b-1，

代入得：

原式=(b+2)2+b2+(b-1)2-(b+2)b-b(b-1)-(b+2)(b-1)

=b2+4b+4+b2+b2-2b+1-b2-2b-b2+b-b2-b+2

=7．【解析】【分析】將已知條件變形，使a、c都用b表示，再代入代數(shù)式.通常得到b的多項(xiàng)式．但本題中，b的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)都成為0，所以得出原代數(shù)式的值．

如果熟悉代數(shù)式的變形，由

2()

=()+()+()

=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2．

再將以a-b=2，b-c=1及

a-c=(a-b)+(b-c)=2+1=3

代入，亦可求出原式的值為(22+32+12)÷2=7．

這種方法比前一種好．因?yàn)閍、b、c的“地位平等”．7.已知a、b、c為有理數(shù)，且滿足a=8-b，c2=ab-16．求a、b、c的值．【答案】解:將a=8-b代入c2=ab-16得

c2=(8-b)b-16，

即c2+(b-4)2=0．

①

由c2≥0，(b-4)2≥0

知c=0，b=4，

從而a=8-b=4．【解析】【分析】b2-8b+16=(b-4)2正好是一個(gè)完全平方式．有時(shí)可增減或拆開一些項(xiàng)，使一個(gè)二次式變成一個(gè)完全平方式加上常數(shù)．例如

=這稱為配方．8.已知。求（1）（2）【答案】（1）解:=

（2）解:=

=33-3×3

=18．【解析】【分析】說明本題利用乘法公式(a±b)2=a2+b2±2ab，(a±b)3=a3±b3±3ab(a±b)．9.已知x+y=3，xy=2．求（1）x3+y3；（2）x4+y4．【答案】（1）解:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)

=3(x2+2xy+y2-3xy)

=3[(x+y)2-3xy]

=3×(32-3×2)

=9.

（2）解:x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2

=(32-2×2)2-2×22

=17．【解析】【分析】x、y的對稱多項(xiàng)式(即x、y互換后不變的多項(xiàng)式，如x3+y3、x4+y4)都可以用x+y與xy表示．

本題其實(shí)就是x+y=3，xy=2的情況．

本題亦可求出x=1，y=2或x=2，y=1，然后得出x3+y3與x4+y4的值．但大多數(shù)情況，