人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-立體幾何初步單元復(fù)習(xí)(第二課時)-1教案

教案教學(xué)基本信息課題立體幾何初步單元復(fù)習(xí)（第二課時）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高一年級教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)設(shè)計參與人員姓名單位設(shè)計者張雅麗北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)實施者張雅麗北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)指導(dǎo)者李淑敬北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心課件制作者張雅麗北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點本節(jié)課是立體幾何初步的單元復(fù)習(xí)課第二課時，通過對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生回顧本部分的主要內(nèi)容，正確理解所學(xué)知識，理清知識脈絡(luò)，對這部分知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化；通過例題鞏固，揭示解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，提高這部分的思辨能力，強化規(guī)范，提高示范功能。教學(xué)重點：空間點、直線、平面的位置關(guān)系的判定；三種平行之間轉(zhuǎn)化的應(yīng)用及探索性問題的一般解題策略。教學(xué)難點：探索性問題的理解。教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入本節(jié)課我們針對的主要內(nèi)容是空間點、直線、平面的位置關(guān)系的判定和平行之間轉(zhuǎn)化的應(yīng)用。明晰教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)重點一、知識概要復(fù)習(xí)鞏固典型例題知識結(jié)構(gòu)知識梳理：（一）4個基本事實及推論基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．即“不共線的三點確定一個平面”．推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．以上四點是確定平面的重要依據(jù)基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．作用：可以判定直線是否在平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．作用：（1）判定兩個平面相交，（2）判定點在直線上，即若點是兩個平面的交點，直線是兩個平面的交線，那么這個點一定在該交線上?；臼聦?：平行于同一條直線的兩條直線平行．通常叫做平行的傳遞性，可以判定線線平行。（二）空間直線與平面的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系有：相交直線——在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點，平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點，異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。其中相交直線和平行直線又稱為共面直線?？臻g中直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)，直線與平面有無數(shù)個公共點；直線與平面相交，直線與平面有且只有一個公共點；直線與平面平行，直線與平面沒有公共點。其中當(dāng)直線與平面相交或平行時，稱為直線在平面外?？臻g中平面與平面的位置關(guān)系有：兩個平面平行，兩個平面沒有公共點；兩個平面相交，兩個平面有一條公共直線。位置關(guān)系的判定主要通過公共點個數(shù)這個幾何特征。三種位置關(guān)系中也分別給出了線線平行、線面平行、面面平行的定義，即判定三種平行關(guān)系的定義法。（三）空間平行之間的轉(zhuǎn)化具體的：線面垂直的性質(zhì)定理平行與垂直之間建立了橋梁。希望同學(xué)們通過以上知識的復(fù)習(xí)，課下也能建構(gòu)一個適合自己的知識網(wǎng)絡(luò)圖，實現(xiàn)知識的內(nèi)化，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。二、典型例題例題1：若直線a不平行于平面α，且直線a平面α，則下列結(jié)論成立的是（）（A）α內(nèi)的所有直線與a是異面直線（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行（D）α內(nèi)的所有直線與a都相交解析：直線與平面有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、相交、平行。根據(jù)已知排除平行和直線在平面內(nèi)，就剩下直線與平面相交.同學(xué)們可以拿出筆當(dāng)作直線、桌面看作平面進行實物操作，一只手擺出直線與平面相交，另一只手在桌面上畫各種位置的直線及尋找反例，很快能排除A、D選項。通過實物操作也能初步判斷B是正確的。不妨設(shè)平面內(nèi)有一直線b，b與直線a平行，而在平面內(nèi)過點A必能作直線c，使直線c與直線b平行，由平行的傳遞性得直線a與c平行，如圖，顯然矛盾。