2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共10小題，共40分。1.已知集合A=xx(x?3)>0，B=xx+2>0，那么集合A.(?2,+∞) B.(?2,3)

C.(?2,0)∪(3,+∞) D.(0,+∞)2.設(shè)i為虛數(shù)單位，a,b∈R，且a+bi=2i(1+i)，則a+b=(

)A.?4 B.0 C.?4i D.43.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是(

)A.y=x3+1 B.y=xsinx 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，點(diǎn)P(?1,2)在角α的終邊上，則sin2α=(

)A.?45 B.45 C.?5.過點(diǎn)(2,1)的直線l與圓x2+y2?2x?3=0相交于A,B兩點(diǎn)，那么當(dāng)|AB|取得最小值時(shí)，直線A.x?y?3=0 B.x?y?1=0 C.x+y?3=0 D.x+y?1=06.在?ABC中，則“AC?AB=AB2”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若直線y=2x與雙曲線C:x2a2?y2bA.1<e≤3 B.1<e≤5 C.8.在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)?，衰減后的光功率(單位：W)可表示為P(z)=P0e?αz，其中P0為起始光功率(單位：W)，α為衰減系數(shù)，z為接收信號處與發(fā)射器間的距離(單位：km).已知距離發(fā)射器3.5km處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當(dāng)距離由z1km變到z2A.z2?z1=7 B.z29.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2?xy+1=0，則(

)A.x2+y2≥5 B.x210.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，A.W是平行四邊形，且周長為22+25

B.W是平行四邊形，且周長為32+25二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為

．12.在?ABC中，若a=3，b=4，cosB=14，則sinA=13.若x+2xn的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的一個(gè)取值是

，且此時(shí)常數(shù)項(xiàng)等于

.(14.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)AD=2OD=2，∠AOB=23π，則扇面(圖中扇環(huán))部分的面積是

，|OD?CB|=15.已知無窮數(shù)列an滿足an+1①存在a1，使得集合n②存在a1，使得集合n③對于任意的a1，集合n④當(dāng)a1=1時(shí)，集合其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，M、N(1)求證：MN//平面A1(2)若AB⊥A1C，求二面角17.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2，從條件①、條件②、條件(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間?π2,m條件①：f(0)=?1；條件②：函數(shù)f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為π2條件③：函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=7π注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.為踐行五育并舉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校擬開設(shè)課外體育活動(dòng)課.現(xiàn)從全校高一學(xué)生中分層隨機(jī)抽樣出100名男生和80名女生，對其選課意愿作調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：

男生女生選擇不選擇選擇不選擇排球50505030籃球25751565足球7525575乒乓球10901070假設(shè)所有學(xué)生是否選擇排球、籃球、足球、乒乓球相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)假設(shè)全校共有1800名高一學(xué)生，直接判斷下列結(jié)論的正誤．結(jié)論A：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)全校有800名高一學(xué)生有選擇足球課的意愿；結(jié)論B：樣本中男生對排球課和籃球課都不選擇的人數(shù)可以為20；(2)若從該校全體高一男生中隨機(jī)抽取2人，全體高一女生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中選擇排球課的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記樣本中男生選擇排球、籃球、足球、乒乓球課的頻率依次為x1,x2,x3,x4，其方差為s1219.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)T且斜率為k的直線交橢圓E于點(diǎn)C,D，線段CD的垂直平分線交y軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為P.若四邊形PCQD為正方形，求k的值．20.已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)?x，其中a>0(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處切線的方程；(2)當(dāng)a=2時(shí)，證明：對任意的t∈(0,+∞)，曲線y=f(x)總在直線y=x+t的下方；(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且0<21.已知數(shù)列A:a1,a2,?,a2m為2m個(gè)數(shù)1,2,?,2m的一個(gè)排列，其中m∈N?，且m≥3.若在集合1,2,?,2m?1(1)當(dāng)m=3時(shí)，判斷數(shù)列B:1,5,3,4,6,2和數(shù)列C:6,5,2,4,1,3是否具有性質(zhì)P；(2)若數(shù)列a2n?1和a2n(n=1,2,?,m)均為等差數(shù)列，且a1=1，a2m=2(3)在所有由1,2,?,2m的排列組成的數(shù)列中，記具有性質(zhì)P的數(shù)列的個(gè)數(shù)為S，不具有性質(zhì)P的數(shù)列的個(gè)數(shù)為T，證明：對于任意m(m≥3)，S>T．

參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.C

6.A

7.B

8.A

9.D

10.D

11.x=?2

12.31516

13.3(答案不唯一)

；12(答案不唯一)

