人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運算【課件】

7.2.2

復(fù)數(shù)的乘、除運算主講人：劉仙舟學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教A版）學(xué) 校：北京市第八十中學(xué)年 級：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運算法則.掌握復(fù)數(shù)乘法的運算律.理解共軛復(fù)數(shù)的概念及有關(guān)性質(zhì)．會在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實系數(shù)的一元二次方程.【重點難點】復(fù)數(shù)的乘、除法運算.共軛復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì).高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】1. 復(fù)數(shù)的加法、減法的運算法則：①運算法則：

a

bi

c

d

i

=

a

c

b

d

i.其運算法則類似于多項式的合并同類項.②復(fù)數(shù)加法的運算律

：對于任意的

z1,

z2

,

z3

C

,

有：交換律：

z1

z2

z2

z1.結(jié)合律：

z1

z2

z3

z1

z2

z3

.高中數(shù)學(xué)【預(yù)備知識】2．共軛復(fù)數(shù)： (設(shè)

z

a

bi,

(a,

b

R).)a

bi

與

a

bi

互為共軛復(fù)數(shù).

即當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．

z

的共軛復(fù)數(shù)用

z

表示.

特別地，當(dāng)b

0時，它們叫做共軛虛數(shù).高中數(shù)學(xué)【新課內(nèi)容】問題：請同學(xué)們思考一下，根據(jù)數(shù)系擴充的原則，如何規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法法則呢？(a

bi)(c

d

i)

？？？高中數(shù)學(xué)【新課內(nèi)容】1.復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)

z1

a

bi,

z2

c

di,

a,

b,

c,

d

R

是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積:(a

bi)(c

d

i)

ac

bci

ad

i

bd

i2

(ac

bd

)

(ad

bc)i.可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把

i2換成?1，并且把實部與虛部分別合并即可.高中數(shù)學(xué)很明顯，兩個復(fù)數(shù)的積是一個確定的復(fù)數(shù).

特別地，當(dāng)z1,

z2

都是實數(shù)時，把它們看作復(fù)數(shù)時的積就是這兩個實數(shù)的積.例

1計算（1）

(1

4i)(7

2i).（2）

(7

2i)(1

4i).（3）[(3

2i)(

4

3i)](5

i).（4）

(3

2i)[(

4

3i)(5

i)].

.解：（1）

(1

4i)(7

2i)

7

8

2

28

i

15

26i.（2）

(7

2i)(1

4i)

7

8

28

2

i

15

26i.（3）[(3

2i)(

4

3i)](5

i).

6

17i

5

i

47

79i.（4）

(3

2i)[(

4

3i)(5

i)]

(3

2i)

23

11i

47

79i.數(shù)學(xué)上，定義了一種運算，就要研究它的運算律.高中數(shù)學(xué)【例題】高中數(shù)學(xué)探究：觀察上述計算，復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律？乘法對加法滿足分配律嗎？我們?nèi)菀椎玫綇?fù)數(shù)乘法的運算律,對于任意

z1,z2,z3

C

，有z1z2

z2z1,

z1

z2

z3

z1

z2

z3

,z1

z2

z3

z1z2

z1z3

.下面我們來證明復(fù)數(shù)乘法滿足交換律.交換律.結(jié)合律.乘法對加法的分配律.請大家課后自己再來證明一下乘法結(jié)合律及乘法對加法的分配律.z2

a2

b2i,

a1,b1,

a2

,b2

R

.因為又所以z1z2

a1

b1i

a2

b2i

a1a2

b1b2

a1b2

b1a2

i

.z2

z1

a2

b2i

a1

b1i

a2a1

b2b1

a2b1

b2a1

i

.a1a2

b1b2

a2a1

b2b1, a1b2

b1a2

a2b1

b2a1

.z1z2

z2z1.高中數(shù)學(xué)證明：設(shè)

z1

a1

b1i,高中數(shù)學(xué)小結(jié)：通常給定運算法則之后，人們就要研究它的運算律.應(yīng)用運算律,

有助于我們進行簡化計算，且解題思路、方法可能會更多一些.

17(7

2i)

119

34i.高中數(shù)學(xué)【例題】例2 計算（1）

(2

3i)(2

3i). （2）

(1

4i)(7

2i)(1

4i).（3）

(3

2i)2

.分析：本例可以用復(fù)數(shù)的乘法法則、運算律，以及乘法公式計算.解：（1）

(2

3i)(2

3i)

22

3i

2

4

9

13

.

