天津市河東區(qū)2024-2025學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試卷 含解析

河東區(qū)2024~2025學年度第一學期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.答卷時，考生務必將答案答在答題卡的相應位置.考試結(jié)束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．請同學們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內(nèi)，超出答題卡區(qū)域的答案無效！2．本卷共9小題，每小題5分，共45分.一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項公式可以為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意逐一檢驗選項即可.【詳解】對于選項A：令，可得，不合題意；對于選項B：代入檢驗均可，符合題意；對于選項C：令，可得，不合題意；對于選項D：令，可得，不合題意；故選：B.2.已知數(shù)列中，，且，則這個數(shù)列的第10項為（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】由已知判斷出數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，求出通項公式后即可求得.【詳解】，且，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，通項公式為，，故選：B.3.已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項的和為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項的和為公比為9，首項為6，那么利用前n項和公式可知為，選D4.已知雙曲線C：的焦距為，則C的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)根據(jù)焦距求得，從而可得漸近線方程．【詳解】因為雙曲線的焦距為，所以，則，解得，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.5.拋物線的焦點為上的點到的距離等于到直線的距離，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】因為拋物線上的點到的距離等于到直線的距離，所以是拋物線的準線，故，解得，故A正確.故選：A6.已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（）A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD.若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【解析】【分析】就不同的取值結(jié)合曲線方程的形式逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，當m＞n＞0時，有，方程化為，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為圓，故B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對于D，當m＝0，n＞0時，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.7.已知a，b，c成等差數(shù)列，直線與圓交于A，B兩點，則的最小值為（）A.1 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令，得，故直線恒過，設，該點在圓內(nèi)，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，，此時.故選：C.8.若橢圓和雙曲線有相同的焦點和，而是這兩條曲線的一個交點，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出與的和與差，變形求得積．【詳解】由題意知不妨設點是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點，可得：，解得：，則，故A項正確.故選：A.9.已知數(shù)列滿足：，則下列命題正確的是（）A.若數(shù)列為常數(shù)列，則 B.存在，使數(shù)列為遞減數(shù)列C.任意，都有為遞減數(shù)列 D.任意，都有【答案】D【解析】【分析】解方程判斷A,利用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學歸納法判斷BD,舉反例判斷C.【詳解】對A:若數(shù)列為常數(shù)列，則，解得或，故A錯誤；對B:易得，若為遞減數(shù)列，則，解得或且，故不存在使得遞減數(shù)列，故B錯誤；對C,令，則，故不是遞減數(shù)列，故C錯誤；對D,用數(shù)學歸納法證明當顯然成立，假設當，則時，，故當時成立,由選項B知，對任意則數(shù)列為遞減數(shù)列，故故D正確故選：D【點睛】利用遞推關系結(jié)合數(shù)學歸納法證明，是本題關鍵.第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應位置上.2．本卷共11小題，共105分.二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為__________．【答案】【解析】【分析】先求出雙曲線的右頂點坐標進而得拋物線的焦點坐標，即可得拋物線方程.【詳解】雙曲線，所以右頂點（4,0），拋物線的焦點也為（4,0），所以，，拋物線的標準方程為：故答案為：.11.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前6項和為______.【答案】【解析】【分析】求解的通項公式，進而可得的通項公式再求和即可.【詳解】由題意，公比為，則，故.故數(shù)列的前6項和為.故答案為：12.在等差數(shù)列中，已知公差，且，則__________.【答案】145【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再由等差數(shù)列性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)計算即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列中，已知公差，.故答案為：145.13.記拋物線的焦點為F，為拋物線上一點，，直線與拋物線另一交點為B，則________．【答案】【解析】【分析】求出拋物線方程及直線方程并聯(lián)立，求出點的橫坐標，再根據(jù)拋物線定義求解即可.【詳解】因為，由拋物線定義可知到準線距離為，即，解得，即拋物線方程為，不妨取，又，則直線斜率,所以，聯(lián)立，消去整理得，解得，，即點的橫坐標為，則.故答案為：.14.設F為雙曲線C：（，）的右焦點，O為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點.若，則C的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何知識得出，根據(jù)勾股定理求出與c之間的關系，進而得出C的離心率.【詳解】由題意，作出圖像如下圖所示：設雙曲線C：(，)的右焦點的坐標為F(c,0).由圓的對稱性及條件可知，PQ是以為直徑的圓的直徑，且，設垂足為M，連接，則，，由，得，故，即.故答案為：.15.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.

三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.直線與雙曲線相交于A，B兩點．（1）求的長；（2）當a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？【答案】（1）(且)；（2）.【解析】分析】（1）聯(lián)立方程組利用韋達定理及弦長公式即求；（2）由題可得，進而可得，即求.【小問1詳解】設，由，可得，由題可得，，解得且，∴，∴的長為(且).【小問2詳解】∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，∴，∴，∴，即，∴，解得,經(jīng)檢驗，時以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.17.設等差數(shù)列的公差為d，前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）當時，記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）利用前10項和與首項、公差的關系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當d＞1時，由（1）知cn，寫出Tn、Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可．【詳解】解：（1）設a1＝a，由題意可得，解得，或，當時，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當時，an（2n+79），bn＝9?；（2）當d＞1時，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．18.設數(shù)列的前n項和，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由可得，再通過化簡結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）先結(jié)合（1）求出，再根據(jù)時，求出，最后驗證即可.【小問1詳解】，，即，即，即，即，又，數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，即，當時，，，又也適合上式，故.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點的坐標，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進而可得出與的標準方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標準方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式以為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將它代入拋物線的方程并化簡得，解得或（舍去），所以，即點M的坐標為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標準方程為，曲線的標準方程為.【整體點評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時候會使得問題簡單明了.方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時它也是解決圓錐曲線問題的一個不錯的思考方向.方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.方法四：韋達定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達定理可以達到設而不求的效果.20.已知等比數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1