故B是正確的。例題2：如果直線a//平面α，點P∈平面α，那么過點P且平行于直線a的直線（）.（A）只有一條，不在平面α內(nèi)（B）有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)（C）只有一條，且在平面α內(nèi)（D）有無數(shù)條，一定在α內(nèi)解析：根據(jù)題意，可以畫圖演示，進行推理。如圖:過直線a可作平面β，設(shè)α∩β=m，則a//m．當(dāng)m恰好過點P時，直線m存在唯一一條．當(dāng)m不過點P時，P∈α，mα，則過點P且平行于m的直線只有一條．由平行的傳遞性，過點P且平行于a的直線也只有一條且在平面α內(nèi)．綜上選C。例題3：已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則（）.（A）α//β，l//α（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β（D）α與β相交，且交線垂直于l解析：此題的條件比較多，可亂中捋序，由m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，可知平面α與β相交，否則m//n。設(shè)平面α與β的交線為直線a.第一組l⊥m，lα，則平面α內(nèi)一定存在直線b，滿足b//l且bβ；第二組l⊥n，lβ，同理平面β內(nèi)一定存在直線b'，滿足b'//l且b'α。b//l，b'//l，所以b//b'，進而b//β，由線面平行的性質(zhì)得b//a,因此l//a,即選B。本題也可以通過給出的已知條件找到實物模型如圖，在直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若AB⊥AF，DE⊥EF．設(shè)平面AFF1A1為α，平面FEE1F1為β，棱AB所在直線為m，棱D1E1所在直線為n，棱CC1所在直線為l.結(jié)論顯然為B.總結(jié)：空間點、直線、平面位置關(guān)系的判定問題（1）平面的基本事實是基礎(chǔ).常采用列舉形式,對各種關(guān)系進行考慮.（2）利用線線、線面、面面的平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定理進行綜合推理，判斷命題是否正確.（3）利用實物操作、模型演示充分發(fā)揮直觀性作用.例題4：如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQ//平面BCD.策略就是：“由已知想可知，由求證想需知”，尋求平行之間的轉(zhuǎn)化.本題要證線面平行，由轉(zhuǎn)化關(guān)系可以有線線平行和面面平行兩個思路。思路一由線線平行推線面平行結(jié)合已知P是BM的中點，AQ=3QC.分析一：證法一：在BD上取中點E，在CD上取DF=3FC，∵P是BM的中點，∴在△MBD中，PE//DM且PE=DM．∵DF=3FC，AQ=3QC，∴QF//AD且QF=AD．又M是AD的中點，∴QF//DM且QF=DM．∴PE//QF且PE=QF．∴四邊形PEFQ是平行四邊形．∴PQ//EF．∵PQ平面BCD，EF平面BCD，∴PQ//平面BCD．分析二：在平面BCD內(nèi)找到與PQ平行的直線還可以根據(jù)結(jié)論。尋找平行線的目標(biāo)就轉(zhuǎn)化為尋找交線。證法二：連接AP并延長交BD于G，連接GC．取AG的中點為H，連接HM．∵M為AD中點，∴HM//BD．∵P為BM中點，∴△PBG≌△PMH．∴PG=PH，即PG=AG．∴AP=3PG．∵AP=3PG，AQ=3QC，∴△APQ∽△AGC．∴PQ//GC．又PQ平面BCD，GC平面BCD，∴PQ//平面BCD．思路二由面面平行推線面平行分析三：結(jié)合已知，P是BM的中點，不妨取MD的中點為N，證法三：取MD的中點為N，連接PN，QN．∵M是AD的中點，∴AN=3ND．∵P是BM的中點，∴PN//BD．又PN平面BCD，BD平面BCD，∴PN//平面BCD．∵AQ=3QC且AN=3ND，∴QN//CD．又QN平面BCD，CD平面BCD，∴QN//平面BCD．∵PN∩QN=N，∴平面NPQ//平面BCD．∵PQ平面NPQ，∴PQ//平面BCD．總結(jié)：此題證明線面平行，可以通過作輔助線在平面BCD內(nèi)找到與已知直線PQ平行的直線，輔助線的作法有：（1）結(jié)合已知條件取特殊位置；（2）利用平面基本事實找到交線．有的利用三角形中位線、有的利用平行四邊形的性質(zhì)、有的利用三角形相似來證明線線平行．另外也可以通過構(gòu)造過PQ與平面BCD平行的平面，利用面面平行來證明線面平行．思考：在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，AB//DC.回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？分析：結(jié)合已知條件AB//DC，AB側(cè)面PAB，所以只需在平面PAB內(nèi)作EF//AB，即可得EF//DC。解：（1）能作出直線段與DC平行．具體作法是，在側(cè)面PAB內(nèi)作AB的平行線EF，即EF//AB．∵AB//DC，∴EF//DC．而且這樣的直線段還有很多。（2）在側(cè)面PBC內(nèi)不一定能作一條直線段使其與AD平行．理由如下：如果AD與BC平行，可參照（1）的方法作出平行線．如果AD與BC不平行，設(shè)側(cè)面PBC內(nèi)能作出直線段MN//AD．∴MN//底面ABCD．∴MN//BC．∴AD//BC．∴側(cè)面PBC內(nèi)不能作出直線段與AD平行．綜上所述：如果AD與BC平行時，在側(cè)面PBC內(nèi)能作出直線段與AD平行；如果AD與BC不平行時，在側(cè)面PBC內(nèi)不能作出直線段與AD平行．