吉林省八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

吉林省八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率的定義直接得出結(jié)果.【詳解】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D2.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則下列向量中與相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】由題意可得：=.故選：A.3.如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連結(jié)，，根據(jù)題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)，，因?yàn)樵谡襟w中，M，N分別為的中點(diǎn)，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B4.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一“.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若.且，則解下6個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.13 B.16 C.31 D.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知的遞推關(guān)系求，從而得到正確答案.【詳解】，，，，，，，所以解下6個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為.故選：C.5.已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，則以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)，且與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的值，可得出雙曲線的方程，根據(jù)題意，設(shè)所求雙曲線的方程為，根據(jù)所求雙曲線與雙曲線有相同的漸近線可得出的值，即可得出所求雙曲線的方程.【詳解】由題意且，則，則雙曲線的方程為.以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為，若與雙曲線具有相同漸近線，則，即.故所求雙曲線的方程為，即.故選：B.6.平行直線與之間的距離為，則，的可能值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線化為，再由距離公式得到方程，從而得到，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】將直線化為，顯然，依題意可得，即，只有滿足題意.故選：A.7.如圖，在直三棱柱中，為腰長為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，利用對稱點(diǎn)、到平面距離相等，得出關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，利用對稱點(diǎn)求出最短路徑即可【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為．故選：A．8.已知點(diǎn)在以為左、右焦點(diǎn)的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點(diǎn)，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)，，由橢圓的定義和勾股定理計(jì)算可得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的單調(diào)性，進(jìn)而，結(jié)合離心率的定義計(jì)算即可求解.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，由橢圓定義可得，在Rt中，由勾股定理可得，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，又因?yàn)?，所以，令，是一條開口向上的拋物線，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實(shí)根，則，得，所以，因點(diǎn)在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，因此.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義和勾股定理推出（），利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得，結(jié)合離心率的定義求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知橢圓上一點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則滿足題意的點(diǎn)有四個C.橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為D.若為鈍角三角形，則【答案】AC【解析】【分析】利用余弦定理、橢圓定義結(jié)合三角形面積公式推導(dǎo)出，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，可得出，結(jié)合，求出的值，判斷點(diǎn)的位置，可判斷B選項(xiàng)；利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合輔助角公式可判斷C選項(xiàng)；對各內(nèi)角為鈍角進(jìn)行分類討論，求出的范圍，可求得的范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，則，由橢圓的定義可得，，且、，設(shè)，，且，，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，解得，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)，則，且，解得，此時點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)只有兩個，B錯；對于C選項(xiàng)，設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點(diǎn)為，則橢圓內(nèi)接矩形周長為，其中為銳角，且，由得，當(dāng)時，，此時橢圓的內(nèi)接矩形周長取最大值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，若為鈍角，，，則，解得，所以，，此時，；若為鈍角，且，，則，可得，又因?yàn)?，所以，，則，可得，此時，；當(dāng)為鈍角時，同理可知.因此，的取值范圍是，D錯.故選：AC.10.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，則下列說法中正確的是（）A. B.C.向量與的夾角是 D.與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用向量法求解判斷；B選項(xiàng)，由判斷；C選項(xiàng)，利用向量夾角公式判斷；D選項(xiàng)，利用向量夾角公式判斷.【詳解】因?yàn)橐皂旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，所以，，則，所以A正確；，則，故，所以B正確；顯然為等邊三角形，則.因?yàn)?，且向量與的夾角是，所以與的夾角也是，所以C不正確；因?yàn)?，所以，所以，所以D不正確.故選：AB11.在數(shù)列中，，則以下結(jié)論正確的為（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.當(dāng)取最大值時，的值為51D.當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時，的值為49或51【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差中項(xiàng)判斷A；計(jì)算判斷B；確定數(shù)列單調(diào)性推理判斷CD.