2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2.2直線與拋物線的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE9-2.4.2.2直線與拋物線的位置關(guān)系自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入一只很小的燈泡發(fā)出的光，會分散地射向各方，但把它裝在手電筒里，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)整，就能射出一束較強(qiáng)的平行光，這是什么緣由呢？提示：手電筒內(nèi)，在小燈泡的后面有一個反光鏡，鏡面的形態(tài)是一個由拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，這種曲面叫拋物面，拋物線有一條重要性質(zhì)，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物面上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸射出，手電筒就是利用這個原理設(shè)計(jì)的．新知導(dǎo)學(xué)直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù)可以有__0個、1個或2個__.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，則直線與拋物線__相切__，若Δ>0，則直線與拋物線__相交__，若Δ<0，則直線與拋物線__沒有公共點(diǎn)__.特殊地，當(dāng)直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物線有__一__個公共點(diǎn)．預(yù)習(xí)自測1．在拋物線y2＝8x中，以(1，－1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是(C)A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0[解析]設(shè)弦兩端點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y1＋y2＝－2.∵A、B在拋物線上，∴yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－4，∴直線AB方程為y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為(C)A．45° B．60°C．90° D．120°[解析]設(shè)拋物線方為y2＝2px(p>0)．如圖，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.3．直線y＝x＋1與拋物線y2＝2px相交，所得弦長為2eq\r(6)，則此拋物線方程為(C)A．y2＝2x B．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不對[解析]把x＝y(tǒng)－1代入y2＝2px得y2－2py＋2p＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝2p，k＝1，由弦長eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(6)，可解得p＝－1或3.∴拋物線方程為y2＝－2x或y2＝6x.故選C．4．(2024·黑龍江省學(xué)業(yè)水平考試)直線l過拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)若|BF|＝2，則|AF|＝(B)A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(12,5) D．eq\f(8,3)[解析]可得拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)F(eq\f(1,2)，0)，準(zhǔn)線方程為：x＝－eq\f(1,2)，由拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，故點(diǎn)B在第四象限，設(shè)B(x1，y1)，(x1＞0，y1＜0)，由|BF|＝2，由拋物線定義可得：x1＋eq\f(1,2)＝2，x1＝eq\f(3,2)，代入拋物線方程可得：y1＝－eq\r(3)，故B(eq\f(3,2)，－eq\r(3))，設(shè)AB的直線方程為：eq\f(y－0,－\r(3)－0)＝eq\f(x－\f(1,2),\f(3,2)－\f(1,2))，化簡可得：y＝－eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),2)，聯(lián)立直線與拋物線：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x＋\f(\r(3),2),y2＝2x))，可得3x2－5x＋eq\f(3,4)＝0，解得：x＝eq\f(3,2)或x＝eq\f(1,6)，故A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,6)，|AF|＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，故選B．5．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為eq\r(3)的直線與l相交于A，與C的一個交點(diǎn)為B，若Aeq\o(M,\s\up6(→))＝Meq\o(B,\s\up6(→))，則p＝__2__.[解析]本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系．如圖，由斜率為eq\r(3)，∠BMx＝60°，可得BP＝eq\f(1,2)AB，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，∴M為中點(diǎn)．∴BP＝BM，∴M為焦點(diǎn)，即eq\f(p,2)＝1，∴p＝2.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?直線與拋物線的位置關(guān)系典例1已知拋物線C：y2＝－2x，過點(diǎn)P(1,1)的直線l斜率為k，當(dāng)k取何值時(shí)，l與C有且只有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)，無公共點(diǎn)？[思路分析]直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù)，就是直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組解的個數(shù)，由判別式可探討之．[規(guī)范解答]直線l：y－1＝k(x－1)，將x＝－eq\f(y2,2)代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0.(1)k＝0時(shí)，把y＝1代入y2＝－2x得，x＝－eq\f(1,2)，直線l與拋物線C只有一個公共點(diǎn)(－eq\f(1,2)，1)．(2)k≠0時(shí)，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.由Δ＝0得，k＝eq\f(1±\r(3),2)，∴當(dāng)k<eq\f(1－\r(3),2)或k>eq\f(1＋\r(3),2)時(shí)，Δ<0，l與C無公共點(diǎn)．當(dāng)k＝eq\f(1±\r(3),2)時(shí)，Δ＝0，l與C有且只有一個公共點(diǎn)．當(dāng)eq\f(1－\r(3),2)<k<eq\f(1＋\r(3),2)且k≠0時(shí)，Δ>0，l與C有兩個公共點(diǎn)．綜上知，k<eq\f(1－\r(3),2)或k>eq\f(1＋\r(3),2)時(shí)，l與C無公共點(diǎn)；k＝eq\f(1±\r(3),2)或k＝0時(shí)，l與C只有一個公共點(diǎn)；eq\f(1－\r(3),2)<k<0或0<k<eq\f(1＋\r(3),2)時(shí)，l與C有兩個公共點(diǎn)．『規(guī)律總結(jié)』直線與拋物線交點(diǎn)個數(shù)的推斷方法設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0，①若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，無交點(diǎn)．②若a＝0，直線與拋物線有一個交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合，因此直線與拋物線有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．┃┃跟蹤練習(xí)1__■過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為eq\f(π,4)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|FA|·|FB|的值為__8__.[解析]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為eq\f(π,4)的直線方程為y＝x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(xiàn)(1,0)，|FA|·|FB|＝eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))·eq\r(x2－12＋y\o\al(2,2))，＝eq\r(x\o\al(2,1)－2x1＋1＋4x1)·eq\r(x\o\al(2,2)－2x2＋1＋4x2)＝eq\r(x1＋12)·eq\r(x2＋12)＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝1＋6＋1＝8.命題方向?與拋物線有關(guān)的中點(diǎn)弦問題典例2已知A、B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求拋物線E的方程；(2)求直線AB的方程．[規(guī)范解答](1)由于拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所求拋物線方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1①，yeq\o\al(2,2)＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，所以所求直線AB的方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.