人教A版（2019）高一數(shù)學必修第二冊-空間點、直線、平面之間的位置關系-1教案

教案教學基本信息課題空間點、直線、平面之間的位置關系學科數(shù)學學段：高一年級高一教材書名：人教A版數(shù)學必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學設計參與人員姓名單位設計者鄭華北京市順義楊鎮(zhèn)第一中學實施者鄭華北京市順義楊鎮(zhèn)第一中學指導者李淑敬/趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心課件制作者鄭華北京市順義楊鎮(zhèn)第一中學其他參與者教學目標及教學重點、難點本節(jié)課通過圖形、實驗、和說理，使學生進一步學習空間中兩條直線之間的三種位置關系，重點理解兩異面直線的定義；直線與平面之間的三種位置關系，以及不重合的兩個平面之間的兩種位置關系，并會用圖形語言和符號語言進行表示；培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理以及直觀想象的能力；同時為下一步學習判斷直線與平面的平行、垂直打基礎．在教學過程中設計了四道例題.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入新課一、引入由上一小節(jié)“平面”的學習，我們認識了空間中，點、直線、平面之間的一些位置關系，如點在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，兩個平面相交，等等，空間中，點、直線、平面之間還有其他位置關系嗎？我們知道，長方體有8個頂點，12條棱，6個面，12條棱對應12條棱所在的直線，6個面對應6個面所在的平面，觀察：如圖所示的長方體，點與直線，點與平面之間有哪些不同的位置關系？【分析】經(jīng)觀察我們不難得到：空間中、點與直線的位置關系有兩種：點在直線上和點在直線外.例如，點A在直線AB上，卻在直線A1B1外.空間中、點與平面的位置關系也有兩種：點在平面內(nèi)和點在平面外.例如，點A在平面ABCD內(nèi)，卻在平面A1B1C1D1外.二、新課1、空間中直線與直線的位置關系．還是請同學們觀察：如圖所示的長方體中,直線與直線之間有哪些不同的位置關系？經(jīng)過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，直線AB與DC在同一個平面ABCD內(nèi),它們沒有公共點,它們是平行直線;直線AB與BC也是在同一個平面ABCD內(nèi),它們只有一個公共點B,它們是相交直線;那么，直線AB與CC1具有怎樣的位置關系呢？直觀上這兩條直線沒有公共點，其次它們既不是平行直線又不是相交直線，因此，它們不會同在任何一個平面內(nèi)，因為，如果他們同在某一個平面內(nèi)，那么他們必定是平行直線或者是相交直線了．看來，沒有公共點，不同在任何一個平面內(nèi)，是它的兩個顯著的特征．生活中具有這樣位置關系的例子有很多．觀察：黑板一側(cè)所在的直線與課桌邊沿所在直線是什么位置關系？觀察：旗桿所在的直線與其正后方跑道所在直線是什么位置關系？1.異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skewlines）思考：分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面直線？【答案】不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行．經(jīng)過以上的分析，我們可以得出，空間中兩條直線的位置關系有三種：2.異面直線的畫法：畫異面直線時，為了體現(xiàn)它們不共面的特點，我們常借助一個平面或兩個平面來襯托．這樣的襯托使得兩條直線是不共面的特點更加立體直觀，否則，就難以畫出讓人一目了然的兩條異面直線，而且很容易與兩條相交直線混淆．2、直線與平面的位置關系還請同學們觀察如圖所示的長方體中,直線與平面有哪些不同的位置關系？經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)：在長方體中直線與平面之間共有三種不同的位置關系，比如，直線AB與平面ABCD，直線AA1與平面ABCD，以及直線A1B1與平面ABCD．同時我們還發(fā)現(xiàn)這些不同的位置關系都分別和直線與平面的公共點的個數(shù)有關．請看，直線AB與平面ABCD有無數(shù)公共點，直線AA1與平面ABCD有且只有一個公共點A，而直線A1B1與平面ABCD沒有公共點.觀察:一支筆所在的直線與一個作業(yè)本所在的平面，可能有哪幾種位置關系？也不難發(fā)現(xiàn)有三種可能的情況：一、筆與作業(yè)本有無數(shù)個公共點；二、筆與作業(yè)本有且只有一個公共點；三、筆與作業(yè)本沒有公共點．我們可以定義出，直線與平面的位置關系有且只有三種．當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外．方法：判斷直線與平面的位置關系關鍵在于——判斷直線與平面的交點個數(shù)．直線與平面的位置關系的圖形及符號進行表示．符號表示：在作圖時，一般地，直線在平面內(nèi)，應把直線畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)；直線在平面外(當然是指直線與平面平行或相交的情況)，應把直線或它的一部分畫在表示平面的平行四邊形外，這樣畫出來的位置關系更加立體直觀！另外，我們常把直線與平面相交或平行的情況稱為直線在平面外，所以符號記作aα．思考：“直線與平面不相交”和“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎？提示：顯然不是一回事，根據(jù)空間中直線與平面的位置關系，直線與平面不相交包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)兩種可能情況；而直線與平面沒有公共點僅指直線與平面平行．