平方差公式（2）

(1

4i)(7

2i)(1

4i)

(1

4i)(1

4i)

(7

2i)=17(7

2i)

119

34i（3）

(3

2i)2

32

12i

2i

2

9

12i

4

5

12i

.完全平方公式高中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：由（1）推廣得(a

bi)(a

bi)

a2

bi

2

a2

b2

.即兩復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們的乘積為實數(shù).高中數(shù)學(xué)關(guān)于共軛復(fù)數(shù)有：（設(shè)

z

a

bi,

則

z

a

bi,

a,b

R

）.①若

z

為實數(shù)，則

z

z

；若

z

為純虛數(shù)，則

z

z

0

；②|

z

|

|

z

|

；③共軛復(fù)數(shù)的和為實數(shù)，即

z

z

=2a

；共軛復(fù)數(shù)的積為實數(shù), 即zz

=a2

b2且zz

|z

|2.高中數(shù)學(xué)2.

復(fù)數(shù)的除法法則：類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算.

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算,下面探求復(fù)數(shù)除法的法則.我們把滿足

c

di

x

yi

a

bi,(a,b,c,

d,

x,

y

R,且c

di

0). ①的復(fù)數(shù)x

yi

，叫做a

bi除以復(fù)數(shù)

c

d

i的商.高中數(shù)學(xué)c2 c2

d

2

d

2

ac

bd

bc

ad

i,

a,

b,

c,

d

R,且c

d

i

0

c2

d

2 c2

d

2于是我們得到:x

yi

a

bi

c

d

i

由①可得，

cx

dy

cy

dx

i

a

bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有cx

dy

a,

cy

dx

b.由此得 x

ac

bd

,

y

bc

ad

.高中數(shù)學(xué)其中c

di

叫做實數(shù)化因式.c2 c2

d

2

d

2即：c2

ac

ad

i

bci

bd

i2

ac

bd

bc

adid

2c

d

i

c

d

i

c

d

i

x

yi

=(a

bi)

(c

d

i)

a

bi

a

bi

c

d

i

高中數(shù)學(xué)例3 計算(1+2i)

÷

(3?4i).3?

4i(3?4i)(3

+

4i) 32+

42(1+2i)(3

+

4i) 3?8+6i

+

4i ?5+

10i= = =25=?

1 25+5

i.解：(1+2i)÷

(3?4i)=1+2i小結(jié)：復(fù)數(shù)的除法：先把兩個復(fù)數(shù)相除寫成“分?jǐn)?shù)”的形式，然后分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．高中數(shù)學(xué)例4 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：(1)x2+2=

0;(2)ax2

+

bx

+

c

=

0，其中a,

b,

c

∈

R，且a≠0,△=b2?4ac<

0.高中數(shù)學(xué)（2）將方程ax2

+

bx

+

c

=

0的二次項系數(shù)化為1，得2b cx +ax+a

=0.解：2 2（1）因為( 2i) =

(? 2i) =?

2，所以方程x2

+

2

=

0的根為x

=±2a2(x

+ b

) =2b ?4ac4a2.配方，得2i.（共軛復(fù)數(shù)）高中數(shù)學(xué)b2(x

+ ) =??(b2?

4ac)2a (2a)2即?(b2

?

4ac) ?△(2a)2=(2a)2>

0.由△<

0，知x

=? b2a

±?(b2?

4ac)2ai.所以原方程的根為2a±2a?(b2?4ac)

i.類似（1），可得 x

+ b =△=b2?4ac<

0=(2a)2?(b2

?

4ac) 2i .高中數(shù)學(xué)(1)當(dāng)△≥

0時，x

=?b

± b2?

4ac2a;(2)當(dāng)△<

0時，x

=2?b

± ?(b ?

4ac)i2a.如果實系數(shù)一元二次（多項式）方程有虛根，那么虛根以共軛復(fù)數(shù)的形式“成對”出現(xiàn).（共軛復(fù)數(shù)）小結(jié)：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程ax2

+

bx

+c

=

0，(a

≠

0)的求根公式為：高中數(shù)學(xué)例5 計算解：

(1) 原式

i

1

i

1

i

i

.

1

i

2

i

i

i

1

2i

1

i4i3

i(2)

原式

i3

i4

i5

.(1)i

i2i3(2)

1

i

2

i

..2

i31

2i(3)

2

i