『規(guī)律總結(jié)』“中點(diǎn)弦”問題的兩種解題策略(1)點(diǎn)差法：將兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，作差由k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)求斜率，再由點(diǎn)斜式求解．(2)傳統(tǒng)法：設(shè)直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點(diǎn)縱(或橫)坐標(biāo)的2倍，從而求斜率．┃┃跟蹤練習(xí)2__■若本例中條件“線段AB恰被M(2,1)所平分”改為“線段AB恰被M(1,1)所平分”，問這樣的直線AB是否存在？若存在，求出直線AB的方程，若不存在，說明理由．[解析]存在．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1①yeq\o\al(2,2)＝4x2②且y1＋y2＝2，②－①得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝4(x2－x1)∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，∴直線AB的方程為y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.命題方向?拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例3已知點(diǎn)A、B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；(2)求證：直線AB過定點(diǎn)．[規(guī)范解答](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∴yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2＝－4p2y1y2∴y1y2＝－4p2∴x1x2＝4p2(2)證明：yeq\o\al(2,1)＝2px1①yeq\o\al(2,2)＝2px2②②－①得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝2p(x2－x1)∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)∴直線AB的斜率為eq\f(2p,y1＋y2)∴直線AB的方程為y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)即y＝eq\f(2p,y1＋y2)x＋eq\f(y1y2,y1＋y2)也就是y＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－2p)∴直線AB過定點(diǎn)(2p,0)．『規(guī)律總結(jié)』應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧1．拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便．2．軸對稱問題，一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系．3．在直線和拋物線的綜合題中，常常遇到求定值、過定點(diǎn)問題．解決這類問題的方法許多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．4．圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要探討問題中的幾何量，通過運(yùn)算找到定點(diǎn)、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點(diǎn)、定值．┃┃跟蹤練習(xí)3__■(2024－2024學(xué)年遼寧葫蘆島協(xié)作?？荚?已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程是x＝－2.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F且傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線C上，且|MF|＝6，求△OFM的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．[解析](1)因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線方程是x＝－2，所以eq\f(p,2)＝2，即p＝4，故拋物線C的方程為y2＝8x.(2)因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F，且傾斜角為eq\f(π,4)，所以直線l的方程是y＝x－2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x,y＝x－2))，整理得x2－12x＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝12，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.(3)設(shè)M(x0，y0)，因?yàn)閨MF|＝6，所以x0＋eq\f(p,2)＝6，所以x0＝4，將(4，y0)代入方程y2＝8x，解得y0＝±4eq\r(2)，則△OFM的面積為eq\f(1,2)|OF||y0|＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).學(xué)科核心素養(yǎng)與拋物線有關(guān)的最值問題的再探究(1)具備定義背景的最值問題，可用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理．(2)最值問題常用方法是由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解．典例4已知點(diǎn)F(1,0)，點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l：x＝－1的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→)).(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡C與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)A，B是軌跡C上異于點(diǎn)M的不同的兩點(diǎn)，且滿意eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(MB,\s\up6(→))|的取值范圍．[規(guī)范解答](1)設(shè)P(x，y)，則Q(－1，y)，∵eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，F(xiàn)(1,0)，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，即y2＝4x，∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x.(2)由(1)知，M(0,0)，設(shè)A(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),4)，y2－y1)，∵eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),16)＋y1(y2－y1)＝0，又y1≠y2，y1≠0，∴y2＝－(y1＋eq\f(16,y1))，∴yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋eq\f(256,y\o\al(2,1))＋32≥2eq\r(256)＋32＝64，當(dāng)且僅當(dāng)yeq\o\al(2,1)＝eq\f(256,y\o\al(2,1))，即y1＝±4時(shí)取等號．又|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(y\o\al(2,2),4)2＋y\o\al(2,2))＝eq\f(1,4)eq\r(y\o\al(2,2)＋82－64)(yeq\o\al(2,2)≥64)，∴當(dāng)yeq\o\al(2,2)＝64，即y2＝±8時(shí)，|eq\o(MB,\s\up6(→))|min＝8eq\r(5)，故|eq\o(MB,\s\up6(→))|的取值范圍是[8eq\r(5)，＋∞)．『規(guī)律總結(jié)』常見題型及處理方法：(1)求拋物線上一點(diǎn)到定直線的最小距離．可以利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出所求的距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，亦可轉(zhuǎn)化為拋物線的切線與定直線平行時(shí)兩直線間的距離問題．(2)求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值問題．可以利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出所求距離，再利用函數(shù)求最值的方法求解，要留意拋物線上點(diǎn)的設(shè)法及變量的取值范圍．(3)方法：設(shè)P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，則x0＝eq\f(y\o\al(2,0),2p)，即P(eq\f(y\o\al(2,0),2p)，y0)．由兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式表示出所求距離，再用函數(shù)求最值的方法求解．(4)此類問題應(yīng)留意拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，尤其范圍的應(yīng)用．如：y2＝2px(p>0)，則x≥0，y2≥0.┃┃跟蹤練習(xí)4__■已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)，動點(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上運(yùn)動，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是__(0,0)__.[解析]設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y2,4)，y))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2，y))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4，y))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\