思考：仍然在這個題設(shè)條件下，結(jié)合前面的問題，你還能提出哪些類似的數(shù)學(xué)問題？例如：若側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？若AD//BC，在棱PD上是否存在點E，使得PB//平面ACE?這類“是否存在”、“是否有”、“在何位置”等形式設(shè)問的問題，是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立．要求我們結(jié)合已有條件進行觀察、分析、比較、概括、歸納和猜想去探索．第一個問題：若側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？這是對命題結(jié)論的探索性問題，即在給定的條件下這個結(jié)論能否成立?常用策略：（1）從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論；（2）假設(shè)結(jié)論成立，尋求與條件相容還是矛盾的結(jié)論．解：假設(shè)交線l//底面ABCD．由基本事實3，交線l過點P．∵l側(cè)面PAD，∴l(xiāng)//AD．同理l//BC．∴AD//BC．∵條件中不確定AD與BC的位置關(guān)系，∴如果AD與BC平行時，交線l與底面ABCD平行；如果AD與BC不平行時，交線l不與底面ABCD平行．第二個問題：若AD//BC，在棱PD上是否存在點E，使得PB//平面ACE?這是對命題條件的探索性問題，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么.常用策略：（1）通過觀察與嘗試給出條件，先猜再證；（2）找出結(jié)論成立的必要條件，再給出充分性的證明．借助已知條件，猜E為PD中點時，可能使結(jié)論成立。本題將轉(zhuǎn)化為在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，AB//DC，AD//BC，E為棱PD的中點，求證：PB//平面ACE.分析：連接BD，則O為BD的中點，所以有OE//PB.則有PB//平面ACE.解：設(shè)E是PD的中點，連接BD交AC于點O，連接OE．∵AB//DC，AD//BC，∴底面ABCD為平行四邊形．∴O為BD中點．又E是PD的中點，∴OE//PB．∵PB平面ACE，OE平面ACE，∴PB//平面ACE．∴棱PD上存在點E，E是PD中點時，使得PB//平面ACE．總結(jié)：探索性問題，一類是命題結(jié)論的探索，一類是命題條件的探索．求解命題結(jié)論“是否存在”，“是否有”時，可以先假設(shè)結(jié)論存在，從這個結(jié)論出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立的充分條件，如果找到了，則存在；如果找不到，則不存在；探求點的位置時，可以從特殊位置入手，先猜測再證明．隨著我們不斷地學(xué)習(xí)，還會有其它的手段來解決這類問題．建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)圖，促使學(xué)生把原本零散的互不相連的各個知識點相互聯(lián)系起來，加深內(nèi)部的聯(lián)系，對這部分知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化基本事實是點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，帶領(lǐng)學(xué)生一起鞏固，明確作用。幫助學(xué)生梳理線線、線面的位置關(guān)系，突出有無公共點這個幾何特征是判斷位置關(guān)系的關(guān)鍵點，同時簡單介紹平行的定義法。清楚平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，更清晰地尋找到解題思路。通過表格梳理知識，有利于知識的條理化；從文字語言、圖形語言、符號語言三方面形成對比，加深各定理的理解。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。通過列舉法，對各種關(guān)系進行排除。培養(yǎng)學(xué)生利用身邊的工具，體會實物操作與思辨論證間相輔相成的作用，更符合學(xué)生的特點，容易被學(xué)生接受。線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的弱項，鞏固性質(zhì)的應(yīng)用，加深理解。立體幾何問題的分析要求嚴謹，必要時也要進行分類討論分析。位置關(guān)系的判斷，可以由線線、線面、面面的平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理來判斷是否正確；也可以通過已知條件找到實物模型這個有力的載體，直觀演示，提高空間想象能力。及時歸納空間點、直線、平面位置關(guān)系的判定問題的一般方法。這是一個典型的證明線面平行類型的題目，它可以用三種方法，也是證明線面平行的常見方法，這種立體幾何中的三大元素之間關(guān)系的依存、關(guān)聯(lián)性，也是本節(jié)課的重點內(nèi)容。而由線//線推證線//面時找輔助線、由面//面推證線//面時找輔助面正是本節(jié)課的難點，是要重點突破的問題。所以學(xué)生通過此題的學(xué)習(xí)，不僅要掌握證明線面平行的常用思路，還能熟悉作輔助線的一般策略，同時通過一題多解的練習(xí)拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生求異的創(chuàng)新意識。.引導(dǎo)學(xué)生從空間幾何方面尋找線線平行。了解熟悉的數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并有條理地表述論證過程。始終圍繞題目，觀點