人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊9.2.3總體集中趨勢的估計【課件】

9.2.3

總體集中趨勢的估計主講人：劉仙舟學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教A版）學(xué) 校：北京市第八十中學(xué)年 級：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】結(jié)合實例，會求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，了解它們的區(qū)別與聯(lián)系.理解它們的含義.

并能用樣本集中趨勢去估計總體的集中趨勢.掌握由樣本頻率分布表和頻率分布直方圖去估計總體分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的方法.【重點難點】掌握由樣本頻率分布表和頻率分布直方圖去估計總體分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的方法.高中數(shù)學(xué)【知識回顧】n為x

=1(x1+x2+

?+xn).一.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念：在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.眾 數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大排序，把處在最中間位置的一個數(shù)（或者是最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).平均數(shù)：如果一組數(shù)據(jù)是x1,

x2?xn,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)刻畫“中心位置”高中數(shù)學(xué)實例 9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù).假設(shè)通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)(單位:t):高中數(shù)學(xué)【例題】例4

利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).解：根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶月均用水量的數(shù)據(jù)，由樣本平均數(shù)的定義可得100即100戶居民的月均用水量的平均數(shù)為8.79t.y

=y1+y2+?+y100=

8.79,高中數(shù)學(xué)將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,

得第50個數(shù)和第51個數(shù)分別為6.8,

6.8，由中位數(shù)的定義可得:6.8+6.8=

6.8.2即100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8t.數(shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡單隨機樣本，所以我們可以據(jù)此估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79t,

其中位數(shù)約為6.8t.高中數(shù)學(xué)小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位思考數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77，請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？通過簡單計算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8t.我們可以多改變幾個數(shù)據(jù)的值來觀察平均數(shù)和中位數(shù)的變化，如果我們將數(shù)據(jù)中的2.0變?yōu)?00，我們再來計算一下平均數(shù)和中位數(shù).通過計算，我們發(fā)現(xiàn)平均數(shù)改變比較大，為16.71t.但中位數(shù)改變不大，為7.1t.高中數(shù)學(xué)由此發(fā)現(xiàn)，因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變;但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變，因此，與中位數(shù)相比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,

對樣本中的極端值更加敏感.高中數(shù)學(xué)單峰對稱在右邊“拖尾”在左邊“拖尾”和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在”長尾巴”那邊.高中數(shù)學(xué)例5

某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表9.2-5所示.如果用一個量來代表該校高一年級女生所需要的規(guī)格，那么在中位數(shù)，平均數(shù)和眾數(shù)中哪個量比較合適？試討論用表9.2-5中數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.高中數(shù)學(xué)分析:

雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別，對于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.解：觀察條形圖可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.高中數(shù)學(xué)眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息，眾數(shù)只能告訴我們，它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感.

且一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個.【小結(jié)】一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).高中數(shù)學(xué)【小結(jié)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對數(shù)據(jù)中心位置的描述,可以作為總體相應(yīng)特征的估計.

眾數(shù)，易計算,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息,不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息,與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)的影響,絕對值越大的數(shù)據(jù),對平均數(shù)的影響也越大．三者相比,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,描述了數(shù)據(jù)的平均水平,是一組數(shù)據(jù)的“重心”.高中數(shù)學(xué)【小結(jié)】平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)，受個別極端數(shù)據(jù)（比其它數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù)）的影響較大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，這時往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體.高中數(shù)學(xué)中位數(shù)是多少嗎？為什么平均數(shù)比估計出的中位數(shù)高很多？練習(xí)1：在一次人才招聘會上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很高”，“去年，在50名員工中，最高年收入達(dá)到了200萬，員工年收入的平均數(shù)是10萬”，而你的預(yù)期是獲得9萬元年薪.你是否能夠判斷年薪為9萬元的員工在這家公司算高收入者？如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”，這個信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定？為什么？如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的第一四分位數(shù)為4.5萬，第三四分位數(shù)為9.5萬，你又該如何使用這條信息來作出是否受聘的決定？根據(jù)（3）中招聘員提供的信息，你能估計出這家公司員工收入的暫停播放高中數(shù)學(xué)解：（1）能，現(xiàn)在已經(jīng)知道至少有一個人的收入為200萬，那么其他49位員工的收入之和為:

10×

50?200

=

300,

所以每人平均只有6.12萬元.

因為平均收入和最高收入相差太多，說明200萬元是一個極端值.

9萬元的年收入在49人的均值之上，屬于單位的高收入者.不能.因為已知有一個極端值，其對均值的影響很大，中位數(shù)不受極端值的影響。還要看中位數(shù)的大小.

但由“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”.不能估計中位數(shù)的大小.能.由第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)知，有75%的員工工資在9.5萬元以下，其中25%的員工工資在4.5萬元以下，在該公司獲得9萬元的年薪是有難度的.由第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)，可以估計中位數(shù)在7萬元左右.

因為有年收入200萬這個極端值得影響，使得年平均收入比中位數(shù)高許多.暫停播放高中數(shù)學(xué)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在小結(jié)：許多較大的極端值，反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.樣本平均數(shù)的大小與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.使用者常根據(jù)自己的利益去選取使用中位數(shù)和平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的中心位置，從而產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用.高中數(shù)學(xué)探究樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計.

但在某些情況下，我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).

例如我們在報紙，網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.

此時,

通常假設(shè)他們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進(jìn)而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).高中數(shù)學(xué)所以，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.nx

=

1

(x +

x +

?+x )1 2 n中點tnn1 1 2 2 n n∴x

=1(t

?

n +t

?

n +

?+t ?

n ),1∴

x

=

t ?n1+

t ?n22 nn n n+

?+t ?nn

,∴x

=t1?e1+t2?e2+?+tn?

en.一、估計平均數(shù)： 設(shè)xn=tn?

nn,頻數(shù)小矩形面積底邊中點橫坐標(biāo)【新知講解】設(shè)：nn

=enn頻率高中數(shù)學(xué)∴x

=t1?e1+t2?e2

+?+t9?e9.一、估計平均數(shù)：∴x

=0.077×3×

(1.2+

4.2 4.2+

7.22 2)

+

0.107×

3×

(

)+?+0.007×3×

(25.2+

28.22)=

8.96.8.96這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算的樣本平均數(shù)8.79相差不大.高中數(shù)學(xué)二、估計中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.0.077×3

=

0.231, (0.077+0.107)×3=

0.552.因此,

中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi),

設(shè)中位數(shù)為x,0.077×3+0.107×(x?4.2)=

0.5,∴x≈

6.71,x這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得中位數(shù)6.8相差不大.高中數(shù)學(xué)三、估計眾數(shù)：在頻率分布直方圖9.2

?

1中月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多,可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值.即：4.2+7.2=

5.7.2在這個實際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多.這個信息具有實際意義.5.7高中數(shù)學(xué)【鞏固練習(xí)】某校從參加高一年級數(shù)學(xué)測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示.求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).暫停播放高中數(shù)學(xué)（3）由圖可知這次數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：x

=0.005×10×

(40+

502)+0.015×10×

(50+

602)+?+0.005×10×

(90+

1002)=

72.70+

802=

75.x0.050.150.20.30.1解：（1）由圖可知眾數(shù)為:（2）由圖可知，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,∵

0.3

+

0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則得：(x

?70)

?0.03

=

0.1，所以

x

≈

73.3.∴中位數(shù)約為73.3.∴平均數(shù)約為72.高中數(shù)學(xué)【小結(jié)】利用頻率分布直方圖或頻率分布表求出的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)