【詳解】對于A，由，得，兩式聯(lián)立得，即，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，令，得，B錯誤；對于C，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即，又，公差，則，數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，當(dāng)取最大值時，n的值為51，C正確；對于D，由數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，又，得，則數(shù)列前49項(xiàng)和最大，又，即數(shù)列前51項(xiàng)和最大，當(dāng)時，，因此當(dāng)或51時，的前n項(xiàng)和取得最大值，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及求數(shù)列最大項(xiàng)問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓和圓的公切線條數(shù)為__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定出兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，由此得到公切線條數(shù).【詳解】∵圓，圓，∴∴圓心距，而兩圓半徑之和，∴兩個圓相離，則這兩個圓的公切線有4條.故答案為：4.13.已知，直線，且，則的最小值為__________.【答案】8【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線垂直，先得到，再由，展開后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故答案為：814.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點(diǎn)和，則______.（參考數(shù)據(jù)：取.）【答案】914【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而利用錯位相減法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，則，可得，兩式相減可得：，所以.故答案為：914.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，直角邊AB所在直線的方程為，點(diǎn)，滿足．（1）求AC邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；（3）求BC邊所在直線的方程；（4）若動圓P過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．【答案】（1）（2）（3）（4）．【解析】【分析】（1）由題意得到點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩直線垂直得到斜率關(guān)系即可；（2）由得到外接圓圓心坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）直曲聯(lián)立，解出點(diǎn)坐標(biāo)，求出方程即可；（4）由雙曲線的定義和性質(zhì)求出即可；【小問1詳解】由AB邊所在直線的方程為且直角的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，可得，直線AC的斜率為，AC邊所在直線的方程為；【小問2詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且，則為斜邊上的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，則，從而外接圓的方程為；小問3詳解】外接圓的方程為與直角邊AB所在直線相交，即，消去可得，即，解得或，將代入直線方程可得，BC邊所在直線即為BM，方程為．【小問4詳解】動圓P過點(diǎn)N，是該圓的半徑，又動圓P與圓M外切，則，即，故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的左支，實(shí)半軸長，半焦距，∴虛半軸長，從而動圓P的圓心的軌跡方程為．16.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)作一條直線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【答案】（1）（2）存定點(diǎn)或.【解析】【分析】（1）先由題中條件確定點(diǎn)縱坐標(biāo)為，用表示出的面積，進(jìn)而可求出，得出拋物線方程；（2）先設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，根據(jù)，得出，聯(lián)立于拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，代入前面所得關(guān)系式，化簡求出即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為，所以易知點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則所以，解得，即拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方；由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)因?yàn)?，即，可得，整理得①，?lián)立直線與拋物線，可得，則.代入①式可得，即，即，解得或，即存在定點(diǎn)或，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解拋物線中直線過定點(diǎn)的問題時，通常需要先設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程消去(或)，結(jié)合韋達(dá)定理寫出兩根之和以及兩根之積，再根據(jù)題中所給條件列出等量關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)果，化簡整理，即可求解.17.在三棱錐，底面是邊長為4的正三角形，平面平面，且．（1）若，求證：平面平面；（2）若底面，垂足為O，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得、、，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法分別求出平面PAB和平面PBC的法向量，結(jié)合即可證明；（2）由（1），根據(jù)向量法分別求出平面PAB和平面PBC的法向量，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.【小問1詳解】取AC的中點(diǎn)H，則，連接HP、HB，由，得，又平面PAC平面ABC=AC，平面PAC，所以平面ABC，由平面ABC，得，，以H為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，建立空間坐標(biāo)系，由題意可得，則，有，設(shè)平面PAB和平面PBC的一個法向量分別為，則，令，得，所以，有，即，故平面平面．【小問2詳解】由（1）知，若，則，，，，有，，，，設(shè)平面、平面一個法向量分別為，則，令，得，所以，，設(shè)平面與平面夾角為，得，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求證：，其中.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用定義法即可求出等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）通過（1）求出的的通項(xiàng)公式，表達(dá)數(shù)列，然后利用公式法和放縮法，分類討論為奇數(shù)或偶數(shù)時前項(xiàng)的和，進(jìn)而證明不等式.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由,得解得：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，由，，解得【小問2詳解】由題意及（1）得，又∵，∴設(shè)，當(dāng)為奇數(shù)，時，在中，在中，由，得解得：當(dāng)為偶數(shù)，時，同理可得，綜上，.19.已知橢圓，左頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，最大值為的面積為.（1）求橢圓方程；（2）已知直線過與橢圓交與M，N兩點(diǎn)