14.8π3

；

；

；

；

；

；15.②③④

16.(1)如圖，取A1C的中點(diǎn)Q，連接B1因?yàn)镹、Q分別為AC、A1C的中點(diǎn)，則NQ//AA因?yàn)锽B1//AA1且BB1=AA所以，B1M//NQ且B1M=NQ，則四邊形因?yàn)镸N?平面A1B1C，B1Q?平面(2)因?yàn)锳1A⊥平面ABC，AB?平面ABC，則因?yàn)锳B⊥A1C，AA1∩A所以，AB⊥平面AA因?yàn)锳C?平面AA1C以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AA1所在直線分別為x、y、則A10,0,1、B11,0,1、則A1B1=1,0,0，C設(shè)平面A1B1C取y1=1，可得設(shè)平面B1CC1取x2=1，可得所以，cosm由圖可知，二面角A1故二面角A1?B

17.(1)若選擇條件①③，由f(0)=?1，得f(0)=2sinφ=?1，即sinφ=?12又函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=7π12，則則ω不能確定，所以函數(shù)f(x)不唯一，所以不能選擇條件①③．選擇條件①②，由f(0)=?1，得f(0)=2sinφ=?1，即sinφ=?12因?yàn)楹瘮?shù)f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為π2，所以函數(shù)的最小正周期T=π因?yàn)門=2πω=π,ω>0所以f(x)=2sin選擇條件②③，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為π2，所以函數(shù)的最小正周期T=π因?yàn)門=2πω=π,ω>0因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=7π12，即所以2×7π12+φ=kπ,k∈Z又|φ|<π2，則所以f(x)=2sin(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為所以2x?π則x∈π所以?2π3,?若函數(shù)f(x)在區(qū)間?π則?π所以實(shí)數(shù)m的最大值為π6

18.(1)結(jié)論A正確，結(jié)論B不正確．(2)(2)一男生選擇排球課的概率估計(jì)為50100=高一女生選擇排球課的概率估計(jì)為5080=隨機(jī)變量X

的所有可能取值為0，1，2，3．則PX=0PX=1PPX=3所以X的分布列為：

X0123

P

3

11

13

5故EX(3)s

19.(1)已知A1(?a,0)，A2則△TA1A2的面積因?yàn)殡x心率e=ca=2又因?yàn)閍2=b2+c2所以橢圓E的方程為x2(2)將直線y=kx+1與橢圓x2+2y根據(jù)韋達(dá)定理，x1+x計(jì)算y1從而得到線段CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(?2k然后求線段CD垂直平分線方程：垂直平分線的斜率為?1根據(jù)點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程為y?1進(jìn)而得到點(diǎn)Q(0,?1最后根據(jù)四邊形PCQD為正方形時(shí)QC⊥QD：則QC展開得x進(jìn)一步化簡為(將x1+x2=整理得(k2+1)(4

20.(1)已知當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln(x+1)?x，對f(x)求導(dǎo)得計(jì)算f(0)，將x=0代入f(x)得f(0)=ln計(jì)算f′(0)，將x=0代入f′(x)得f′(0)=?0根據(jù)點(diǎn)斜式方程，所以切線方程為y?0=0(x?0)，即y=0．(2)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=ln(2x+1)?x，其定義域?yàn)橐驗(yàn)榍€y=f(x)總在直線y=x+t的下方等價(jià)于?x∈(?12,+∞),設(shè)函數(shù)g(x)=ln(2x+1)?2x?t,x>?12，對令g′(x)=0，即?4x2x+1=0，解得當(dāng)x∈(?12,0)時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．所以g(x)在x=0處取得極大值，也是最大值，g(x)max=g(0)=則g(x)max=?t<0，即，所以曲線y=f(x)(3)f′x分情況討論．當(dāng)1?1a=0，即a=1時(shí).此時(shí)f(x)根據(jù)f(x)的單調(diào)性，在(?1,0)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；在(0,+∞)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)對于?x∈(?1,+∞),x≠0，有f(x)<0，所以f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)1?1a<0，即0<a<1時(shí).因?yàn)??在(?1a,1?1a)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；在(1?1a,+∞)因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且滿足0<x又因?yàn)榇藭r(shí)?1∈(?1a,+∞)由于f(?1)<0，即ln(1?a)+1<0，移項(xiàng)得到ln因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以1?a<1又因?yàn)?<a<1，所以1?1當(dāng)1?1a>0，即a>1時(shí).在(0,1?1a)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；在(1?1a,1)上，因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且滿足0<x所以f(1)=ln由于f(1)<0，即ln(1+a)?1<0，移項(xiàng)得到ln因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以1+a<e，即又因?yàn)閍>1，所以1<a<e?1.

綜上，a的取值范圍為(1?1

21.(1)當(dāng)m=3時(shí)，若數(shù)列B:1,5,3,4,6,2具有性質(zhì)P，則集合1,2,3,4,5中至少有一個(gè)元素i，使得|驗(yàn)證可得，不存在i，使得|ai?ai+1對于數(shù)列C:6,5,2,4,1,3，集合1,2,3,4,5中存在元素i=2時(shí)，滿足|a2?a(2)因?yàn)閿?shù)列a2n?1和a2