看來只要同學們清晰直線與平面的三種關系，解決這樣的問題就會輕而易舉．3、平面與平面之間的位置關系觀察:如圖所示的長方體中，平面與平面之間有哪些不同的位置關系呢？也是不難觀察到，長方體各面之間有兩種不同的位置關系：比如，平面ABCD與平面A1B1C1D1之間；平面ABCD與平面BCC1B1之間．類似剛剛研究直線與平面之間位置關系的過程，發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別也是在于它們之間是否有公共點．顯然，平面ABCD與平面A1B1C1D1沒有公共點；而平面ABCD與平面BCC1B1有無數(shù)個公共點（由基本事實3我們知道這些公共點的集合是一條直線）所以我們也可以說平面ABCD與平面BCC1B1有一條公共直線BC．觀察：教室里的地面與桌面、黑板面所在墻面與地面之間有哪些關系？【答案】桌面與地面平行，墻面與地面：相交．我們可以看出，兩個平面之間的位置關系有且只有兩種：即兩個平面平行，兩個平面相交.（1）兩個平面平行---沒有公共點；（2）兩個平面相交---有一條公共直線.圖形及符號表示：符號表示：α∩β＝l注意：畫兩個互相平行平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行．思考：1、若一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面之間有什么位置關系？提示：答案是平行因為一個平面內(nèi)任意一條直線都與另一個平面平行，那么，所有直線構成的該平面與另一平面也沒有公共點，根據(jù)兩平面平行的定義知，這兩個平面平行．2、若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行是否正確？提示：不正確．如圖，設α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與交線l平行的直線可以有無數(shù)條且它們是一組平行直線，同時這些平行直線與平面β也都平行，但此時平面α不平行于β，而是α與β相交．通過復習上節(jié)所學知識，引入本節(jié)新課．建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力．通過觀察圖形，引入新課，提高學生分析問題的能力．通過觀察實際生活中的例子，引入異面直線，提高學生分析問題、概括能力．通過思考題，進一步理解異面直線的定義．通過觀察與思考，得到直線與平面的位置關系，提高學生的分析問題、觀察思考能力．通過觀察，得到平面與平面的位置關系，提高學生的分析問題、觀察思考能力．通過思考題，進一步熟悉直線、平面之間的位置關系，提高學生解決問題的能力．例題三、例題例題.如圖，用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系．解：在（1）中，在（2）中，例題判斷下列命題是否正確．(1)若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l//α；(2)若l//α，則直線l與平面α內(nèi)任一條直線都平行；(3)如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；(4)若l//α，則直線l與平面α內(nèi)任意一條直線都沒有公共點．答案：(1)錯誤；(2)錯誤；(3)錯誤；(4)正確這道例題要求我們，要弄清楚空間中點、直線、平面之間各種位置關系的特征，利用其定義作出判斷，同時要有畫圖意識，或者借助熟悉的長方體，充分發(fā)揮自己的空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題．例題如圖直線AB與直線a具有怎樣的位置關系？為什么？解：直線AB與a是異面直線．理由如下．若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行．設它們確定的平面為，則．由于經(jīng)過點B與直線a有且僅有一個平面，因此平面與平面重合，從而，進而，這與矛盾．所以直線AB與a是異面直線．方法總結(jié)：判斷兩直線是異面直線的方法：1.異面直線的定義；2.與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．例題如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么，AB，CD，EF，GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線呢？【答案】共3對：AB與CD，AB與GH，EF與GH．這道題主要考察同學們的空間想象能力，識圖、畫圖、用圖能力，以及異面直線的判斷方法，有一點的挑戰(zhàn)性．通過例題的講解，讓學生進一步理解直線、平面之間的位置關系及其符號表示，提高學生解決與分析問題的能力．這道題主要考察同學們的空間想象能力，識圖、畫圖、用圖能力，以及異面直線的判斷方法，有一點的挑戰(zhàn)性．小結(jié)四、課堂小結(jié)1.弄清楚空間中點、直線、平面之間各種位置關系的特征，利用其定義作出判斷.同時要有畫圖意識，并借助于空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題.2.長方體是一個特殊的圖形，當點、線、面關系比較復雜時，可以尋找長方體作為載體，將它們置于其中，立體幾何中的直線與平面的位置關系都可以在這個模型中得到反映.因而人們給它以“百寶箱”之稱.通過方法總結(jié)，提高學生的概括能力、解決問題的能力．作業(yè)五、作業(yè)作業(yè)一1、畫出滿足下列條件的圖形：（1）a?α，b?α，a∩b=Α，c∩α=Α；（2）α∩β=l，ΑΒ?α，CD?β，ΑΒ//l，CD//l．2、填空題（1）如果a，b是異面直線，直線c與a，b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有_______個；（